1. مقدمه

از زمان افلاطون به این سوی، اکثر فیلسوفان معرفت را به «باورِ صادقِ موجه» تعریف کرده اند.³ اگرچه تا مدت ها فیلسوفان از کنار این تعریف به راحتی مى گذشتند در چند دهة اخیر نقد و بررسى هر یک از عناصر این تعریف در کانون توجه معرفت شناسان قرار گرفته است. از جمله عناصر سه گانة این تعریف عنصر «توجیه» است. کلیدى و بنیادین بودن بحث توجیه سبب شده تا حجم زیادى از کتاب هاى معرفت شناسى به بررسى و نقد معیار توجیه اختصاص یابد. امروزه در پاسخ به این پرسش که «معیار موجه بودن معرفت چیست؟» دیدگاه هاى مختلفى مطرح مى شود که رایج ترین آنها نظریة مبناگروى و نظریة انسجام گرایى است.⁴ از میان این دو نظریه مبناگروی بیشتر کانون توجه بوده و مى توان پیشینة آن را در یونان باستان و به ویژه در اندیشه های ارسطو پى گرفت.⁵

به هر حال پیشینة مبناگروى هیچ گونه مصونیتى براى آن به همراه نداشته و در کتاب هاى معرفت شناسى نقدهاى مختلفى بر آن وارد شده است. با مطالعة کتاب ها و مقالاتى که در زمینة معرفت شناسى نگارش یافته با نقدها و اشکال هاى مختلفى روبه رو مى شویم. از جملة این نقدها ایرادى است که کورت گودل ِریاضى دان و منطق دان در قالب برهان ریاضى بر این نظریه وارد کرده است.⁶ در باب این نقد نکته اى حاشیه اى نیز وجود دارد که بر پیچیدگى آن افزوده است. در موارد متعددى نویسندگان تنها به بیان این مطلب بسنده کرده اند که برهان گودل نقدى جدى بر نظریة مبناگروى به شمار می آید و به بهانة «دشوارى فهم آن» از پرداختن به تبیین و توضیح برهان گودل پرهیز کرده یا حداکثر خوانندگان را به کتاب هاى دیگر راه نمایى کرده اند.⁷ از این روی، معمولاً این دو پرسش همواره خاطر خوانندگان این گونه آثار را به خود مشغول داشته است: اوّلا،ً مفاد و محتواى برهان گودل چیست. ثانیاً، این برهان چگونه نظریة مبناگروى را به چالش مى گیرد؟

2. مطالب

نخست تصویرى از مبناگروى مطرح خواهیم ساخت و در ادامه مى کوشیم تا به تصورى روشن از برهان گودل دست یابیم. سپس در بخش سوم به این مسئله مى پردازیم که آیا مى توان این برهان را نقدى بر مبناگروى به شمار آورد یا نه؟

1ـ2. تبیین مبناگروى

بیان مفصل دیدگاه مبناگروى و پرداختن به تقریرهاى گوناگونى که از آن ارائه شده در راستاى اهداف این مقاله نیست. بنابراین تنها به طرح عصارة این دیدگاه که به نظر مى رسد در همة تقریرها مشترک باشد بسنده مى شود. مبناگروى به دیدگاهى اطلاق مى شود که در میان مجموعة باورها، گزاره ها معرفت ه بر حسب تعبیرهاى مختلفى که نویسندگان به کار برده اند دسته اى را با نام باورها، گزاره ها یا معرفت هاى پایه مشخص مى سازد و دیگر موارد را باورها، گزاره ها یا معرفت هاى غیر پایه مى نامد، و مدعى است که دستة دوم توجیه خود را از ابتنا بر دستة نخست کسب مى کنند. پس با فرض اینکه Q, P و r نماد براى گزاره و S نماد براى فاعل شناسا باشد مى توان گفت که عصارة دیدگاه مبناگروى از این قرار است:

1. S باور دارد به P.

2. باورS به P یا

a/2. خود موجه است؛ یعنى باور S به P نیاز به توجیه ندارد. ]: باورهاى پایه[

b/2. خود موجه نیست؛ یعنى باور S به P بر اساس باور او به q توجیه شده است. ]: باورهاى غیر پایه[

3. باورS به q یا

a/3. خود موجه است؛ یعنى باور S به q نیاز به توجیه ندارد.

b/3. خود موجه نیست؛ یعنى باورS به q بر اساس باور او به r توجیه شده است.

4. مجموعة باورهاى غیر خود موجه S بر باورهاى خود ـ موجه او مبتنى هستند.⁸

2ـ2. تبیین برهان گودل

در آستانة تبیین این برهان توجه به دو نکته بجا خواهد بود. نکته اول اینکه اصل مقالة گودل به زبان آلمانى است، و به دلیل دشوارى آن، برخى کوشیده اند با إعمال تغییراتى، از دشوارى آن بکاهند. تقریرهاى مختلفى را مى توان تحت عنوان برهان گودل یافت. در این مقام ما به بیان تقریرى خواهیم پرداخت که با وجود سادگى چندان از محتواى مقاله گودل فاصله نگرفته باشد.⁹ نکته دوم اینکه براى سهولت کار آن را در دوازده مرحله بیان مى کنیم و البته مانند هر برهان دیگرى پذیرش نتیجة نهایى منوط به پذیرش یک یک مقدمات آن است و هر گونه تردید در یکى از مقدمات نتیجه را از اعتبار خواهد انداخت.

گودل با استفاده از منطق ریاضی نشان می دهد با فرض دستگاهی که گزاره های آن با استفاده از روش تأسیس اصل به اصول و قضایا تقسیم شده باشند، همیشه قضیه یا قضایایی به دست می آید که هم خود آنها و هم نقیضشان را می توان از اصول استنتاج کرد، و در نتیجه دستگاه مذبور ناسازگار است.¹⁰

1ـ2ـ2. مرحلة اول

در منطق ریاضی، قواعد را با استفاده از نمادهایی بیان می کنند. در یک تقسیم، این نمادها بر دو قسم اند: نمادهای ثابت و نمادهای متغیر. نمادهای ثابت خود به دو دسته تقسیم می شوند: ادوات منطقی و نشانه های نقطه گذاری. نمادهای متغیر نیز سه دسته اند: متغیرهای عددی، که جایگزین اعداد می شوند؛ متغیرهای جمله ای، که به جای فرمول ها می نشینند؛ و متغیرهای محمولی، که جایگزین محمولات می شوند. گودل در ارائة استدلال خود از این نمادها بهره می گیرد. این نمادها عبارت اند از:

1. نمادهای ثابت:

ادوات منطقی: $ É Ú ~ = S o؛

نشانه های نقطه گذاری: نمادِ ( ، نمادِ ) و نمادِ , ؛

2. نمادهای متغیر:

متغیرهای عددی: x ، y ، z ؛

متغیرهای جمله ای: p ، q ، r ؛

متغیرهای محمولی: P ، Q ، R.

2ـ2ـ2. مرحلة دوم

گودل در گام بعد برای هر یک از این نمادها عدد منحصر به فردی در نظر می گیرد. شیوه ای که او برای تعیین عدد هر یک از نمادها برگزید به این صورت بود که برای نمادهای ثابت، به ترتیب، عددهای یک تا ده، و برای نمادهای متغیر عددی، به ترتیب، عددهای اول بزرگ تر از ده، و برای نمادهای متغیر جمله ای، به ترتیب، عددهای اول بزرگ تر از ده با توان دو، و برای نمادهای متغیر محمولی، به ترتیب، عددهای اول بزرگ تر از ده با توان سه را معین کرد:

1. نمادهای ثابت:

3ـ2ـ2. مرحلة سوم

با چنین شیوه ای می توان برای هر یک از اجزای یک فرمول منطقی یک عدد اختصاصی در نظر گرفت. برای مثال عدد اجزای این فرمول عبارت است از:

( p Ú p ) É p

11² 3 9 11² 2 11² 8

4ـ2ـ2. مرحلة چهارم

در مرحلة بعد گودل برای پرهیز از پیچیدگی استدلال شیوه ای در پیش گرفت که بر اساس آن به هر فرمولی تنها یک عدد منحصر به فرد نسبت داده شود. او برای این کار نخست به هر یک از اجزای فرمول به ترتیب یکی از عددهای اول را نسبت داد:

( p Ú p ) É p

17 13 11 7 5 3 2

5ـ2ـ2. مرحلة پنجم

گودل سپس عددهایی را که در مرحلة قبل به هر یک از اجزا نسبت داده بود توان این عددهای اوّل در نظر گرفت:

( p Ú p ) É p

2

17¹¹ 13³ 11⁹ 7¹¹ 5² 3¹¹ 2⁸

6ـ2ـ2. مرحلة ششم

در ادامه حاصل ضرب این عددها در یکدیگر را عدد منحصر به فرد آن فرمول به حساب آورد:

2

x = 17¹¹ × 13³ × 11⁹ × 7¹¹ × 5² × 3¹¹ × 2⁸

در اینجا برای روشن شدن نحوة کار گودل فرمول زیر را که مفاد آن چنین است شماره گذاری می کنیم.«صفر مساوی صفر است»

o = o.1

6 5 6.2

5 3 2.3

5⁶ 3⁵ 2⁶.4

5⁶ × 3⁵ × 2⁶.5

15625 × 243 × 64.6

243000000.7

بنابراین عدد گودل فرمول o = o عبارت است از: 243000000.

نکته ای که در این زمینه نباید از نظر دور داشت این است که هر عدد صحیحی عدد گودل نیست. برای نمونه عدد 100 نه کوچک تر از 10 است تا عدد گودل یکی از نمادهای ثابت باشد و نه عدد اول بزرگ تر از 10، تا عدد گودل یکی از متغیرهای عددی باشد، و نه توان دوم عدد اول بزرگ تر از 10 است تا عدد گودل یکی از متغیرهای جمله ای باشد، و نه توان سوم عدد اول بزرگ تر از 10 است، تا عدد گودل یکی از متغیرهای محمولی باشد. افزون بر این با تجزیة عدد 100 به 2²×5² می رسیم، که ضرب عددهای اول متوالی نیست. از این روی، عدد 100 عدد گودل نیست.

7ـ2ـ2. مرحلة هفتم

گودل پس از شماره گذاری نمادها و فرمول ها با استفاده از روابط میان اعداد، روابط میان عبارت های ریاضی و منطقی را تبیین کرد. برای مثال یکی از روابط میان اعداد ریاضی «فاکتور بودن» است. برای نمونه 2 یکی از فاکتورهای عدد 20 است. گودل با توجه به رابطة «فاکتور بودن» میان اعداد چنین نتیجه گرفت که هر گاه یکی از اعداد گودل فاکتور عدد گودل دیگر باشد، عبارت متناظر با عدد نخست نیز فاکتور عبارت متناظر با عدد دوم خواهد بود. برای مثال عددِ گودل 64 فاکتور عددِ گودل 243000000 است. بنابراین عبارت متناظر با عدد 64 فاکتور عبارت متناظر با عدد 243000000 خواهد بود. برای نشان دادن این رابطه، هر یک از دو عدد مذبور را به اعداد اول تجزیه می کنیم بنابراین خواهیم داشت:

1. 64 243000000 (1)

2. 2⁶ 15625 × 243 × 64 (2)

3. 2 5⁶ × 3⁵ × 2⁶ (3)

4. 6 5⁶ 3⁵ 2⁶ (4)

5. o 5 3 2 (5)

6 5 6 (6)

o = o (7)

به این ترتیب می بینیم که o فاکتوری برای عبارت o = o است.

یکی دیگر از رابطه های میان عبارت های ریاضی و منطقی، رابطة «برهان بودن» است. فرض کنید فرمولی داریم که عدد گودل آن x است، و فرمول دیگری داریم که عدد گودل آن z است. وقتی رابطة فرمول اول را با فرمول دوم بررسی می کنیم در می یابیم که فرمول x برهانی بر اثبات فرمول z است. طبق روش گودل می توان برای رابطة «برهان بودن» نمادی در نظر گرفت و برای نماد مذبور نیز طبق روش شماره گذاری گودل عددی اختصاص داد. بنابراین هر گاه میان یکی از اعداد گودل و عدد گودل دیگری رابطة برهان بودن برقرار بود، می توان نتیجه گرفت که میان عبارت های متناظر با آنها نیز چنین رابطه ای برقرار است. رابطة مذبور را می توان به این صورت نمایش داد: Dem (x,z)

این عبارت Dem مخفف demonstration، به معنای برهان است، و مفاد عبارت این است که فرمولی با عدد گودل x برهانی بر فرمولی با عدد گودل z است، یا مفاد عبارت ~Dem (y,z) آن این است که فرمولی با عدد گودل y برهانی بر فرمولی با عدد گودل z نیست.

8ـ2ـ2. مرحلة هشتم

گودل در ادامه، روش شماره گذاری خود را به احکام فوق ریاضی نیز گسترش داد. احکامی را فوق ریاضی می خوانند که نه ناظر به اعداد، بلکه ناظر به عبارت های ناظر به رابطة میان اعداد هستند. برای نمونه این فرمول را در نظر بگیرید: ($ x ) ( x =s y).

معنای این فرمول آن است که یک x وجود دارد به طوری که x تالی y است، و در واقع مفاد آن این است که هر عددی یک تالی دارد. عدد گودل این عبارتِ ناظر به رابطة میان اعداد عبارت است از:

( $ x ) ( x = s y )

9 13 7 5 11 8 9 11 4 8.1

29 23 19 17 13 11 7 5 3 2.2

29⁹ 23¹³ 19⁷ 17⁵ 13¹¹ 11⁸ 7⁹ 5¹¹ 3⁴ 2⁸ .3

29⁹ × 23¹³ × 19⁷ × 17⁵ * 13¹¹ × 11⁸ × 7⁹ × 5¹¹ × 3⁴ × 2⁸ .3

در اینجا با توجه به بیش از اندازه بزرگ بودن عدد گودل فرمول مذبور و برای سهولت در کار، این عدد را m می خوانیم. حال گودل فرمول جدیدی مطرح می سازد که حکمی را دربارة فرمول با عدد گودل m بیان می کند. گودل برای اینکه نشان دهد فرمول جدید شامل حکمی دربارة فرمول قبلی است و در واقع یک حکم فوق ریاضی را بیان می کند نماد m را جایگزین نماد y در فرمول قبلی می سازد. به این صورت:

1.( $ x ) ( x = s y )

2.( $ x ) ( x = s m )

این فرمول جدید نیز دارای عدد گودل خاص خود است که می توان بر اساس شیوة شماره گذاری گودل عدد آن را محاسبه کرد. گودل برای آنکه نشان دهد یک فرمول حکم فوق ریاضی را بیان می کند از عبارتSub (m,13,m) استفاده کرد. در این عبارت Sub مخفف substitute به معنای جانشین است، و مفاد عبارت این است که عدد خاصی عدد گودل یک فرمول است که از فرمول دیگر با عدد m از طریق جانشینی نماد m به جای متغیری با عدد گودل 13 (:y) به دست آمده است.

9ـ2ـ2. مرحلة نهم

گفتیم که فرمول ~Dem (x,z) حکمی فوق ریاضی را به این مضمون بیان می کند: رشته ای از فرمول ها با عدد گودل x برهانی برای فرمولی با عدد گودل z نیست. حال پیشوند (x) را به فرمول مذبور می افزاییم. در این صورت خواهیم داشت: ~Dem (x,z) (x). مفاد این فرمول چنین است: «برای هر رشته ای از فرمول ها که عدد گودل آن x است یک برهان برای فرمولی با عدد گودل z نیست». حال به جای نماد z در این فرمول، فرمول دیگری قرار می دهیم. این فرمول همان است که پیش تر آن را به این صورت نمایش دادیم: Sub (y,13,y). در نتیجه خواهیم داشت:

) z (x, ~Dem (x).1

Sub (y,13,y).2

~Dem (x, Sub (y,13,y)) (x).3

حال فرمولی به دست آورده ایم که دربارة فرمول دیگری است و مفاد آن این است که «برای x، رشته ای از فرمول ها که عدد گودل آن x است، یک برهان برای فرمولی با عدد گودل Sub (y,13,y) نیست» یا به تعبیر دیگر «فرمولی با عدد گودل y قابل اثبات نیست». ولی از آنجا که به هر روی، این فرمول به دست آمده «فرمول» است، عدد گودل خاصی خواهد داشت و می توان به روش پیش گفته عدد گودل آن را به دست آورد. در اینجا برای سهولت کار فرض می کنیم که عدد گودل آن nاست. بنابر مطالب مطرح شده در مرحلة هشتم عدد n را جانشین نماد متغیر y می سازیم. بنابراین خواهیم داشت:

~Dem (x, Sub (y,13,y)) (x).1

n.2

~Dem (x, Sub (n ,13, n )) (x).3

مفاد این فرمول آن است که «برای x، رشته ای از فرمول ها که عدد گودل آن x است، یک برهان برای فرمولی با عدد گودل Sub (n ,13, n ) نیست». نکتة مهم این است که اگر گودل بتواند نشان دهد عدد فرمول (3) نیز همان Sub (n ,13, n ) است، مفاد عبارت (3) آن خواهد بود که «برای x، رشته ای از فرمول ها که عدد گودل آن x است، برهانی برای خود این فرمول نیست.» به تعبیر دیگر فرمول مذبور می گوید: «این فرمول (یعنی خودش) قابل اثبات نیست». اما گودل چگونه نشان می دهد که عدد فرمول (3) نیز همان Sub (n ,13, n ) است. پاسخ این پرسش را در مرحلة دهم پی می گیریم.

10ـ2ـ2. مرحلة دهم

این مرحله مهم ترین مرحله در برهان گودل است. او می کوشد تا به این پرسش پاسخ دهد که چرا عدد فرمول (3) نیز همان Sub (n ,13, n ) است. پاسخ وی این است که در مرحلة نهم و بنابر روش عددگذاریِ فرمول های احکام فوق ریاضی نشان دادیم که فرمولی داریم به این صورت:

~Dem (x, Sub (y,13,y)) (x) (3)

که مفاد آن عبارت است از اینکه «برای x، رشته ای از فرمول ها که عدد گودل آن x است، یک برهان برای فرمولی با عدد گودل Sub (y,13,y) نیست» یا به تعبیر دیگر «فرمولی با عدد گودل y قابل اثبات نیست.» و این فرمول عدد گودل خاصی دارد که ما برای سهولت کار فرض می کنیم آن عدد nاست. نکتة مهم این است که این عددْ عددِ هر فرمولی است که مفاد آن عبارت باشد از «فرمولی با عدد گودل y قابل اثبات نیست». از این روی، عدد n هم عددِ فرمول Sub (n ,13, n ) است و هم عددِ فرمول ~Dem (x, Sub (n ,13, n )) (x)، بنابراین عددِ هر دو فرمول یکی است.

11ـ2ـ2. مرحلة یازدهم

نتیجه ای که از مراحل ده گانة بالا به دست می آید این است که با فرض هر مجموعه ای از گزاره ها همیشه یک گزاره وجود خواهد داشت که نه جزو اصول است و نمی توان آن را از اصول استنتاج کرد؛ زیرا همیشه گزاره ای خواهیم داشت که می گوید: «برای x، رشته ای از فرمول ها که عدد گودل آن x است، یک برهان برای فرمولی با عدد گودل Sub (y,13,y) نیست». به تعبیر دیگر «فرمولی با عدد گودل y قابل اثبات نیست» و به عبارت واضح تر «من گزاره ای هستم که نه جزو اصول هستم و نه از گزاره های دیگر قابل استنتاج نیستم». می دانیم که حتی همین نتیجه نیز ادعای مبناگرا را به چالش می گیرد؛ این ادعا را که «باورهای یک مجموعه، از دو حال خارج نیست؛ یا باوری است که جزو اصول به حساب می آید یا باوری است که از اصول قابل استنتاج است». لیکن گودل برهان خود را گسترش می دهد و به نتیجه ای ویران گرتر می رسد.

12ـ2ـ2. مرحلة دوازدهم

گودل در مرحلة یازدهم نشان داد که فرمولی ناظر به یک حکم فوق ریاضی، با این مفاد داریم: «فرمولی با عدد گودل y قابل اثبات نیست». به عبارت واضح تر «من گزاره ای هستم که نه جزو اصول هستم و نه از گزاره های دیگر قابل استنتاج نیستم». اجازه دهید که ما این گزاره را G بنامیم.

حال گودل می گوید اگر کسی ادعا کند که گزارة G را می توان از اصول استنتاج کرد، در پاسخ با استفاده از این قاعدة منطق ریاضی که می گوید: «از هر قضیه ای می توان نقیض آن را نتیجه گرفت» یا به عبارت دیگر «p مستلزم ~p است» (:~p É p ) می توانیم این گونه نتیجه بگیریم که اگر G آن گاه ~G. بنابراین با فرض هر مجموعه ای از گزاره ها همیشه گزاره ای وجود دارد که هم می توان آن را از اصول استنتاج کرد و هم می توان نقیض آن را از اصول استنتاج کرد! بنابراین ادعای مبناگرا که «باورهای پایه باورهایی هستند که خود موجه اند و باورهای غیر پایه برای موجه شدن باید از باورهای پایه و بر اساس استنتاج به دست آیند» نادرست است؛ زیرا هم می توان باور به گزارة G را بر اساس باورهای پایه توجیه کرد و هم باور به گزارة ~G را!¹¹

3ـ2. بررسى برهان گودل

واکنش نویسندگان غربى به پیام این برهان متفاوت بوده است: در حالى که عده اى آن را نادیده انگاشته و بسادگى از کنار آن گذشته اند، گروهی دیگر که بیشتر منتقدان مبناگروى بشمار می آیند با اشاره اى اجمالى به نتیجة برهان، از آن در جهت تضعیف موضع مبناگرایان سود برده اند؛ و در این میان معدود کسانى را مى توان یافت که در صدد پاسخ گویى بر آمده باشند. در این بخش پاره اى از پاسخ ها در دفاع از مبناگروى و در ردّ برهان را از نظر مى گذرانیم.

1ـ3ـ2. پاسخ اول

در پاسخ اول گفته اند که بر اساس برهان گودل مبناگرایان از عهده اثبات همه گزاره هاى خود ناتوان اند؛ در حالى که براى مبناگرا همین کافى است که اغلب گزاره هاى خود را اثبات کند؛ به ویژه آنکه گزاره هاى اثبات ناپذیر گونة خاصى از گزاره هایند؛ یعنى گزاره هایى که ناظر به خود¹² هستند. بنابراین برهان گودل چالشى جدى به شمار نمى آید.¹³

بررسى

به نظر مى رسد این پاسخ دو ضعف عمده دارد: اول اینکه در واقع اشکال گودل را پذیرفته است نه اینکه آن را رد کرده باشد. از این روی، غیر مستقیم مفاد برهان را تأیید کرده است؛ دیگر اینکه گودل مى تواند در دفاع از خود مدعى شود اگر همیشه احتمال وجود گزارة صادقی در میان مجموعة گزاره ها وجود داشته باشد که هم خود گزاره و هم نقیض آن از گزاره هاى پایه قابل استنتاج باشد، آن گاه در بارة هر گزاره اى از گزاره هاى این مجموعه با چنین احتمالى مواجه خواهیم بود، و همین امر بنیان یقین و باور ما را به صدق همة گزاره هاى این مجموعه متزلزل خواهد ساخت.

2ـ3ـ2.پاسخ دوم

در پاسخ دوم بر تعداد محدود گزاره های مورد نظر گودل تأکید شده است. اگرچه گزاره هایى که هم خود آنها و هم نقیض آنها از گزاره هاى پایه قابل استنتاج هستند پیوند عمیقى با معرفت شناسى دارند، شمار آنها زیاد نیست. افزون بر این اغلب چنین گزاره هایى یا به نحو شگفت آورى صادق اند، مانند «من راست مى گویم» یا بى معنا هستند، مانند «من دروغ مى گویم»، و آن گزاره هایى که ناظر به خود نظام شناختارىاند و گویاى مطلبى هستند که براى مثال ناظر به انسجام آن نظام است آن چنان هم که به نظر مى رسد مبناگرا را در تنگنا قرار نمى دهند؛ زیرا هرچند من نتوانم انسجام نظام باورهاى خود را اثبات کنم و شما هم نتوانید از عهده اثبات نظام باورهاى خود بر آیید، شما مى توانید انسجام نظام باورهاى من را اثبات کنید و من هم می توانم انسجام نظام باورهاى شما را اثبات کنم. بنابراین من این توانایى را دارم که همة گزاره هاى نظام باور فرد دیگرى را اثبات کنم.¹⁴

بررسى

به نظر مى رسد اولا،ً در این پاسخ نیز مفاد و نتیجة برهان گودل پذیرفته شده است؛ زیرا ادعاى گودل چیزى بیش از این نیست که همیشه گزاره ای وجود دارد که هم خود آن گزاره و هم نقیض آن قابل استنتاج از گزاره هاى پایه است؛ اگرچه ما نتوانیم معین کنیم که این گزاره کدام یک از گزاره هاى مجموعة باورهاى ماست؛ ثانیا،ً همان گونه که در آغاز این نوشتار اشاره کردیم، در تلقى رایج، معرفت عبارت است از «باور صادق موجه». از این روی، لذا معرفت همیشه عنصر باور را با خود به همراه دارد و با توجه به این که باور امرى است که قائم به شخص باورکننده است دیگر نمى توان از ناموجّه بودن گزاره اى که من به آن باور دارم نزد خود و موجّه بودن آن نزد دیگران سخن به میان آورد.

3ـ3ـ2. پاسخ سوم

در پاسخ سوم بر اهداف معرفت شناسى به عنوان معیارى براى ارزیابى برهان گودل تأکید شده است. اصولاً معرفت شناسان از طرح مسائل معرفت شناختى اهدافى را دنبال مى کنند؛ از جمله طرح و اثبات یا رد ادعاهایى نظیر چیستى معرفت، و امکان معرفت، رابطة هر معرفتى در قبال دیگر معرفت ها. حال اگرچه نتوان همه گزاره هاى صادق را اثبات کرد و نشان داد چنین نیست که هم خود آن گزاره ها و هم نقیض آنها از گزاره هاى پایه قابل استنتاج اند، می توان آنها را صورتبندى و نقادى کرد، و براى اثبات یا ردشان دلیل آورد و همین، براى اهداف معرفت شناس کافى است.¹⁵

بررسى

به نظر مى رسد که اولاً در این پاسخ نیز مانند دو پاسخ پیشین اشکال گودل پذیرفته شده است، و به این ترتیب دیگر جایى براى بحث از اهداف معرفت شناسى باقى نمى ماند؛ زیرا به گمان گودل برهان وى ویران کنندة هر نظام معرفتی ای است که در سایة دیدگاه مبناگروى شکل گرفته باشد. در این صورت چگونه مى توان از اهداف معرفت شناسى دم زد در حالى که پایه و مبنایى براى پذیرش آنها وجود ندارد؛ ثانیا،ً اگر در جست وجوى اهداف معرفت شناسى به این نتیجه رسیدیم که هدف معرفت شناسى ارائةیک نظام مبناگرایانه از مجموعة گزاره هایى است که فرد به آن باور دارد آیا باز هم مى توان از کنار پیامدهاى این برهان به سادگی گذشت؟

5ـ3ـ2. پاسخ چهارم

به نظر مى رسد همه این پاسخ ها بر فرض تمام بودن برهان گودل اقامه شده است و مبناگرا در موقعیتى قرار گرفته که چاره اى جز دست شستن از برخى گزاره هاى خود ندارد. ولى بد نیست بپرسیم که آیا به راستى برهان گودل بر عدم تمامیت تمام است؟ شاید بتوان با نگاهى دوباره به مراحل دوازده گانه برهان به مواردى از ابهام دست یافت.

براى بررسى دقیق این برهان پیش از هر چیز باید میان دو دسته از گزاره ها تمایز نهیم: گزاره هاى درجة اول و گزاره هاى درجة دوم. گزاره هاى درجة اول گزاره هایى هستند که محمولى را به یک یا مجموعه اى از اشیاى خارجى و عینى نسبت مى دهند. براى مثال در دانش فیزیک حرکت را به اتم هاى یک مولکول، یا وصفى را به یک شى ء نسبت می دهند. براى مثال مى گویند: «آب در دماى معمولى مایع است.» در مقابل، گزاره هاى درجة دوم قرار دارند که از اصول حاکم بر گزاره هاى درجة اول بحث مى کنند؛ مانند: «گزاره هاى حاصل از حواس پنج گانه خطاپذیر هستند.» روشن است که نسبت دادن حرکت، وزن، جاذبه و... به اشیا در دانش فیزیک منوط به معرفت بخش بودن حواس پنج گانه است. از این روی، گزاره هاى درجة دوم ناظر به گزاره هاى درجة اول و حاکم بر آنها هستند.

نکتة مهم در این تمایز آن است که نباید معیارهاى بررسى صدق و کذب گزاره هاى درجة اول را با بررسى صدق و کذب گزاره هاى درجة دوم یکى بپنداریم. اگر ملاک ارزیابى مایع بودن یا نبودن آب در دانش فیزیک به ادراک حواس پنج گانه بستگى دارد، براى ارزیابى گزاره هاى درجة دوم که براى مثال به بررسى اعتبار ادراک حسى مى پردازد نمى توان به خود ادراک حسّى اعتماد کرد، بلکه باید اصول بدیهى عقل را معیار قرار داد. حال گودل در بیان پیچیدة خود مرتکب جهش از احکام گزاره هاى درجة اول به احکام گزاره هاى درجة دوم شده است، و همین جهش باعث شده تا بیان برهان نمای او چیزی نباشد جز یک مغالطه .

توضیح آنکه هدف گودل در استفاده از روش عددگذاری آن است که با اختصاص دادن یک عدد به هر فرمولی ضمن آنکه از روشی کاملاً صوری و ریاضی استفاده می کند نتیجه بگیرد که چون همة عددها متعلق به یک مجموعه- برای مثال مجموعة عددهای صحیح تعلق دارند، گزاره های معادل آنها نیز به یک مجموعه متعلق خواهند بود، و درست در همین مرحله است که گودل مرتکب یک جهش شده و یک عدد خاص را هم به فرمول های ناظر به احکام ریاضی اختصاص می دهد، و هم به فرمول های ناظر به احکام فوق ریاضی، و همان گونه که در مرحلة دهم دیدیم مدعی است که« عدد n هم عددِ فرمول Sub (n ,13, n ) است و هم عددِ فرمول ~Dem (x, Sub (n ,13, n )) (x). بنابراین عددِ هر دو فرمول یکی است» در حالی که احکام فوق ریاضی به مجموعة دیگری اختصاص دارند؛ یعنی مجموعة ناظر مربوط به مجموعة احکام ریاضی، و از همین جهت است که آنها را احکام فوق ریاضی می نامند. وقتی احکام فوق ریاضی به مجموعة دیگری تعلق داشتند، اصول خاص خود را خواهند داشت. به تعبیر ساده تر می توان گفت که در بیان گودل بین احکام در حساب و احکام دربارة حساب خلط شده است.

3. نتیجه گیرى

خلاصه آنکه به رغم ابتکارى بودن برهان گودل و ابتنای آن بر اصول دقیق منطق و ریاضى، در این برهان تنها بر جنبه هاى منطقى و ریاضى مجموعة گزاره ها تمرکز شده و حیثیت معرفت شناختى رابطة گزاره هاى این مجموعه با یکدیگر از نظر دور مانده است و همین امر سبب شده تا با در هم آمیختن احکام گزاره هاى درجة اول و گزاره هاى درجة دوم، آن را نقدى بر دیدگاه مبناگروى به شمار آورند؛ غافل از اینکه اثبات نادرستى دیدگاه مبناگروى در وهلة اول دامن گیر خود برهان گودل نیز خواهد شد؛ چه در این برهان نیز با مجموعه اى از گزاره ها مواجهیم که یکى بر دیگرى مبتنى است و گزارة مشتمل بر نتیجه بر همة گزاره های قبلى.

پی نوشت ها

1. Gödel's theorem

2. Foundationalism

3. منصور شمس، آشنایى با معرفت شناسى (قم، انجمن معارف اسلامى ایران، 1382) ص 58ـ59.

4. هم اندیشى معرفت شناسى، متن پیاده شده سلسله مباحث اساتید محترم: محمدتقى مصباح یزدى، محمد لگنهاوزن، غلامرضا فیاضى و صادق لاریجانى (ایّدهم اللّه)، جلسة یازدهم، ص 1.

5. The Encyclopedia Of Philosophy, ed. in chief: Paul Edwards, New York: Macmillan Publishing Co. Inc. & The Fraa Press, 1967, Vol. 3, p. 13.

6. Quine, W. V. Ontological Relativity & Other Essays, New York: Columbia University Press, 1969. P. 70: "Moreover, we know from Gödel's work that no consistent axiom system can cover mathematics even when we renounce self-evidence".

7. Everit, Nicholas & Alec Fishe,Modern. Epistemology, New York: McGraw Hill, Inc. 1995, PP. 98-99.

8. Dancy, Jonathan & Ernest Sosa, A Companion To Epistemology, Oxford, Blackwell Publishers, 1992, pp. 144-147.

9. Smullyan, Raymond M. Godel’s IncompletenssTheorems, New York, Oxford University Press. 1992. P.P. 56-74.

10. برخى وجه تعارض برهان گودل با مبناگروى را این گونه بیان کرده اند که با فرض یک مجموعه از گزاره ها، باورها یا معرفت ها همیشه یک گزاره، باور یا معرفتى وجود خواهد داشت که هم صادق است و هم قابل استنتاج از گزاره هاى پایه نیست. براى نمونه مراجعه کنید به:

Everit, Nicholas & Alec Fishe, Modern. Epistemology, McGraw Hill, Inc. New York, 1995. P. 98.

11. براى آگاهى از تقریرهاى مختلف برهان گودل مى توانید به این منابع مراجعه کنید:

Smullyan, Raymond M. Godel’s Incompletenss Theorems, New York, Oxford University Press. 1992. P.P. 56-74.

Uspensky, V. A, Gödel's Incompleteness Theorems, Moscow: Mir Publishers,1982.

Negel, Ernest, and James Newman. Gödel's Proof. London: Routledge and Kegan Paul, 1959.

در این نوشتار از تقریرى که در کتاب اخیر مطرح گردیده استفاده شده است.

12. Seif-referring

13..Evolutionary Epistemology, Rationality, and The Sociology Of Knowledge, Edited By Gerard Radnitzky, W. W. Bartly, III. Open Cowrt, The unedited States Of America, 1187. P. 169.

14.Ibid.

15.Ibid.