معرفت فلسفی

سال دهم، شماره دوم، زمستان 1391ـ 121ـ135

صادق رحیمى شعرباف*

چکیده

چون مطالعه ریاضیات، دستگاه ذهنى را توسعه مى دهد و به کار مى اندازد، مى توان ادعا کرد که درک عمیق مفاهیم ریاضى مى تواند در حقیقت یابى و درست فهمى پدیده ها مؤثر باشد؛ یعنى درک ریاضى مى تواند کمک کند که فرد، کارهایش را از روى دانایى و بینایى بهترى انجام دهد. به عبارت دیگر فرد مى تواند به توانایى در استنتاج حقایق با استفاده از مفاهیم ریاضى نایل شود. در این مقاله نخست جایگاه معرفتىِ ریاضى، با استناد به اقوال افلاطون و دکارت بیان و سپس نوعى از معرفت ریاضى که حاصل درک عمیق مفاهیم ریاضى است، به منزله معرفت و بصیرت ریاضى معرفى مى شود؛ سپس ضمن تعیین حوزه این نوع معرفت، با استفاده از مفهوم واژه الگوریتم، چگونگى مراحل دستیابى به آن، کانون بحث قرار مى گیرد. همچنین درباره جنبه معرفتى مفهوم تابع و ساختار گراف در نظریه گراف ها، مصادیقى ارائه مى شود.

کلیدواژه ها: معرفت شناسى ریاضى، معرفت و بصیرت ریاضى، مفهوم تابع، الگوریتم، مدل ریاضى گراف.

* استادیار دانشگاه صنعتى شاهرود.                                                                   srahimi@shahroodut.ac.ir

دریافت: 4/ 10/ 90               پذیرش: 5/ 10/ 91

مقدّمه

طرح بحث معرفت شناسى ریاضى به صورت یک نظام معرفتى، موضوعى جدى، مفصل و با سابقه نسبتا طولانى است. در این باره عقیده بسیارى از عالمان قدیم و جدید بر آن است که حوزه فعالیت ریاضیات، حوزه اى عقلى و فکرى است. دو تن از فیلسوفان صاحب نظر و معروف در این قلمرو، افلاطون و دکارتاند که در این مقاله اشاره جزئى به دیدگاه هاى ایشان خواهد شد. نکته درخور توجه آن است که موضوع بحث این مقاله، طرح و بررسى کلى مسئله معرفت شناسى ریاضى نمى باشد، بلکه طرح وجه خاصى از موضوع است که از طریق توجه دقیق و عمیق به مفاهیم ریاضى حاصل مى آید. نگارنده با ارائه مصادیقى نشان مى دهد که این وجه از معرفت ریاضى (که معرفت و بصیرت ریاضى نامیده شده است) مى تواند به نوعى درست فهمى و درک بهتر حقیقت بینجامد. در این باره نخست جهت تبیین جایگاه معرفتى ریاضى، دیدگاه دو فیلسوف بزرگ، یکى از قدیمى ترین فیلسوفان یعنى افلاطون (427ـ347 ق.م) و دیگرى از فیلسوفان قرن هفدهم، یعنى دکارت (1595ـ1650) مطرح مى شود. سپس موضوع خاص این مقاله، یعنى معرفت و بصیرت ریاضى مورد بحث قرار مى گیرد.

1. معرفت شناسى ریاضى افلاطون و دکارت

معرفت شناسى یکى از مهم ترین مباحث فلسفى است که از آغاز تدوین فلسفه، توجه فیلسوفان به آن معطوف بوده است (انتظام، 1379). در این میان افلاطون یکى از برجسته ترین شخصیت هایى است که معرفت شناسى، دغدغه اصلى و اساسى او بوده است. در مورد جایگاه معرفت نزد افلاطون چنین بیان شده است که:

همه هنرها و دانش هایى که با طبیعت سروکار دارند در قلمرو پندار واقع مى شوند و چون پندار معرفت نیست، در نتیجه همه دانش هایى که با طبیعت سروکار دارند مصداق معرفت نخواهند بود؛ و این از آن جهت است که متعلق این دانش ها همواره در حال دگرگونى است و هرگز به یک حال نبوده و در آینده نیز نخواهد بود. اگر چنین است پس معرفت را در کدام دانش باید جست وجو نمود؟ افلاطون ریاضیات را پیشنهاد مى کند. از نظر افلاطون در ریاضیات خصوصیتى وجود دارد که آن را در مرتبه اى بالاتر از سایر دانش ها قرار مى دهد. از نظر او ریاضیات از دانش هایى است که انسان را به تفکر وامى دارد (همان).

همچنین انتظام به نقل از کتاب جمهورى افلاطون مى نویسد:

چون ریاضیات زنجیر پندار را از پاى روح آدمى برمى دارد و تفکر را در او برمى انگیزد در مرتبه اى بالاتر از پندار قرار دارد و نباید آن را نیز پندار بنامیم. ازاین رو افلاطون نام دیگرى براى آن پیشنهاد مى کند و آن «شناسایى از راه استدلال» است، تا هم از دانش دیالکتیک که فراتر از ریاضیات است متمایز باشد و هم از پندار که فروتر از آن است. (همان؛ پاپاس، 1353)

همچنین درباره دیدگاه معرفت شناسى دکارت چنین بیان شده است که اساس معرفت شناسى ریاضى وى مبتنى بر نظم بخشیدن و قاعده مند کردن ذهن است. در این باره رزمى مى نویسد:

دکارت براى اینکه زیربناى محکمى براى فلسفه خود بگذارد، ابتدا در همه امور شک و تردید کرد، تا آنچه را که از وضوح و تمایز کلى برخوردار نیست از حوزه معرفت خارج کند. دکارت در وهله اول معرفت ریاضى را یقینى ترین معرفت، معرفى کرد و قایل شد که بقیه علوم اگر مى خواهند به یقینى غیرقابل تردید برسند، باید هم پایه ریاضیات شوند (رزمى، 1380، چکیده).

دکارت تنها معرفت دقیق و یقینى را معرفت ریاضى مى داند. در این باره غفارى مى نویسد:

دکارت شدیدا به ریاضیات علاقه مند بود و حتى نظام معرفت یقینى را فقط محصول تفکر و اندیشه ریاضى مى دانست و سایر رشته هاى علوم را فاقد توانمندى براى دستیابى به معرفت به اندازه توانمندى ریاضى مى شمرد و از این رو، تلاش داشت تا روش ریاضى را در تمام رشته ها به کار گیرد تا شاید آنها در دستیابى به معارف دقیق توانمند شوند؛ زیرا معتقد بود: نه تنها دیگر رشته ها قوت دقت ریاضى را ندارند، بلکه تنها معرفت دقیق و یقینى معرفت ریاضى است. به همین منظور، تصمیم گرفت حتى فلسفه را مبتنى بر روش ریاضى بنا نهد تا به تصور خویش آن را بر اصول تردیدناپذیر بنیاد نماید و این بنیاد همان نقطه عطف عصر خردگرایى غربى گردیده است که در میان اندیشمندان به «اصالت ریاضیات دکارت» شهرت یافته است (غفارى، 1383).

در این باره به نظر مى رسد بعضى از فیلسوفان مانند دکارت داراى دیدگاه افراطى اند. فروغى در این باره مى نویسد:

دکارت معتقد است که تنها معرفت، معرفت حاصل از روش ریاضى است. از این رو، به سبب همین ویژگى ذاتى روش ریاضى، معتقد به برترى این روش بر روش هاى دیگر گردید؛ بلکه قایل به انحصار روش تحصیل معرفت به روش ریاضى شد. (فروغى، 1375، ص 125)

2. معرفت و بصیرت ریاضى

آنچه به منزله مقدمه بحث آورده شد در بیان توجه جدى بعضى از فیلسوفان به موضوع معرفت ریاضى بود. گفته شد که موضوع بحث این مقاله، طرح و بررسى کلى مسئله معرفت شناسى ریاضى نیست، بلکه طرح وجه خاصى از این موضوع است که از طریق توجه دقیق و عمیق به مفاهیم ریاضى حاصل مى گردد که مى تواند به نوعى درست فهمى بینجامد. براى بررسى این موضوع، نخست با توجه به ماهیت و ساختار ریاضى، ادله امکان ایجاد این معرفت بیان مى شود. سپس چگونگى دستیابى به معرفت و بصیرت ریاضى، مورد بررسى قرار مى گیرد و الگوریتمى در این باره ارائه مى شود.

     در ریاضیات دو ویژگى خاص وجوددارد که امکان ایجاد معرفت و بصیرت ریاضى را فراهم مى آورد.

     الف) ساختار منطقى و استنتاجى ریاضیات

ویژگى اول، مربوط به ماهیت و ساختار منطقى و استنتاجى ریاضیات است. این ویژگى به گونه اى است که سبب تفکر و تمرکز فکر مى شود. درباره نقش تفکرى ریاضى از دیدگاه افلاطون، انتظام مى نویسد:

 از نظر افلاطون در ریاضیات خصوصیتى وجود دارد که آن را در مرتبه اى بالاتر از سایر دانش ها قرار مى دهد. از نظر او ریاضیات از دانش هایى است که انسان را به تفکر وامى دارد (انتظام، 1379).

همچنین درباره تمرکز فکر به وسیله ریاضیات در کتاب جمهورى از افلاطون نقل شده است که «خطاهاى حواس باید از راه تمرکز فکر اصلاح شوند و این تمرکز از راه مطالعه ریاضیات میسر خواهد شد.» (پاپاس، 1353)

     ب) خاصیت مجرد بودن ریاضیات

ویژگى دوم ریاضیات، خاصیت مجرد بودن آن است. در این باره جمیز استوارت مى نویسد:

مى توان گفت که قدرت ریاضیات در مجرد بودن آن است. یک مفهوم ریاضى مجرد، مى تواند تعابیر مختلفى در علوم متفاوت داشته باشد. وقتى خواص این مفهوم ریاضى را یک بار و براى همیشه درک نموده و تبیین نماییم، آن گاه مى توانیم برگردیم و تمام این نتایج را در کلیه علوم به کار ببریم. این موضوع خیلى کارآمدتر خواهد بود تا اینکه خواص مفاهیم خاص در هر علم را جداگانه پیدا کنیم. بسیارى از کاربرد هاى مفاهیم ریاضى، به توانایى ما در استنتاج حقایق از این مفاهیم بستگى دارد. (استوارت، 1386، ص 365)

بنابراین با توجه به دو ویژگى مهم یادشده درمى یابیم که ریاضیات مى تواند در حقیقت یابى و درست فهمى پدیده ها مؤثر باشد. نگارنده این نوع حقیقت یابى و درست فهمى را «معرفت و بصیرت ریاضى» مى نامد. تا این مرحله، طرح مسئله انجام شد. در ادامه بحث سه موضوع مورد بررسى قرار مى گیرد: 1. تعیین حوزه معرفتى؛ 2. بررسى چگونگى ایجاد معرفت و بصیرت ریاضى؛ 3. الگوریتم رهگشا در معرفت و بصیرت ریاضى.

     الف. تعیین حوزه معرفتى

در این مقاله آن بخشى از معرفت که به وسیله مفاهیم ریاضى قابل حصول است، معرفت و بصیرت ریاضى نامیده شده است. طبیعى است که ایجاد چنین فهم و معرفتى صرفا در همان حوزه مفهومى، آن هم درباره بعضى از مسائل مى تواند مطرح شود. در همین باره عباراتى همانند این عبارت دکارت بسیار اغراق آمیز به نظر مى رسد: «تنها معرفت، معرفت حاصل از روش ریاضى است.» (فروغى، 1375، ص 125) شاید مراد از این عبارت بیشتر توجه به جایگاه، ماهیت و ساختار ریاضیات باشد، نه شمول معرفتى آن. بنابراین در اینجا مراد از معرفت و بصیرت ریاضى، کمک در فهم بهتر بعضى از مفاهیم و قوانین حاکم بر مسائل اجتماعى، تاریخى و فلسفى است، نه منحصر ساختن معارف به آن و جایگزین کردن سایر منابع شناختى و معرفتى با آن. بنابراین این نوع معرفت درباره بعضى از مسائل شناختى مى تواند مطرح شود و نه در همه مسائل. براى نمونه ورود در حوزه هایى که عقل در آنها ناکارآمد است (مثلاً در حوزه وحى)، از عهده این نوع معرفت خارج است.

     ب. بررسى چگونگى ایجاد معرفت ریاضى

گفته شد که معرفت ریاضى مى تواند به دلیل وجود مفاهیم دقیق، ساختارهاى منطقى و روش هاى عقلى و استنتاجى در ریاضیات ایجاد شود. نکته درخور توجه آن است که مراد از معرفت ریاضى در این بحث، نه بیان قوانین علمى در علومى مانند فیزیک، شیمى و مکانیک با استفاده از مفاهیم ریاضى است و نه بیان کاربردهاى ریاضیات در آن علوم؛ بلکه بررسى امکان کسب معرفتى است که در خود مفاهیم و ساختارهاى ریاضى نهفته است. این معرفت از طریق توجه دقیق و عمیق به مفاهیم ریاضى و همچنین به وسیله شناخت روابط ریاضى حاکم بر پدیده ها (ارائه شده توسط علوم مختلف) حاصل مى گردد، که گونه اى راهیابى و دستیابى به حقیقت را امکان پذیر مى سازد. در ادامه درباره چگونگى ایجاد معرفت ریاضى، الگوریتمى ارائه شده است که مراحل دستیابى به این معرفت را هموارتر مى سازد. کلمه «الگوریتم» از نام ریاضى دان ایرانى، ابوجعفر محمدبن موسى خوارزمى (سال 825م) گرفته شده است. این کلمه در علوم کامپیوتر داراى جایگاه ویژه اى است. علیخانزاده درباره معناى کلمه الگوریتم مى نویسد: «الگوریتم به مجموعه محدودى از دستورالعمل ها اطلاق مى گردد که اگر دنبال شوند، حاصل کار موجب حل مسئله خاصى مى گردد.» (علیخانزاده، 1389، ص 5) البته در این بحث مراحل الگوریتم زیر صرفا مى توانند راهگشا باشند و نه لزوما ایجادکننده معرفت؛ زیرا دستیابى به معرفت که گونه اى خودآگاهى است، نیازمند عوامل پرشمار دیگرى است که بیان آن از حوصله این بحث بیرون است. به عبارت دیگر طرح این بحث بدین معنا نخواهد بود که هر ریاضى دانى، صاحب معرفت مى شود و هر کس ریاضى نمى داند، فردى بى معرفت است.

     ج. الگوریتم راهگشا در معرفت ریاضى

این الگوریتم دربردارنده مراحل و گام هایى است:

گام اول فهم محتواى مفهوم ریاضى: بازخوانى مفهوم همراه با توجه به ویژگى هاى خاص مفهوم به منظور پاسخ به این پرسش که این مفهوم چه چیزى را مى خواهد بیان کند؟ یا این مفهوم چه معناى جدیدى را ایجاد کرده است؟

گام دوم درک روابط حاکم بر اجزاى مفهوم: توجه به ساختار، اجزا و روابط بین اجزاى مفهوم به منظور پاسخ به این پرسش که این مفهوم چه ساختارى دارد؟

گام سوم درک ارتباط این مفهوم با سایر مفاهیم: به منظور پاسخ به این پرسش که این مفهوم چه ارتباط منطقى اى با سایر مفاهیم ریاضى دارد؟

گام چهارم بسط معرفتى مفهوم به سایر مفاهیم: این مفهوم به درک چه مفاهیم و یا چه حقایقى مى تواند کمک کند؟

     گفتنى است که سه گام اول الگوریتم شرط هاى مقدماتى و در عین حال لازم تلقى مى شوند و تحقق گام چهارم در حقیقت، مرحله ایجاد معرفت و بصیرت است. در ادامه براى دو مفهوم ریاضى، مصادیقى از نحوه دستیابى به معرفت و بصیرت، ارائه شده است.

3. جنبه معرفتى مفهوم تابع

تابع یکى از مفاهیم بسیار اساسى و پایه در ریاضیات جدید است. شکل ساده و کلى تابع یک متغیره بدین صورت است:y=f(x)   

      معمولاً ضابطه تابع، نوع وابستگى متغیرها را به یکدیگر نشان مى دهد. بر حسب نوع تابع (خطى، چندجمله اى، نمایى، مثلثاتى و...) وابستگى تغییرات متغیرها (وابسته و مستقل) معین مى شود. این مسئله، نکته مهمى است که در تحلیل تابع اهمیت دارد. با فرض اینکه سه مرحله اول الگوریتم فوق درباره مفهوم تابع طى شده و مفهوم تابع به گونه کامل درک شده است، این فهم عمیق مى تواند در یافتن پاسخ به این پرسش اصلى مؤثر باشد:

     «مفهوم ریاضى تابع، در درک چه حقایقى مؤثر است؟»

     از مفهوم تابع مى توان به این حقایق پى برد:

     حقیقت 1. تابع ریاضى صرفا قانونى است حاکم بر وابستگى کمیت هاى متغیر، به هم. (کورانت، 1379، ص 293ـ295)

     حقیقت 2. با دقت نظر در مفهوم تابع و توجه دقیق به نحوه رخداد پدیده ها مى توان دریافت که بسیارى از قوانین حاکم بر پدیده ها، به صورت تابع عمل مى کنند. براى نمونه در کتاب ریاضیات چیست آمده است:

قانون هاى فیزیکى چیزى نیستند مگر حکم هایى درباره نحوه وابستگى برخى از کمیت ها به کمیت هاى دیگر که بعضى از اینها مجاز به تغییرند (متغیرهاى مستقل). مثلاً فشار جو به ارتفاع و انرژى یک گلوله به جرم و سرعت آن بستگى دارد. کار فیزیک دانان آن است که ماهیت دقیق یا تقریبى این وابستگى را تعیین نمایند (همان).

بنابراین کشف قوانین حاکم بر پدیده هاى فیزیکى دقیقا مبتنى بر مفهوم تابع است که چگونگى وابستگى متغیرها را به یکدیگر نشان مى دهد.

     همین بحث را مى توان درباره سایر موضوعات در علوم مختلف جست وجو کرد. البته کشف این قوانین در حوزه هاى تخصصى به عهده دانشمندان همان حوزه ها بوده و هست. کشف این قوانین در حوزه هاى علوم مهندسى و تجربى، به ساخت وسایل و ابزار موردنیاز بشر مى انجامد و در حوزه هاى علوم انسانى و اجتماعى مى تواند منجر به تصمیمات مدیریتى و هدایتى شود. ما براى روشن کردن منظور خود درباره نحوه به کارگیرى مفهوم تابع در کشف قوانین، دو مثال فیزیکى ارائه مى کنیم؛ ولى مصداق و منظور حقیقى ما بیشتر نشان داد امکان ایجاد معرفت در حوزه هاى علوم انسانى است؛ یعنى در جهاتى که انسان بیشتر نیازمند آنهاست، ولى کمتر کانون توجه قرار گرفته اند؛ زیرا معرفت سطحى بالاتر از دانش است و گونه اى راهیابى و دستیابى به حقیقت است.

     الف. نقش کاربرد مفهوم تابع در قوانین فیزیکى

     مصداق 1. قانون بویل درباره گاز موجود در یک محفظه با دماى ثابت، حاصل ضرب فشار در حجم مقدارى ثابت است (p.v=c). با حل این معادله مى توان هریک از متغیرهاى فشار و حجم را به صورت تابعى از دیگرى به دست آورد. (استوارت، 1389، ص 365)

     مصداق 2. قانون میزان انرژى قابل ذخیره در یک خازن بدین صورت است:

; حقیقت 3. در استفاده از مفهوم تابع به منزله بیان قانون بین چند متغیر، منظور بیان قانونى که حاکى از رابطه علّى و معلولى باشد، نیست؛ یعنى اینکه وجود یک متغیر علت وجود متغیر دیگر بوده باشد یا خیر، نیست، بلکه تنها بیان نوع وابستگى بین متغیرهاست. (همان)

     ب. بحث معرفتى تابع در حوزه علوم انسانى

حقیقت 4. بسیارى از قوانین حاکم بر پدیدهاى اجتماعى به صورت تابع اند. کشف این قوانین به عهده دانشمندان و نظریه پردازان علوم اجتماعى است. اطلاع ما از این قوانین و توجه مفهومى به نحوه وابستگى متغیرها در هر قانون، مى تواند در راهیابى و انتخاب مسیر و تصمیمات ما در زندگى مؤثر باشد.

     مثال 1. نوع وابستگىِ میزان تلاش و وصول به اهداف.

     تفسیر: رابطه مستقیم وجود دارد؛ یعنى ارتباط دو متغیر به صورت خطى و صعودى است؛ یعنى با افزایش تلاش، امکان وصول به هدف بیشتر است.

     مثال 2. تعیین نوع وابستگى بین خدمت صادقانه و محبوبیت مردمى.

     تفسیر: رابطه مستقیم وجود دارد؛ یعنى ارتباط دو متغیر به صورت خطى و صعودى است.

     مثال 3. اطلاع از قوانین سود بانکى و چگونگى وابستگى و تأثیرگذارى متغیرهاى آن بر هم، مى تواند در تصمیم گیرى فرد براى سرمایه گذارى مؤثر باشد.

      ج. درک گزاره هاى دینى (معرفت زندگى) با کمک مفهوم تابع

حقیقت 5. هستى قانونمند است و بسیارى از قوانین کلى در حوزه هاى علوم انسانى، سنت هایى تغییرناپذیرند که به صورت تابع عمل مى کنند. نوع عملکرد تابع به وسیله ضابطه تابع مشخص مى شود؛ یعنى مقدار متغیر وابسته براى هر مقدار از متغیر مستقل، وابسته به ضابطه و قانون تابع است.

     حقیقت 6. معرفت ریاضى مى تواند کمک مؤثرى در درک گزاره هاى دینى داشته باشد؛ یعنى اطلاع از سنت هاى الهى به منزله گزاره هاى کاملاً درست، که از طریق منابع یقینى مانند قرآن مجید (و منابع دیگرى مانند احادیث و روایات مستند) به دست مى آیند. ما مى توانیم به روش فوق و به طور مشابه از طریق معرفت ریاضى به درک بهتر این حقایق دست یابیم. این امر موجب راهیابى بهتر فرد در زندگى مى شود. گفتنى است که در حوزه هایى مانند مسئله زندگى پس از مرگ، نحوه پاداش و مجازات و سایر مواردى که از حوزه علم تجربى خارج اند، نیز ابزار معرفت ریاضى مى تواند در درک این مفاهیم کمک مؤثرى باشد. بعضى از نمونه هاى ذیل از جمله این مواردند که به صورت تابع عمل مى کننند؛

     مثال اول: خداوند در قرآن، رابطه بین کار نیک و پاداش آن کار را به صورت ده برابر و مجازات کار بد را به اندازه خود همان کار بیان مى کند؛ آنجا که مى فرماید: «مَن جَاء بِالْحَسَنَةِ فَلَهُ عَشْرُ أَمْثَالِهَا وَمَن جَاء بِالسَّیِّئَةِ فَلاَ یُجْزَى إِلاَّ مِثْلَهَا وَهُمْ لاَ یُظْلَمُونَ.» (انعام: 160)

     در مورد اول، مثلاً ضابطه تابع مى تواند به صورت  f(x)=10xو در مورد دوم، به صورت f(x)=x تعبیر شود.

     تفسیر: در این باره ضمن بیان قانونمندى، جنبه رحمانیت و رحیمیت خداوند سبحان و لطف و مرحمت بارى تعالى به بندگان اعلام مى شود.

     مثال دوم: وجود وابستگى بین پاداش و اعمال حسنه: «هَلْ جَزَاء الْإِحْسَانِ إِلَّا الْإِحْسَانُ» (الرحمن: 60).

     تفسیر: در این مورد نیز تأکید بر وجود ارتباط منطقى بین عمل و پاداش دیده مى شود. در این حالت به طور منطقى بین دو متغیر رابطه مستقیم برقرار است.

      در بسیارى از حالت هاى دیگر، ارتباط بین عمل حسنه و پاداش یا به صورت خطى و صعودى است و یا با توجه به قراین قرآنى، نوع تابع مى تواند به صورت چندجمله اى و یا نمایى باشد؛ یعنى رشد مقدار تابع بسیار بیشتر از رشد مقدار متغیر است. به عبارت دیگر، پاداش اعمال صالح، بسیار بیشتر از خود عمل است؛ به گونه اى که خداوند آن را اجر عظیم مى نامد؛ آنجاکه مى فرماید: «وَعَدَ اللّهُ الَّذِینَ آمَنُواْ وَعَمِلُواْ الصَّالِحَاتِ لَهُم مَّغْفِرَةٌ وَأَجْرٌ عَظِیمٌ.»(مائده: 9)

     مثال سوم: یک تعبیر وسیع تر از تابع، در نحوه ارزیابى عملکردهاى انسان:

     حقیقت 7. مى توان با استفاده از مفهوم تابع مرکب، نحوه ارزیابى عملکردهاى انسان ها را درک کرد. تابع مرکب زیر را در نظر مى گیریم:

     1. xiها که امکانات دنیایى فرد تلقى مى شوند، به منزله نعمت هایى از سوى خداوندند و فرد موظف در به کارگیرى آنها براى رشد خود و جامعه است. بنابراین میزان تلاش فرد در به کارگیرى این نعمت ها، اندازه توابع gi را تعیین مى کند؛

     2. حاصل اعمال هر فرد که به صورت توابع gi نمایش داده شده است، از لحاظ اندازه کیفى است و به پارامترهایى مانند نیات، اخلاص و تقواى فرد نیز وابسته است. همچنین همواره چنین نیست که افزایش تعداد متغیرها، یعنى xi سبب افزایش مقدار تابع شده باشد؛

      3. ماهیت تابع g، که در علم خداوند است. بنابراین قضاوت و ارزیابى اعمال انسان ها در جهان آخرت تنها از آن خداوند است و ما از کم وکیف آن مطلع نیستیم؛

     4. آنچه انسان ها در عملکرد خود هزینه مى کنند متاع دنیایى است که فانى است؛ ولى آنچه به منزله پاداش دریافت مى کنند متاع آخرتى و باقى است.

4. معرفت ریاضى در نظریه گراف ها

گفته شد که معرفت ریاضى مى تواند به دلیل وجود مفاهیم دقیق، وجود ساختارهاى منطقى و روش هاى عقلى و استنتاجى در ریاضیات ایجاد شود. در ادامه درباره چگونگى امکان ایجاد معرفت ریاضى توسط ساختار گراف ها توضیح مى دهیم. براى این منظور از مفهوم مدل سازى ریاضى استفاده مى شود. مدل سازى، فرایند انتقال از جهان واقعى به جهان مجرد و سپس به کارگیرى ابزار (یا نظریه) براى پیش بینى درباره حقیقت، تعریف شده است. حال اگر یک مسئله یا یک پدیده از جهان واقعى را به منزله یک سیستم در نظر بگیریم، یک سیستم عبارت خواهد بود از مجموعه اى از اجزاى مختلف که به یکدیگر وابسته و باهم مرتبط اند و براى هدف خاص و یا انجام کارى، طراحى شده است.

الف. مدل ریاضى گراف ها

یک مدل ریاضى گراف با تعیین عناصر یک سیستم به منزله رئوس و چگونگى ارتباط بین عناصر، به منزله یال ها، به صورت یک گراف شکل مى گیرد. در نمودار شماره (1) فرایند مدل سازى گراف ارائه شده است.

     به گونه کلى براى مدل سازى گراف مى توان دو هدف بنیادین را مطرح ساخت:

     الف) طرح و تعیین بهترین ساختار براى سیستم هایى که وجود ندارند و باید طراحى شوند؛

     ب) تحلیل رفتار سیستم به منظور بهبود عملکرد براى سیستم هایى که وجود دارند و باید چرخه کارها در آن سیستم اصلاح شود.

     ب. حقایق مربوط به مدل ریاضى گراف

حقیقت 1. در دنیاى کنونى، که ارتباطات نقش اصلى را دارند، تحلیل معرفتى شبکه هاى ارتباطى، به ویژه در بُعد مسائل اجتماعى مى تواند بسیار بصیرت افزا باشد؛

     حقیقت 2. تحلیل درست روابط سیاسى ـ اجتماعى کشورها با یکدیگر در ایجاد درک سیاسى، توجه به روابط مجموعه هاى اجتماعى در شناخت گروه هاى سیاسى و دقت در سایر مسائل ارتباطى همه و همه مى توانند در راهیابى فرد مؤثر باشند؛ (رحیمى شعرباف، 1387)

     حقیقت 3. بسیارى از پدیده هاى اجتماعى به صورت یک سیستم عمل مى کنند. شناخت یک سیستم با اطلاع از نحوه ارتباط عناصر آن سیستم با یکدیگر امکان پذیر است. بررسى ساختار گراف مى تواند شناخت ما را هم نسبت به تحلیل شبکه هاى ارتباطى و هم نسبت به شناخت یک سیستم امکان پذیر کند.

نتیجه گیرى

در این مقاله گفته شد که درک مفهومى ریاضیات مى تواند در حقیقت یابى و درست فهمى پدیده ها مؤثر باشد. نگارنده این نوع حقیقت یابى و درست فهمى را «معرفت و بصیرت ریاضى» نامیده است. در این باره ضمن بیان دیدگاه هاى معرفت شناختى ریاضى افلاطون و دکارت، تأکید شد که حوزه چنین فهم و معرفتى محدود است و صرفا در همان حوزه مفهومى خاص، مطرح است. در همین زمینه، درباره معرفت ریاضى مفهوم تابع، هفت حقیقت و درباره مفهوم مدل گراف ها، سه حقیقت را بیان کردیم.

   منابع

ـ استوارت، جمیز (1389)، حسابگان عام، دیفرانسیل و انتگرال، ترجمه محمدحسین علامت ساز، تهران، نوپردازان.

ـ انتظام، سیدمحمد، «ساختار منطقى معرفت شناسى افلاطون» (زمستان 1379)، نامه مفید، ش 24، ص 5ـ35.

ـ پاپاس، نیکولاس (1353)، جمهورى افلاطون، ترجمه محمدحسن لطفى، تهران، خوشه.

ـ رحیمى شعرباف، صادق (1387)، مدل ریاضى تصمیم گیرى فازى و گراف فازى در توسعه سیاست خارجى و روابط بین الملل، اولین کنفرانس ملى کاربرد فناورى اطلاعات و ریاضیات در علوم سیاسى و روابط بین الملل، تهران، دانشکده روابط بین الملل.

ـ رزمى، عبدالله (1380)، مقایسه معرفت شناسى دکارت و جان لاک و نقد آن، پایان نامه کارشناسى ارشد، رشته فلسفه، خوراسگان، دانشگاه آزاد اسلامى.

ـ علیخانزاده، امیر (1379)، طراحى الگوریتم ها، تهران، پرتونگار.

ـ غفارى، حسن، «رویکردى به اصالت ریاضى نزد دکارت» (فروردین 1383)، معرفت، ش 76، ص 105ـ115.

ـ فروغى، محمدعلى (1375)، سیر حکمت در اروپا، تصحیح و تحشیه امیر جلال الدین اعلم، تهران، البرز.

ـ کورانت، ریچارت (1379)، ریاضیات چیست؟، ترجمه سیامک کاظمى، تهران، نى.

- Bondy J. A. and Murty U. R. (1977), Graph theory With Application, The Macmillan Press Ltd Reprinted.