معرفت فلسفی

سال دهم، شماره اول، پاییز 1391 ـ 81ـ111

غلامحسین رحیمى^*

چکیده

مفهوم امتداد در علوم طبیعى و ویژگى امتدادمندى اشیاى مادى نزد حکماى اسلامى مفروض و بدیهى انگاشته شده است. اینکه جسم مادى امرى عریض و طویل و عمیق است، تقریبا پذیرفته همه حکماست؛ هرچند در توصیف و تبیین آن شیوه هاى متفاوتى را به کار گرفته اند. شاید به جرئت بتوان گفت تنها مفهوم عقلى اى که مشترک بین همه حکماى متقدم و متأخر است، همین ویژگى امتدادمندى اشیاى طبیعى است. به علت بدیهى انگاشتن امتدادمندى و نیز تواتر و تکرار در پذیرش این مفهوم، به تبیین دقیق موضوع امتدادمندى چندان عنایت نشده و به ویژه این کمیت با نگاه جدیدتر و متأثر از یافته هاى ذیربط دانش جدید کمتر مورد فحص واقع شده است؛ به گونه اى که از زمان ابن سینا تاکنون، همان گونه که در این مقاله نشان داده مى شود، تبیین جدیدتر و متفاوتى از مفهوم بعد و امتدادمندى ارائه نشده است.

در این مقاله، با بهره گیرى مستقیم از مباحث ابن سینا درباره جسم ممتد، کوشیده ایم که تقریرى نسبتا جدید از مفهوم امتداد عرضه کنیم. به علاوه بر آنیم تا موضوع امتداد را تنها متعلق به حوزه علوم عقلىِ محض نبینیم و آن را بخشى از موضوع دانش جدید نیز به شمار آوریم. از این رو به نسبتِ امتداد و مفاهیم همانند آن در ریاضى نیز توجه کرده ایم.

کلیدواژه ها: امتداد، بعد، جسم طبیعى، دستگاه ممتد، دستگاه مختصات، طبیعیات سینوى.

---

* استاد دانشکده فنى دانشگاه تربیت مدرس. Rahimi_gh@modares.ac.ir
دریافت: 26/1/91 پذیرش: 11/7/91.

---

مقدّمه

دستیابى به معرفتى که هم به جنبه هاى مابعدالطبیعى (عقلى) دانش توجه کند و هم ابعاد طبیعى (تجربى) آن را دربرگیرد، نخستین گام در دستیابى به معرفت جامع است. در این دیدگاه، تعارض میان مباحث عقلى و تجربى از میان برداشته مى شود و تمایزى که مشخص کننده مرزها و روش دو حوزه معرفتى است، بر جاى مى ماند. در این رویکرد، هر حوزه معرفتى متکفل توصیف وجهى از وجوه یک واقعیتِ واحد عینى اما چندبعدى است و لذا ساحت هاى مختلف معرفتى رویکردى تکمیلى نسبت به یکدیگر دارند. این پیوستگى بین مباحث را با در پیش نهادن موضوعاتى که پرداختن به آنها مشترک بین علم و فلسفه است، مى توان نشان داد و یا برقرار کرد. این مقاله موضوع امتداد را به منزله مفهومى مشترک بین علم و فلسفه کانون بحث قرار مى دهد. مهم ترین مؤلفه این مقاله جمع بین داده هاى معرفتى مختلف در بحث امتداد است. شیوه بحث بازتاباننده این واقعیت است که اگر در مباحث حکما درباره موضوع امتداد، و موضوعات مانند آن، داده هاى یک حوزه معرفتى توسط حوزه دیگر مسکوت مى ماند و یا حتى نفى مى شود، مشکل معرفت شناختى نیست، بلکه معضل روش شناختى است.

صاحب نظران و محققان علم و فلسفه به مفهوم امتداد در جسم طبیعى کمتر توجه کرده اند. بر اساس بررسى و مرور نگارنده، مقاله مستقلى در داخل کشور درباره امتداد نگاشته نشده است. بحث امتداد اغلب ذیل مبحث «جسم» و یا در بخشى از آن مبحث مطرح شده است. مقاله پیش رو، که در حقیقت در راستاى تکمیل مقاله پیشین نگارنده است،¹ هم تقریرى کمابیش متفاوت از مفهوم امتداد در حکمت سینوى به دست مى دهد و هم هرجا که اقتضاى بحث بوده، مفاهیم مشابه علم تجربى را به صورت تطبیقى مطرح کرده است.

طرح مسئله

به گونه تعجب برانگیزى حکماى مسلمان در ممتد دانستن جسم طبیعى متفق اند و این صفت را در جسم طبیعى مفروض و ذاتى دانسته اند. به عبارت دیگر برخلاف مفهوم جسم طبیعى که برخى آن را مرکب از ماده و صورت دانسته اند و بعضى این ترکیب را نفى کرده اند، مفهوم امتدادمندى جسم نزد حکماى مشاء، اشراقیون و پیروان حکمت متعالیه پذیرفته شده است. براى نمونه، میرداماد مى نویسد: «إنّما للجسم الطّبیعىّ، بما هو جسم طبیعىّ، أن یکون سنخ طبیعته وجوهر ماهیته ممتدّا فى الجهات الثّلاث على الإطلاق. فهذا له فى مرتبة ذاته.»²

ملّاصدرا نیز بارها این امتدادمندى جسم را تأیید مى کند و براى نمونه، مى نویسد: «فى هذا التقسیم أن یقال الجوهر إن کان قابلا للأبعاد الثلاثة فهو الجسم.»³

بهمنیاربن مرزبان در التحصیل⁴ و نیز ابوالبرکات در المعتبر همین معنا را از جسم به دست مى دهند.⁵ ابن طفیل در کتاب حى بن یقظان بر اینکه همه اجسام در هر چیزى با هم متفاوت باشند، در دارا بودن ابعاد سه گانه، طول و عرض و عمق، مشترک اند، تأکید مى کند.⁶ شیخ اشراق نیز در پرتونامه مى گوید: «هر جوهر که البته خالى نشود از طولى و عرضى و عمقى ما آن را جسم خوانیم»؛⁷ و در هیاکل النور بر بدیهى بودن آن تصریح مى کند: «بدان که جسم آن است که مقصود به اشارت بود، و در وى درازى و پهنا و دورى بود بى هیچ شبهت.»⁸

علما و حکماى متأخر نیز مفهوم بعد و امتدادمندى را به همان صورتى که ابن سینا و فلاسفه متقدم توصیف کرده اند، پذیرفته اند. براى نمونه، علّامه طباطبائى در بدایه الحکمة مى نویسد: «لاریب أن هناک اجساما مختلفة تشترک فى اصل الجسمیة التى هى الجوهر الممتد فى الجهات الثلاث.»⁹ نیز مى نویسد: «فالجسم الذى هو جوهر ذو اتصال یمکن ان یفرض فیه الامتدادات الثلاث.»¹⁰ همچنین استاد مطهّرى در درس هاى اشارات، نجات و شفا مى نویسد:

در باب جسم آنچه روشن و بدیهى است و احتیاج به اثبات ندارد، این است که ما اشیایى را در مقابل خود مى بینیم که این اشیا قابلیت ابعاد سه گانه را دارند. مثلاً این کتاب شیئى است داراى طول و عرض و عمق.¹¹

آیت اللّه مصباح نیز در آموزش فلسفه مى گوید: «روشن ترین ویژگى جسم، امتداد آن در سه جهت است.»¹² نیز آیت اللّه جوادى آملى در فلسفه صدرا بارها به این نکته اشاره مى کند: «فصل صورت جسمیه، امتداد عمودى در جهات سه گانه است، و امتداد، امر بالفعل و متحصل است»؛¹³ «فصل جسم، مفهوم روشن و بى ابهامِ ممتد است.»¹⁴

در غرب ارسطو جسم طبیعى را تصنیف کرد و این معنا مورد پذیرش بود تا دکارت که اصولاً جسم طبیعى و ماده را مترادف امتداد فرض و توصیف کرد. پس از آن نیز دانشمندان علوم عقلى و تجربى امتدادمندى جسم را مستقیم و یا غیرمستقیم تأیید کرده و به کار گرفته اند.

از این رو به جرئت مى توان گفت که در آثار فلاسفه و حکماى مسلمان معنا و مفهوم امتداد و امتدادمندى جسم طبیعى در طول بیش از هزار سال تغییر نیافته و تفسیر جدید و توصیف متناسب با پیشرفت هاى علمى در این زمینه نداشته است.

مفهوم امتدادمندى نزد ابن سینا

امتداد¹⁵ در لغت به معناى درازا و گسترش است.¹⁶ براى نمونه امتداد شى ء به معناىدرازاى آن، و امتداد راه به معناى طولانى بودن آن، امتداد زمان به معناى طول و مدت زمان، و امتداد حیات به مفهوم طول عمر است. امتداد داشتن نیز به معناى کشیده شدن است.

نزد ابن سینا نخستین ویژگى ذاتى جسم طبیعى، امتدادمندى یا کشش مکانى یا فضایى است. ابن سینا مى گوید جسم طبیعى جوهرى است که بتوان در آن سه امتداد فضایى یا مکانى فرض کرد.¹⁷ وى براى تصور این امتدادها، آنها را دو به دو برهم عمود فرض مى کند.¹⁸ نکته مهم آن است که از جسم طبیعى، به منزله یک واقعیت عینى،¹⁹ نمى توان ویژگى امتدادمندى را سلب کرد؛ زیرا این ویژگى، ذاتى (جوهرى) جسم است. به عبارت دیگر هرچند امتداد کمیت پیوسته اى است، صفتِ کمیت نیست، بلکه صفت جسمى است که این مفهوم را به آن نسبت مى دهیم؛ و جسم را نمى توان از این صفت، مانند اوصاف عَرَضى مانند گرمى و سردى، سفتى و نرمى و نظایر آن خلع کرد. این ویژگى را ذهن با مشاهده اشیاى طبیعى که بخشى از فضاى فیزیکى را اشغال کرده اند، و اینکه این ویژگى در همه اشیا مشترک است، استنتاج مى کند. لذا امتدادمندى، ویژگى مشترک همه اجسام طبیعى است. البته از این کشش مکانى یا فضایى اجسام، ذهن مفاهیم جزئى ترى را نیز مى سازد که از آنها به حجم، شکل، هیئت و مکان جسم تعبیر مى شود که قابل تغییر، وضع و سلب اند. براى مثال، حجم، حاصل امتدادمندى محدود یا مقیدشده جسم در سه جهت درازا، پهنا و ستبراست. گواه این امتدادمندى مکانى و یا کشش فضایى اجسام آن است که مى توان در هر جسمى سه امتداد متعامد فرض و تصور کرد. به عبارت دیگر هم مى توان سه امتداد عمود بر هم در جسم فرض کرد و هم مى توان سه امتداد متعامد را در یک جسم طبیعى به گونه عینى پدید آورد. لذا مفهوم امتداد (سه گانه) در اجسام طبیعى حقیقى است نه اعتبارى؛ و در نتیجه با نفى اعتبارکننده نقض نمى شود. شکل (1) جسم طبیعى را که در آن سه امتداد عمود بر هم فرض شده اند، نشان مى دهد.

شکل 1: جسم طبیعى با سه امتداد متعامد مفروض²⁰

ابن سینا تأکید مى کند که امتدادمندى جسم، ذاتى است. این امتدادمندى تعین ویژه اى ندارد و ناظر به هیچ مقدار کمى مشخصى نیست؛ اما مى توان امتدادهاى معینى را در جسم فرض کرد. این مفهوم امتداد سه گانه معین و کمّى شده دیگر در جسم جوهرى و ذاتى نیست؛ به گونه اى که امتدادهاى سه گانه مفروض در جسمى شکل پذیر، مانند گِل یا موم (جامد شکل پذیر)، یا آب (مایعى که همواره شکل ظرف حاوى خود را مى گیرد)، با تغییر شکل جسم مى تواند تغییر کند و دستگاه فرضى اولیه، یعنى سه امتداد متعامد مفروض اولیه، به دستگاه دیگرى، یعنى به سه امتداد متعامد دیگر، تبدیل شود، در حالى که که کشش فضایى سه بعدى جسم، به مثابه یک ویژگى ذاتى براى هر دو جسم همواره برقرار است.²¹ ابن سینا حتى به تغییر حالات جسم نیز توجه مى کند. براى نمونه آب که به سه شکل جامد (یخ)، مایع و گاز (بخار) وجود دارد، در هر سه حالت واجد امتداد است، اما امتدادهاى کمّى آن در حال تغییرند. نکته مهمى که ابن سینا بر آن تأکید مى کند این است که چون جسم ذاتا امتدادمند است، لذا فرض ابعاد سه گانه در آن ممکن مى شود، و یا برعکس، فرض امتدادهاى سه گانه در جسم بدین دلیل امکان پذیر است که جسم از ویژگى ذاتى امتدادمندى برخوردار است. لذا جسمیت جسم ناشى از امکان فرض امتدادهاى سه گانه است، نه به علت فرض یک دستگاه قراردادى مکانى مانند سه بعد مستقیم الخط دوبه دو عمود بر هم. امتدادمندى ویژگى اى است که مقوم حقیقت جسم است، نه فعلیتِ ابعاد. به همین دلیل است که ابن سینا امکان فرض ابعاد سه گانه را در تعریف جسم وارد مى کند، نه فعلیت آن را.²² این دقت، پاسخ به برخى اشکالات ناشى از خلط امتداد ذاتى و امتداد عرضى است که در کتب و مقالات گوناگون مطرح شده اند و مى شوند؛ بدین قرار که براى مثال، اگر ابعاد جسمى مساوى بود، درنتیجه طول و عرض و عمق آن مشخص نیست؛ و لذا تعریف اینکه جسم در راستاهاى عرض و طول و عمق امتداد یافته است، صحیح نیست،²³ و یا اینکه در جسم کروى اصولاً هیچ تمایزى بین ابعادش نیست و به عبارت دیگر طول و عرض و عمق ندارد. در پاسخ باید گفت که اولاً واضح است که عرض و طول و عمق قراردادى اند. براى نمونه اگر جسم به شکل یک مکعب باشد، به علت مساوى بودن اضلاع کسى منکر سه بعدى بودن آن نمى شود و امتدادمندى آن را در جهات سه گانه نفى نمى کند. اینکه کدام امتدادْ پهنا و کدام درازا باشد، بسته به قرارداد اعتبارکننده است و ربطى به صفت ذاتى امتدادمندى جسم ندارد. به عبارت دیگر امتدادمندى ذاتى کاملاً متفاوت از بعد کمى جسم است؛ ثانیا در جسم کروى هم مى توان ابعاد سه گانه را فرض و تصور کرد و هم اینکه با برش متناسب این سه امتداد را به گونه عینى پدید آورد.²⁴

به گونه اى شگفت انگیز، مشابهت نظریه دکارت مبنى بر اینکه ماهیت جوهر جسمانى امتداد است، با این فقره از نظریه ابن سینا بسیار است. در این زمینه، توصیفى که در بخش امتداد و ماده از مقاله «ماده از نظر دکارت» آمده است، مؤید این نکته است.²⁵ دکارت در اصول فلسفه مى گوید:

گرچه هر صفتى براى اینکه شناختى از جوهر به ما بدهد به تنهایى کافى است، اما همیشه یک صفت در جوهر هست که طبیعت و ذات جوهر را تشکیل مى دهد و همه صفات دیگر تابع آن است. مقصود من امتداد در طول و عرض و عمق است که تشکیل دهنده طبیعت جوهر جسمانى است یا اندیشه که تشکیل دهنده طبیعت جوهر اندیشنده است.²⁶

وى ماده را کمیت متصلى مى داند که به وضوح تصورپذیر است: «در وهله اول کمیتى را با وضوح و تمایز تصور مى کنم که فلاسفه معمولاً آن را کم متصل یا امتداد در درازا، پهنا و ستبرا مى نامند.»²⁷ مهم ترین ویژگى اى که در اشیاى مادى به وضوح تصورپذیر است «حجم یا امتداد در درازا و پهنا و ستبرا، [و] شکلى [است] که حاصل حد و مرز این امتداد است.»²⁸ دکارت مثال موم را ارائه مى کند و مى گوید که اگر همه چیزهایى را که به موم تعلق ندارند از آن حذف کنیم چیزى باقى مى ماند که داراى امتداد، نرم و حرکت پذیر است.²⁹ منظور از نرم این است که مى توان آن را به شکل هاى مختلف درآورد. موم جسمى است که استعداد پذیرش تغییرات (شکل) نامتناهى را دارد. سپس دکارت مى پرسد که این امتداد چیست؟ در پاسخ دوباره به توضیح خواص جسم مى پردازد، و عملاً براى این پرسش بنیادین پاسخى درخور ارائه نمى کند. به هرحال برداشت نگارنده آن است که دکارت در توضیح و معرفى مفهوم امتداد، چیزى بر آنچه ابن سینا و فیلسوفان پس از وى، و پیش از دکارت، مطرح کرده اند، نمى افزاید. به علاوه اگر ذات اشیا را همان امتداد بدانیم، مانند آنچه دکارت فرض مى کند، آن گاه همان گونه که لایب نیتس مى گوید تفاوتى میان یک شى ء ممتد مانند سنگ، و فضایى که توسط این شى ء اشغال شده است، نخواهد بود؛ اما در تعریف ابن سینا تنها یکى از خاصه هاى ذاتى جسم امتداد است. در چارچوب تفکر سینوى اگر نقل دکارت را بپذیریم، فرق میان جسم تعلیمى (که پس از این معرفى مى شود) و طبیعى، حتى در مرحله تحلیل ذهنى، از میان خواهد رفت.³⁰

بر این اساس مبتنى بر کشش ذاتى مکانى اجسام مى توان بى نهایت دستگاه ممتد مکانى براى جسم، یا در توصیف فضایى جسم، اعتبارا وضع کرد. براى مثال، همان گونه که براى یک جسم مکعب مستطیل مى توان سه امتداد مستقیم عمود بر هم، دستگاه مستقیم الخط قائم، در نظر گرفت، براى یک جسم کروى مى توان علاوه بر دستگاه یادشده، دستگاه سه بعدى کروى نیز اعتبار کرد، که دو امتداد آن در راستاى دو دایره عظیمه عمود بر هم و امتداد سوم در راستاى شعاع کره عمود بر دو امتداد مزبور است. بنابراین در حالت کلى این سه امتداد مى توانند نه مستقیم باشند و نه دوبه دو عمود بر هم.

با این توصیف، نخستین خاصه جسم که در طبیعیات ابن سینا مطرح است، یعنى امتدادمندى متعین شده، تفاوت چندانى با آنچه اینک در مکانیک، خاصه فضایى جسم فیزیکى (طبیعى) خوانده مى شود، ندارد. در مکانیک کلاسیک جسم مجموعه ذراتى است که به صورت یک پیوستار، فضاى معینى را پر مى کند؛ حال اگر فاصله ذرات تحت عوامل داخلى و خارجى همواره ثابت بماند، جسم صلب³¹ خوانده مى شود، و اگرذرات جسم نسبت به یکدیگر در حرکت و چرخش باشند (مانند موم)، جسم شکل پذیر³² نامیده مى شود. در هر دو حالت، کشش فضایى یا امتدادمندى جسممفروض گرفته مى شود و از این بابت تفاوتى با مفهوم جسمِ ممتدِ مکانى در طبیعیات سینوى ندارند. در جسم صلب، عوامل خارجى، مانند نیروهاى مکانیکى (طبیعى و اجبارى یا قسرى)، حرارتى و الکتریکى و میدان هاى مختلف، خطوط مفروض اولیه را از نظر امتداد و زوایاى بین آنها، تغییر نمى دهند. براى نمونه اگر امتدادهاى مفروضِ اولیه مستقیم و متعامد باشند، پس از تغییر نیز مستقیم و متعامد باقى مى مانند؛ هرچند ممکن است مکان و جهت آنها تغییر کرده باشد (ناشى از حرکت و دوران جسم صلب). در جسم شکل پذیر، بر اثر عوامل خارجى، امتدادها و زوایا تغییر مى کنند؛ با این قید (ذاتى و حقیقى، نه قراردادى) که خاصیت امتدادمندى در جهات سه گانه کماکان برقرار مى ماند. به عبارت دیگر چنانچه هر نوع تغییرى عارض جسم طبیعى سه بعدى شود، در جسمِ تغییریافته امتدادهاى سه گانه مستقل کماکان قابل فرض و به صورت عینى قابل اشاره و اندازه گیرى اند.

شکل (2) جسمى را به تصویر مى کشد که در آغاز ـ زمان اولیه یا مرجع که در هر حال قراردادى است ـ به شکل مکعب مستطیل است و چون در معرض تغییرات قرار مى گیرد به جسم کروى شکل تبدیل مى شود (مانند آبى که نخست در ظرفى مکعب و سپس در ظرف کروى ریخته شده است). جسم در هر دو وضعیت از ویژگى ذاتى امتدادمندى (در جهات سه گانه) برخوردار است. در ضمن، براى هر دو جسم مى توان دستگاه سه بعدى مستقیم الخط قائم را فرض کرد. به علاوه مى توان براى جسم مکعب شکل امتدادهاى سه گانه را مستقیمِ متعامد فرض کرد و براى جسم کروى شکل امتدادها را کروى متعامد در نظر گرفت. در تعبیه دستگاه هاى مکانى، بى نهایت وضع ممکن است. این نکته، همان گونه که ابن سینا به دقت بیان و براى آن مثال عددى ذکر مى کند، مبین عَرَضى (در اینجا قراردادى) بودن آنهاست؛ اما در هر وضعیت و حالت، جسم هرگز نمى تواند از قید سه بعدى بودن رها شود؛ و براى مثال به جسم دوبعدى و یا مجرد از ابعاد تبدیل گردد.

شکل 2: جسم مکعب شکل که در خلال حرکت به جسم کروى تبدیل مى شود.³³

بنابراین امتداد، خاصه اى ذاتى است که نشان دهنده تصرف فضایى جسم است. براى تبیین این خاصه، ممکن بودنِ فرض ابعاد سه گانه در جسم اثبات مى شود. همان گونه که نشان داده خواهد شد، این ابعاد در فضاى سه بعدى، سه کمیت مستقل از هم اند که مى توانند ترکیبى از طول و زاویه باشند.

با اوصاف مزبور، ابن سینا امتدادمندى را در دو معنا به کار مى گیرد. در نخستین مفهوم، امتداد به معناى کشش ذاتى جسم طبیعى در سه راستاى فضایى است که ناظر به هیچ مقدار کمى مشخصى نیست، بلکه تنها از یک خاصیت مشترکِ ذاتى اجسام حکایت مى کند که مصادیق عینى آن کمیت قابل اندازه گیرى وتوصیف ریاضى است. این خاصه، محصول تجرید ذهنى است که با مشاهده انواع متفاوت جسم حاصل شده است؛ لذا از جنس معرفت تجریدى است. از امتداد ذاتى تنها مى توان برداشت حسى داشت و عقلاً آن را اثبات کرد.

دومین معنا، ناظر به امتدادها یا راستاهاى کمّى معین است. این امتداد از نظر مقدار، جهت، و نسبت پیوسته در حال تغییر است؛ لذا صفت کمیت به شمار مى آید و از جنس عرض است. این معنا حاصل تجربه مستقیم بشر در رویارویى با اشیاى طبیعى است؛ لذا از جنس معرفت تجربى است. امتداد عَرَضى را مى توان اندازه گیرى و مقایسه کرد. واضح است که درک کامل و عمیق هر کدام از مفاهیم، وابسته به درک دقیق دیگرى است. مى توان مفهوم نخست را امتداد ذاتى و مفهوم دوم را امتداد عَرَضى خواند.

سه بعدى بودن امتدادها

همه حکما جسم طبیعى را واجد سه بعد متقاطع دانسته اند؛ اما حکم به نفى اجسام کمتر و یا بیشتر از سه بعد نداده اند. در هر حال مفهوم بعد و ابعاد سه گانه ناشى از تحلیل اجسام عینى است. به عبارت دیگر عقل فارغ از حقیقت خارجى اشیا حکم به سه بعدى بودن آنها نکرده است، بلکه در رویارویى با اشیاى طبیعى و تجسم و تجسد و حجیم بودن آنها، و فهم و تعریف بُعد و جهت، به داشتن ابعاد سه گانه اذعان نموده است. با این همه به لحاظ عقلى امکان پذیر است که اشیایى ابعاد کمتر یا بیشتر داشته باشند.

واضح است که در فضاى دوبعدى، اجسام طبیعى داراى کشش فضایى در دو جهت اند، و به تعبیر ابن سینا مى توان دو امتداد مستقیم عمود بر هم در جسم فرض کرد. در فضاى یک بعدى اجسام داراى یک بعدند و مى توان در آنها یک خط ممتد را فرض کرد. بنابراین بحث ابن سینا ناظر به اجسام واقعى مستقر در فضاى سه بعدى است.³⁴

به علاوه، پرسش دیگرى که مى تواند مطرح شود، این است که آیا مى توان جسم بى بعد یا به عبارت دیگر با بعد صفر داشت؟ براى نمونه، درباره کمیت هایى مانند انرژى و میدان (مانند میدان هاى جاذبه و الکترومغناطیس) چگونه باید قضاوت کرد؟ در اینجا بحث فضا و مکانِ استقرار اشیاى طبیعى که مشتمل بر ماده و میدان هستند، مطرح مى شود که باید در جاى دیگر به آنها پرداخت.

استقامت³⁵ و تعامد امتدادها

در همه منابع، موضوع امتداد به وضوح همراه با تعامد آنها مطرح شده است. در همین منابع برخى به روشنى و بعضى به گونه ضمنى از استقامت امتدادها نیز سخن گفته اند. قطب الدین شیرازى از معدود حکمایى است که درباره تعامد امتدادها دلیل آورده است.³⁶ وى بیان مى کند که فقط در صورت تعامد امتدادهاست که مى توان سه امتداد را فرض کرد و تشخیص داد. اگر امتدادها بر هم عمود نباشند، مى توان امتداهاى بیشتر (زوایاى حاده) و یا کمتر (زوایاى منفرجه) از سه فرض کرد. البته در چارچوب آموزه هاى فلسفه مشاء و دانش آن دوران، استدلال شیرازى صحیح است؛ زیرا وقتى امتدادها متعامد باشند، جهت ویژه اى در جسم براى فرض امتداهاى سه گانه رجحان ندارد؛ امکان تصور امتدادها آسان تر فراهم مى شود، و در نخستین برخورد، تنها در حالت قائمه بودن زوایاى امتدادهاست که مى توان انحصار سه بعدى یا سه امتدادى را اثبات و یا بر آن تأکید کرد. در هر حال، در ادامه نشان مى دهیم که توجه ژرف تر به موضوع، این فرض را غلط و یا ناقص مى نمایاند.

فرض متعامد بودن امتدادهاى سه گانه تنها یکى از فرض ها، و البته متداول ترین آنها، از میان بى نهایت فرض هاى دیگر است.³⁷ به عبارت دیگر سه امتداد مزبور مى توانند هر زاویه اى با هم بسازند؛ منتها با این قید که نمى توانند در یک صفحه قرار گیرند و یا بر هم منطبق شوند. شکل (3) سه امتدادى را در جسم طبیعى نشان مى دهد که مستقیم اند، اما بر هم عمود نیستند. فرض سه امتداد مورب، امتدادمندى فضایى جسم را نقض نمى کند؛ اما چون امتدادهاى سه گانه در یک صفحه واقع شدند، جسم به دو بعد تقلیل مى یابد و لذا در آن فقط دو امتداد مستقل مى توان فرض کرد؛ و اگر سه امتداد مزبور بر یکدیگر منطبق شوند، عملاً جسم یک بعدى است و در آن تنها مى توان یک امتداد فرض کرد. از این رو این فرض ابن سینا را باید بدین گونه تکمیل کرد که اولاً سه امتداد لزوما نباید دوبه دو بر هم عمود باشند ـ هرچند که این فرض کماکان در فیزیک و مهندسى متداول ترین و پرکاربردترین است - ثانیا سه امتداد لزوما نباید در یک صفحه واقع شده باشند؛ چراکه در این صورت حجمى که با این سه امتداد ساخته مى شود، صفر خواهد شد (براى مثال، به حجم متوازى السطوح نشان داده شده در شکل 3 بنگرید)، و درنتیجه جسم به موجود دو بعدى و یا یک بعدى (و حتى یک نقطه) فروکاسته مى شود.

شکل 3: جسم طبیعى با سه امتداد مستقیم مورب

علاوه بر این و مهم تر از این مسئله، لزومى ندارد که سه امتداد مفروض، مستقیم باشند. به عبارت دیگر، امکان فرض سه امتداد خمیده غیرمتعامد براى جسم، کماکان مبین امتدادمندى ذاتى آن است. درباره استقامت امتدادها، حکما یا آن را مسکوت نهاده اند و یا آن را بین فرض کرده اند؛ لذا توضیحى درباره آن نداده اند. چنین برداشت مى شود که ایشان مستقیم بودن امتدادهاى سه گانه را مفروض گرفته اند؛ اما در فرض امتدادمندى جسم طبیعى نیازى نیست که هر سه امتداد و یا برخى از آنها مستقیم باشند. شکل (4)، سه امتداد مفروضى را در جسم طبیعى نشان مى دهد که نه مستقیم اند و نه عمود بر هم.³⁸ در همین شکل، امتدادهاى مستقیمِ متعامد نیز نشان داده شده اند تا قراردادى بودن آنها روشن شود. بنابر توضیحات پیشین، هر دو امتداد را عرضى مى خوانیم.

بنابراین فرض خمیده بودن امتدادهاى مفروض، ویژگى امتدادمندى جسم را نقض نمى کند، بلکه عمومیت بیشتر به تعریف و توصیف مى دهد؛ هرچند که فرض امتدادهاى مستقیم ساده تر است.

شکل 4: جسم طبیعى با سه امتدادِ فرضى خمیده و غیرمتعامد

با اوصاف پیش گفته، جسم چون صورت جسمیه³⁹ انتخاب کرد و درنتیجه فرض ابعاد سه گانه در او ممکن شد، صرف نظر از کمیت ابعاد، جسم طبیعى خوانده مى شود؛ اما اگر تنها کمیت ابعاد سه گانه مدنظر باشد، فارغ از عوارض مادى، با موضوع جسم تعلیمى سروکار خواهیم داشت.

جسم تعلیمى

تاکنون بحث امتداد را در جسم فارغ از کمیت یا مقدار امتداد به پیش بردیم. اگر به کمیت هاى مشخص امتداد بپردازیم، فارغ از جسمیت جسم، مفهوم دیگرى استنتاج مى شود که در طبیعیات سینوى به جسم تعلیمى مشهور است. توپى را در نظر بگیرید. فرض ابعاد سه گانه به منزله یک امرى ذاتى، فارغ از قطر و ضخامت و همه خواص توپ همواره برقرار است. فرض کنید که اگر باد توپ کم باشد، قطر آن 15 سانتى متر، اگر باد متوسط باشد قطر آن 20 سانتى متر و اگر پرباد باشد، قطرش 25 سانتى متر است. مثالى که ابن سینا در دانشنامه مى آورد این است که اگر مکعب مستطیلى را از موم به ابعاد یک وجب در دو انگشت در یک انگشت درست کنید، جسم ابعاد مشخصى دارد. اکنون اگر این وضعیت را به هم بریزیم و شکل دیگرى از همان توپ یا قطعه موم پدید آوریم، ابعاد مزبور به کلى تغییر مى یابند. آنچه در سه حالتِ مثال اول و یا در دو حالتِ مثال دوم، و همه حالت هاى مشابه دیگر، همواره ثابت است، خاصیت امتدادمندى و درنتیجه امکان فرض سه امتداد مستقل از هم در جسم (توپ و یا قطعه مومى) است؛ اما چنان که دیدیم کمیت امتدادها هر لحظه مى تواند تغییر کند. آنچه ثابت مى ماند، جسم طبیعى است و آنچه تغییر مى کند جسم تعلیمى خوانده مى شود. جسم طبیعى از جنس «جوهر» است و جسم تعلیمى کمیت است و لذا از جنس «مقدار»، و به عبارت دیگر از مقوله اعراض است. ابعاد کمّى جسم همواره در معرض تغییرند؛ اما امتداد ذاتى جسم همواره ثابت است. در فیزیک امتدادِ ذاتى مفروض گرفته مى شود، و موضوع مورد بحث و محاسبه، به همان ابعاد متغیر که قابل اندازه گیرى اند، محدود مى گردد.⁴⁰

با توجه به توضیح مزبور، جسم تعلیمى که از آن در علوم تعلیمى، یعنى دانش ریاضیات و هندسه بحث مى شود، کمّ متصلى است که پذیراى ابعاد سه گانه است و بر جسم طبیعى عارض مى شود⁴¹ و قائم به جسم طبیعى است. البته هرچند جسم تعلیمى قائم به جسم طبیعى است، به حسب وجود متأخر از آن نیست.

در واقعیت بیرونى، جسم تعلیمى از جسم طبیعى جدا نیست و این دو در واقع متحد و موجود به یک وجودند و تنها در تحلیل عقلى میان آنها تفاوت گذاشته مى شود. جسم تعلیمى به منزله عَرَضى است که عارض جسم طبیعى مى شود. جسم طبیعى بدون دارا بودن کمیت مشخص، یعنى بدون جسم تعلیمى، نمى تواند وجود داشته باشد. براى نمونه، میز، خودرو، درخت، کپسول گاز و اشیاى بى شمار دیگر، همگى مقید به ابعاد فضایى ویژه اى هستند؛ به عبارت دیگر داراى حجم اند و یا بخشى از فضاى سه بعدى را اشغال مى کنند، و لذا مفهوم جسم تعلیمى به آنها تعلق مى گیرد.

این تفکیک عقلى جسم طبیعى و جسم تعلیمى، به گونه اى همانند نمونه فیزیکى و الگوى ریاضى از یک پدیده یا فرایند واحد طبیعى است؛ با این تفاوت که نمونه فیزیکى نیز کران دار و مقید به قیود پرشمار است. تعریف حجم، هیئت، مکان، فضا، و نظایر آن در فیزیک جدید نیز ناشى از فرض امتداد سه گانه در اجسام فارغ از عوارض مادى است. در حالت کلى، هر مفهومى که در آن امتدادمندى مندرج باشد، فارغ از خاصه مادى، ربط مستقیمى با جسم تعلیمى مى یابد.

توصیف ریاضى

با پذیرش تحلیل ابن سینا (و دیگر حکما)، در مواجهه با دنیاى واقعى و بر اثر تجربه هاى مکرر و متفاوت عینى درمى یابیم که جسم طبیعى موجودى است که مى توان در آن ابعادى را فرض کرد. به عبارت دیگر از کشش فضایى و استقرار مکانى جسم طبیعى درمى یابیم که این جسم، ذى ابعاد است. بنابراین بعد داشتن جسم طبیعى را مفروض مى گیریم. در ادامه، براى نمایش امتدادها از نمادهاى ریاضى و براى توصیفِ ویژگى ذاتى بودن امتدادها، از قواعد حساب بردارها استفاده مى کنیم. روشن است که چون مجبور به توصیف امتدادهاى متعین هستیم، بحثْ تنها امتدادهاى کمّى شده را دربرمى گیرد.

اکنون این پرسش مطرح مى شود که چند امتداد ذاتى در جسم طبیعى، مستقر در فضاى سه بعدى، مى توان فرض کرد؛ یا جسم طبیعى واجد چند امتدادِ ذاتى مفروض است. براى این منظور، نخست یک جسم دوبعدى طبیعى را در فضاى دوبعدى، در نظر مى گیریم. واضح است که در این جسم بى نهایت امتداد مى توان رسم کرد که در یک نقطه یکدیگر را قطع کنند. نخست دو امتداد اختیارى متعامدِ متقاطع در جسم فرض مى کنیم و آنها را با نماد 1q و 2q نمایش مى دهیم. اکنون امتداد سومى را که دو امتداد مزبور را در نقطه تقاطع Oقطع مى کند، فرض مى کنیم (شکل 5 را ببینید).

شکل 5: جسم طبیعى دوبعدى و امتدادهاى مفروض

اکنون نشان مى دهیم که به رغم ترسیم امتداد سوم (و یا امتدادهاى چهارم و بیشتر)، این امتداد مستقل نیست و عملاً امتدادى (ذاتى) بر دو امتداد اولیه، به جسم نمى افزاید. براى این منظور، از نقطه تقاطع، در امتداد اولْ طولى مشخص (مثلاً سه واحد) و در امتداد دوم نیز طولى معین (مثلاً دو واحد) انتخاب مى کنیم. خطوط عمود بر این امتدادها را رسم مى کنیم تا امتداد سوم را در Pقطع کنند. از مثلث OAPداریم:

(1)                                                                                                                               

رابطه (1) نشان مى دهد که در این حالت سه کمیت (بردار) 1q، 2q، 3q مستقل از یکدیگر نیستند و یک رابطه درونى بین آنها برقرار است. چون یک رابطه وجود دارد، لذا از این سه کمیت دو تاى آنها مستقل و یکى وابسته است. به عبارت دیگر، به رغم ترسیم سه امتداد در جسم دوبعدى، فقط دو امتداد مستقل اند و امتداد سوم را بر حسب دو امتداد اول مى توان تعریف کرد. اگر غیر از دو امتداد متعامد اولیه، مثلاً دو امتداد دیگر 3 qو 4q رسم مى کردیم، مى توان نشان داد که دو رابطه درونى بین کمیت ها به دست مى آمد که از میان چهار کمیت 1q، 2q، 3 qو 4 qفقط دوتاى آنها را مستقل معرفى مى کرد. بنابراین در جسم دوبعدى فقط و فقط دو امتداد ذاتى مستقل مى توان فرض کرد؛ نه بیشتر و نه کمتر. البته، در جسم دوبعدى مى توان تنها یک امتداد فرض کرد؛ منتها این یک فرض مجرد و یا ریاضى است و ربطى به مفهوم امتداد به منزله یک ویژگى ذاتى جسم طبیعى ندارد. نکته بسیار مهمى که باید بدان توجه کرد آن است که مثلاً از میان چهار امتداد (کمیت) 1q، 2q، 3q، و 4q مفروض و رسم شده، تنها یکى از جفت ها، (مثلاً (1q، 2q) و یا (2q، 3q) و یا (3q، 4q) را مى توان به منزله دو امتداد مستقل برگزید. این گزینش کاملاً اختیارى است. نتیجه مهم دیگرى که از اختیارى بودنِ گزینشِ امتدادها مى توان گرفت، آن است که لزومى بر تعامد امتدادها نیست، و اگر دو امتداد مفروض اول متعامد نبودند، روش اثبات استقلالِ امتدادها تفاوتى نمى کرد.

با توصیف مزبور، براى جسم دوبعدى تنها دو امتداد مستقل مى توان فرض کرد، و براى استقلال امتدادها لزومى ندارد که آنها عمود بر هم باشند. به عبارت دیگر فرض دو امتداد غیرمنطبق بر هم (و نیز غیرمتوازى)، براى دوبعدى بودن جسم کفایت مى کند و هر امتداد دیگرى که فرض شود، تابعى از دو امتداد مفروض اولیه خواهد بود؛ با این قید که دو امتداد نمى توانند بر روى یک خط واقع شوند؛ زیرا در این صورت عملاً جسم به شیئى یک بعدى تقلیل مى یابد، که این از نظر فیزیکى محال است. انتخاب دو امتداد متقاطع، کاملاً اختیارى است.

اکنون جسم طبیعى را در فضاى سه بعدى در نظر مى گیریم. سه نماد 1q، 2q، 3q، را براى نمایش سه امتداد مفروض در جسم به کار مى گیریم. در اینجا، شاخص بالا، معناى ریاضى خاصى ندارد و بیشتر نشان دهنده یک قرارداد عمومى است و نباید آن را با توان اشتباه گرفت. همان گونه که پیش تر اشاره کردیم، نیازى نیست که این سه امتداد مستقیم و یا متعامد باشند.⁴² اجازه دهید که چون این سه امتداد در نقطه اى همدیگر را قطع کردند (امتدادها نمى توانند موازى باشند) آنها را دستگاه ممتد مکانى بنامیم. اکنون نشان مى دهیم که سه امتداد مى توانند در حالت ها و وضعیت هاى مختلف تعریف شوند.

دستگاه ممتد تخت (سینوى): در دستگاه ممتد تخت، سه امتدادِ مفروض مستقیم و متعامدند. در شکل (6) امتدادهاى q³=x₃, q²=x₂, q¹=x₁

سه خط مستقیم را نمایش مى دهند که در مبدأ Oیکدیگر را قطع کرده اند.⁴³

شکل 6: دستگاه ممتد تخت

در شکل (6) سه امتداد مستقیم دوبه دو عمود بر هم اند؛ اما امتدادها مى توانند مورب باشند، همان گونه که در شکل (3) نشان داده شده است. در این شکل با استفاده از صفحات امتدادى، حجمى ساخته شده است که در اینجا متوازى السطوح است. اگر امتدادها متعامد باشند، شکل حاصل مکعب مستطیل خواهد بود. اگر این سه امتداد بر هم عمود باشند، مى توان آن را «دستگاه مکانى سینوى» نامید.⁴⁴

دستگاه ممتد استوانه اى:⁴⁵ دستگاه ممتد تخت x₃, x₂, x₁ با مبدأ O، نقطه تقاطع سه امتداد،داده شده است. فرض کنید بعد q¹= r فاصله Pو امتداد x₃ باشد، همچنین بعد  زاویه بین نیم صفحه حاوى محور x₃ و مثبت محور x₁ و نیم صفحه حاوى محور x₃ و نقطه Pاست؛ و نیز مختص q³= z فاصله P از صفحه x₁x₂ است. در این صورت (r،qوz) را مى توان «دستگاه ممتد استوانه اى» خواند⁴⁶ (شکل 7). در این دستگاه دو امتداد فرضى مستقیم اند و امتداد سوم خمیده است. به علاوه، سه امتداد بر هم عمودند.

شکل 7: دستگاه ممتد استوانه اى

دستگاه ممتد کروى: دستگاه ممتد تخت x1،x2،x3 با مبدأ Oداده شده است. فرض کنید

r=q1 امتداد بین Pو Oباشد. همچنین زاویه بین مثبت محور x3 و بردار OPباشد و نیز زاویه بین نیم صفحه حاوى محور x3 و مثبت محور x1 و نیم صفحه حاوى محور x3 و نقطه Pباشد. آن گاه و و امتدادهاى کروى⁴⁷ خوانده مى شوند⁴⁸ (شکل 8). در ایندستگاه یک امتداد مستقیم است و دو امتداد خمیده اند. به علاوه سه امتداد عمود بر هم اند.

شکل 8: دستگاه ممتد کروى

با اوصاف گفته شده، واضح است که مى توان دستگاه هاى ممتد دیگرى را به همین ترتیب معرفى و توصیف کرد.

دستگاه ممتد خمیده: در این حالت هر سه امتداد خمیده اند. به عبارت دیگر یک دستگاه ممتد خمیده گفته مى شود (در مقابل دستگاه ممتد تختِ قائم یا مورب) اگر امتدادهاى فرضى خطوط مستقیم نباشند.⁴⁹ در حقیقت دستگاه هاى تخت، استوانه اى و کروى، حالت هاى خاص دستگاه خمیده اند. در شکل (4) دستگاه خمیده همراه با دستگاه تخت و بردار متصل کننده نقاط تقاطع نشان داده شده است.

اکنون براى بررسى استقلال امتدادها، سه بردار را در راستاى مماس بر امتدادها رسم مى کنیم. این سه بردار را در دستگاه مختصات تعمیم یافته q1،q2،q3 پایه یا مبنا مى خوانیم که به معناى هر مجموعه از بردارهاى g1،g2،g3 با طول ثابت است که در راستاى ابعاد سه گانه قرار گرفته اند؛ با این توضیح که مثلاًg1 مماس بر امتداد خمیده (q1) بوده و جهت آن به سمت افزایش q1 است؛ به همین ترتیب است براى g2، g3(شکل 4 را ببینید). باید توجه کرد که در حالت کلى بردارهاى پایه (در حقیقت نماینده متعین شده امتدادها) نه عمود بر یکدیگرند و نه لزوما طول آنها ثابت است (درحقیقت به رغم اینکه از جنس کم اند، لزومى به معین بودن آنها از نظر مقدار نیست).

چون منحنى هاى مختص در نقطه Pیکدیگر را قطع مى کنند و هیچ دو تاى از آنها نه بر هم منطبق مى شوند و نه موازى اند، لذا آنها هیچ گاه به یک سطح، به یک خط، و یا یک نقطه تقلیل نمى یابند. بنابراین بردارهاى مماس آنها در نقطه P، دستگاهى از سه بردار را که به طور خطى مستقل اند، یعنى g1،g2،g3، تشکیل مى دهند. در جبر خطى اثبات مى شود که هر سه بردار مستقل خطى در E3 مى توانند دستگاه بردارهاى پایه را تشکیل دهند. بنابراین آنها در فضاى سه بعدى، دستگاه ممتدى را معرفى مى کنند که همه بردارهاى دیگر را، که مشخص دستگاه هاى ممتد دیگرى هستند، مى توان نسبت به این دستگاه بردارهاى پایه نمایش داد.

قضیه: اگر g1،g2،g3 سه بردار پایه در راستاى مماس بر امتدادهاى q1،q2،q3 باشند، آن گاه سه امتداد مستقل اند، اگر و تنها اگر داشته باشیم:

(2)                                                                                                                  

امکان فرض (وجود) امتدادهاى سه گانه واقعى و مستقل در جسم به معناى آن است که جسم از نظر کشش فضایى سه بعدى خواهد بود. رابطه (2) توصیف ریاضى چنین شرطى را منعکس مى سازد.

دستگاه هاى ممتدى که بردارهاى پایه آنها با یکدیگر زاویه قائمه مى سازند، دستگاه هاى متعامد⁵⁰ خوانده مى شوند. بنابراین دستگاه هاى تخت، استوانه اى وکروى همگى دستگاه هاى متعامدند.

ناحیه بى نهایت کوچک از فضا که با سه سطح مختص محدود شده است، حجم زیر را دارد:

(3)                                                                                                  dv=ds₁ (ds₂×ds₃) = g1(g₂×g₃) dq¹dq² dq³

بنابراین حجم متوازى السطوحى که با بردارهاى g1 وg2 و g3 به وجود آمده است، با رابطه زیر داده مى شود:

(4)

به عبارت دیگر، شرط رابطه (2) آن است که حجم ساخته شده با سه بردار مماس بر امتدادهاى سه گانه نباید صفر شود؛ یعنى بتوان با سه امتدادِ کمّى شده، حجمى را تصور کرد و پدید آورد. این معنا، بیان دیگر لزوم استقلال امتدادهاست؛ زیرا اگر حجم مزبور صفر شود، جسم دیگر سه بعدى نخواهد بود و امکان فرض سه امتداد مستقل منتفى خواهد شد.

شرط عمومى تر براى توصیف ریاضى استقلال (خطى) امتدادها: اگر a₁،a₂ وa₃ سه ثابت عددى باشند، آن گاه بردارهاى g1،g2،g3 مستقل از یکدیگر خواهند بود، اگر رابطه زیر

 (5)                                                                                                                                         a₁g₁+ a₂g₂+ a₃g₃ = 0

فقط و فقط زمانى برقرار باشد که داشته باشیم:

(6)                                                                                                                                            a₁ = a₂ = a₃ = 0

وگرنه بردارهاى مزبور به طور خطى وابسته هستند. به عبارت دیگر امتدادهاى مستقل کمتر از سه خواهد بود.

شرط فوق را براى فضایى با nامتداد مى توان چنین نوشت: اگر g_i و رابطه زیر را داشته باشیم:

(7)                                                                                                                                                 

giها مستقل خطى خواهند بود، اگر و تنها اگر داشته باشیم:⁵¹

(8)                                                                                                                                    a_i = 0   i = 1,2 , . . . . ,n

بنابراین براى اینکه جسم در فضاى سه بعدى ممتد باشد، باید بتوان در آن سه امتدادى را فرض کرد که متقاطعِ مستقل باشند. این سه امتداد مى توانند مستقیم، خمیده و یا ترکیبى از راستاهاى مستقیم و خمیده باشند.

دستگاه مختصات: اگر دستگاهِ متشکل از سه امتداد مفروض براى اندازه گیرى موقعیت یک نقطه از فضاى سه بعدى موردنظر، و یا یک ذره از یک جسم طبیعى، و یا تغییرات فضایى عوارض و یا خواص جسم به کار رود، آن را «دستگاه مختصات» مى نامیم. براى مثال، در شکل (6)، سه امتدادى را که در جسم ترسیم شده است، مى توان دستگاه مختصات مستقیم الخط قائم⁵² نامید.⁵³ بنابراین «مختصات فضایى»، هر سه عددى هستند که به گونه یکتا یک موقعیت را در فضا مشخص مى کنند؛⁵⁴ مانند مختصات دکارتى (x,y,z) استوانه اى ، و کروى .

به علاوه با معلوم بودن مختصات یک ذره طبیعى در یک دستگاه مى توان مختصات آن را در دستگاه هاى دیگر محاسبه کرد. با استفاده از روابط هندسى، مى توان معادلات تبدیل مختصات را در دستگاه دکارتى، استوانه اى، کروى و نظایر آن به دست آورد.⁵⁵ این روابطِ تبدیل، نشان دهنده آن هستند که دستگاه هاى مختصات (دستگاه هاى ممتد معطوف به مقدار) نیز قراردادى اند و انتخاب هر کدام بسته به نظر انتخاب کننده است.

با توجه به بحث مزبور مى توان نتیجه گرفت که فرض دستگاه مختصات در یک جسم طبیعى و یا در فضایى که حاوى یا حامل آثار مادى (طبیعى) است، تنها زمانى ممکن است که آن جسم، یا آن فضا، از ویژگى ذاتى امتدادمندى برخوردار باشد.

مهم ترین نکته در توصیف ریاضى مزبور، نشان دادن این حقیقت بوده است که اصولاً تعریف و ترسیم دستگاه هاى مختصات، تنها با ممتد دانستن جسم طبیعى ممکن است و با مبنا قرار دادن انواع فرض ها درباره امتدادها مى توان دستگاه هاى گوناگون مختصات را تعریف کرد. واضح است که چون از احجام حاصل از به کارگیرى دستگاه ها، فارغ از ماده مند بودن آنها سخن بگوییم با اشیاى مجرد ریاضى سروکار خواهیم داشت که در فضاى بحث امتدادها از آنها با عنوان جسم تعلیمى یاد مى شود.

بعد مجرد و غیرمادى

گفته شد که از خاصیت ذاتى حجیم و یا مکان بند بودن اشیاى طبیعى، مفهوم بعد استنتاج مى شود. به عبارت دیگر ماده مندرج در جسم بُعدساز است. از این رو ابعاد سه گانه ناظر به جسم واقعى اند و درنتیجه بعد را نیز صورتى حقیقى مى دهند. اکنون این پرسش مى تواند مطرح شود که آیا عالمِ ابعادى مستقل از ماده مى تواند وجود داشته باشد. مشائیان بعد غیرمادى را نفى کرده اند، حال آنکه اشراقیون به اثبات آن پرداخته اند. استاد مطهّرى در درس هاى الهیات شفا مباحث ناظر به این مسئله را به اجمال بررسى و تقریر کرده است.⁵⁶ افلاطون و برخى از حکما مکان را بعد مجرد اما موجود دانسته اند.⁵⁷ مهم ترین دلیل آنها این است که مکان مى تواند ابعاد مادى را در خود جاى دهد. ملّاصدرا درباره مکان مى گوید: «فکانه جوهر متوسط بین عالمین.»⁵⁸ برداشت غالب از تعبیر بعد مجرد، همان معناى مشهور یعنى مجرد از ماده است. به نظر مى رسد مقصود قدما از این تعبیر، مجرد از شاغل مادى است. اگر فرض بعد مجرد از ماده را بپذیریم، و آن را حقیقى نیز فرض کنیم، به مفهوم فضاى مطلق، که یکى از مفاهیم بنیادین مکانیک نیوتنى است، نزدیک مى شویم. در هر حال با توجه به اینکه موضوع بعد مجرد، به گونه مستقیم به مفهوم مکان و فضا پیوند مى خورد، و این مسئله موضوع مقاله پیش روى نیست، به آن نمى پردازیم.

جمع بندى

مهم ترین نتایج حاصل از مباحث مقاله به این قرارند:

الف) جسم طبیعى موجودى است که ذاتا امتدادمند است و لذا مى توان در آن امتدادهاى معینى را فرض کرد:

ب) در فضاى مرسوم (سه بعدى) تعداد امتدادهاى مفروض سه است. براى اینکه کشش فضایى جسم سه بعدى باشد، سه امتداد مزبور باید مستقل از هم باشند. بنابراین جسم طبیعى آن است که در آن بتوان سه امتداد مستقل از هم فرض کرد. در حالت کلى، امتدادهاى مفروض مى توانند نه عمود بر یکدیگر باشند و نه مستقیم؛

ج) در فضاهاى کمتر و یا بیشتر از سه بعد، مى توان امتدادهاى مستقلِ کمتر یا بیشتر فرض کرد؛

د) ابن سینا مفهوم امتداد را در دو معنا به کار مى گیرد: امتداد ذاتى و امتداد عرضى. امتداد ذاتى صفتى است که نمى توان آن را از جسم سلب کرد و ناظر به امتداد کمى مشخص و تقاطع معین نیست؛ اما امتدادهاى عرضى مى توانند در وضعیت هاى مختلف و زمان هاى متفاوت تغییر کنند؛

ه.) با توجه به تعریف امتدادهاى سه گانه، مى توان مجموعه امتدادهاى متقاطع سه گانه را دستگاه ممتد مکانى نامید؛

و) مهم ترین قید امتدادهاى سه گانه آن است که حجمى که روى آنها ساخته مى شود نباید صفر باشد. به عبارت دیگر اگر سه بردار در امتداد آنها فرض کنیم، این بردارها باید مستقل خطى باشند؛

ز) فرض دستگاه مختصات در یک جسم طبیعى و یا در فضایى که حاوى یا حامل آثار مادى (طبیعى) است، فقط زمانى ممکن است که آن جسم، یا آن فضا، از خاصیت ذاتى امتدادمندى برخوردار باشد. دستگاه مختصات را مى توان دستگاه ممتد معین و کمّى شده دانست که براى اهداف مشخص و کاربردهاى معین طراحى و تعبیه مى شود؛

ح) تعریف دستگاه هاى مختلف مختصات ناشى از امکان تعریف دستگاه هاى ممتد مکانى مختلف در جسم طبیعى است. به عبارت دیگر همین خاصیت ذاتى امتدادمندى اشیاى طبیعى است که امکان وضع بى نهایت دستگاه مختصات را براى توصیف حرکت و استخراج معادلات حاکمه پدیده هاى طبیعى امکان پذیر مى سازد. در هر حال دانش تجربى که به نحو وسیعى از دستگاه هاى مختصات بهره مى گیرد، به ماهیت امتدادمندى و مفاهیم اشتقاقى آن مانند فضا و مکان توجه چندانى ندارد و مبتنى بر مفروض گرفتن این مفاهیم، ابزارهاى فضایى خود را براى توصیف پدیده هاى مکان بند تعبیه مى کند؛ اما فلسفه در پى فهم چگونگى امتدادمندى اشیا و پدیده هاى طبیعى است. فلسفه با اتکا به یافته هاى علم، بحث خود را به قلمروى مى گستراند (مانند امتدادمندى ذاتى) که ابزارهاى علمى در آنجا کارایى ندارند (مثلاً دستگاه امتدادسنج!).

بنابراین نزد ابن سینا، جسم طبیعى جوهرى است که پذیرنده امتدادهاى سه گانه مستقل از هم است. به سبب ویژگى امتدادمندى جسم طبیعى است که مفهوم مکان روشنى مى گیرد و ذهن را قادر مى سازد تا فضاى لایتناهى را از مفهوم مکان متناهى انتزاع کند.

در پایان باید یادآور شد که ابن سینا جسم را بعد محض (مانند دکارت) تعریف نمى کند. وى مى گوید که علاوه بر کشش فضایى (امکان فرض امتدادهاى سه گانه)، جسم متشکل از دو جزء ماده⁵⁹ و صورت،⁶⁰ و نیز طبیعت و اعراض است. به عبارت دیگر ابن سیناجسم⁶¹ را متشکل از ویژگى هاى ذاتى دیگرى نیز مى داند که ماده و صورت داخل درقوام جسم اند. این مفاهیم خود باید موضوع تحقیقات جداگانه باشند.⁶²

---

پی نوشت ها:

¹ـ غلامحسین رحیمى، «مفهوم جسم در طبیعیات سینوى»، حکمت سینوى، ش 44، زمستان 1389، ص 57ـ76.
²ـ میرمحمدباقر داماد، مصنفات میرداماد، به اهتمام عبداللّه نورانى، ص 49.
³ـ ملّاصدرا، الحکمة المتعالیة فى الاسفار العقلیة الاربعة، ج 4، ص 234.
⁴ـ بهمنیاربن مرزبان، التحصیل، تصحیح مرتضى مطهّرى، ص 309.
⁵ـ ابوالبرکات بغدادى، المعتبر فى الحکمة، ص 22.
⁶ـ ابوبکر ابن طفیل، حى بن یقظان، ص 48و49.
⁷ـ شهاب الدین سهروردى، مجموعه مصنفات، ج 3 پرتونامه، ص 6.
⁸ـ همان، هیاکل النور، ص 85.
⁹ـ سید محمدحسین طباطبائى، بدایه الحکمة، ترجمه و شرح على شیروانى، فصل سوم، فى الجسم، ص 66.
¹⁰ـ همان، ص 68.
¹¹ـ مرتضى مطهّرى، مجموعه آثار، ج 7 فلسفه ابن سینا، ص 153.
¹²ـ محمدتقى مصباح، آموزش فلسفه، ج 2، ص 134.
¹³ـ عبداللّه جوادى آملى، فلسفه صدرا، ص 46.
¹⁴ـ همان، ص 47.

¹⁵. Extension.

¹⁶ـ ر.ک: على اکبر دهخدا، لغت نامه دهخدا، ذیل واژه «امتداد»؛ محمد معین، فرهنگ فارسى، ذیل واژه «امتداد».
¹⁷ـ براى مطالعه بیشتر، ر.ک: ابن سینا، فن سماع طبیعى، ترجمه محمدعلى فروغى، ص 19؛ همو، الهیات دانشنامه علائى، مقدمه و تصحیح محمد معین، ص 11، 12و13؛ همو، النجات، تصحیح محمدتقى دانش پژوه، ص 82.
¹⁸ـ «ان الجسم الطبیعى هو الجوهر الذى یمکن ان یفرض فیه امتداد وامتداد اخر مقاطع له على قوائم، وامتداد ثالث مقاطع لهما جمیعا على قوائم».
¹⁹ـ «عینى» مترادف «خارجى» است.
²⁰ـ غلامحسین رحیمى، همان، ص 61.
²¹ـ ر.ک: ابن سینا، الهیات دانش نامه علایى، ص 13و14.
²²ـ ر.ک: ابن سینا، الهیات شفا، ترجمه محمد محمدى گیلانى، (فن سیزدهم، مقالات 1ـ4)، ص 88و89 و 90.
²³ـ استاد مطهّرى در درس هاى اشارات مى نویسد: «... جسمیت جسم به این نیست که جسم سه بعد متمایز داشته باشد؛ اولاً ممکن است که جسم سه بعد داشته باشد که هیچ کدام را نشود از دیگرى تمیز داد؛ مثلاً اگر ابعادش متساوى باشد، 15*15*15، باشد، کدام طول، کدام عرض و کدام عمق است؟ اگر کره باشد چه؟ کره که اصولاً هیچ تمایزى میان ابعادش نیست. [ابن سینا ]جوابى که مى دهد همین جواب است که جسمیت جسم به این است که در آن امکان فرض سه بعدى که بر هم عمود باشند هست، که در همه اجسام این است» ر.ک: مرتضى مطهّرى، همان، ص 158.

²⁴ـ مقاله «چشم اندازى به آراء فیلسوفان پیرامون طبیعت» برخلاف عنوان عمدتا به تعریف و تشریح مفهوم جسم از دیدگاه فلاسفه اسلامى از جمله ابن سینا و ملّاصدرا پرداخته است ر.ک: رضا محمدزاده، «چشم اندازى به آراء فیلسوفان پیرامون طبیعت»، مقالات و بررسیها، دفتر 65. نکته قابل تأمل آن است که وى در فرازى مى نویسد: «کسانى این تعریف را [که جسم جوهرى عریض و طویل و عمیق است ]باطل مى دانند؛ چراکه در این صورت، جسم بسیطى مانند کره که بالفعل عرض و طول و عمق ندارد داراى اجزاء نیست و لذا بالفعل واجد طول و عرض و عمق نیست.» (همان، ص 103) همان گونه که اشاره شد، این اشتباه را نویسندگان متعدد مرتکب شده اند و همان گونه که در این مقاله نشان داده مى شود، این بیان از بُن داراى اشکال است.
²⁵ـ ر.ک: محمود خاتمى، «ماده از نظر دکارت»، فلسفه، دوره سى وچهارم، ش 1، ص 41ـ69.
²⁶ـ رنه دکارت، اصول فلسفه، ترجمه منوچهر صانعى، ص 77ـ78.
²⁷ـ همو، تأملات در فلسفه اولى، ترجمه احمد احمدى، ص 102.
²⁸ـ همان، ص 74.
²⁹ـ همان، ص 55.
³⁰ـ استاد مطهرى در ابتداى توضیح برهان فصل و وصل مى نویسد: این واقعیت جرم، حقیقتش این است که جوهرى است قابل ابعاد سه گانه، و به تعبیر دیگر امتداد سه گانه است، نه چیزى داراى امتداد؛ خودش عین امتداد است، یک کشش است، یک واقعیت کشش است که به آن «واقعیت اتصالى» هم مى گویند ر.ک: مرتضى مطهّرى، همان، ص 176 این بیان تداعى کننده واقعیت ممتد دکارتى است. در هر حال از توصیف ابن سینا چنین برداشت نمى شود که وى امتداد را مجرد از ماده و کشش را مستقل از جسم مى دانسته است.

³¹. Rigid.
³². deformable.

³³ـ غلامحسین رحیمى، همان، ص 62.
³⁴ـ توجه شود که مفهوم فضا را مفروض گرفته ایم و متعرض آن نشده ایم. نکته مهم آن است که مفهوم فضا با مفهوم امتدادمندى جسم پیوند وثیقى دارد.
³⁵ـ استقامت، همانند استدارت و انحناء، صفتى منسوب به کمیات است. استقامت امتداد خط بدین معناست که هر نقطه اى که در آن فرض شود بر راستاى واحد باشد. در فضاى تخت (اقلیدسى) کوتاه ترین خط واصل بین دو نقطه لزوما مستقیم است. بنابراین امتداد مستقیم آن است که فاصله بین دو نقطه مفروضِ واقع بر آن، کوتاه ترین فاصله بین آن دو نقطه باشد.
³⁶ـ ر.ک: قطب الدین شیرازى، دره التاج، مقدمه و تصحیح سیدمحمد مشکوة، ص 533.
³⁷ـ به عبارت دیگر این تعریف که جوهر جسمانى «جوهرّ یُمکِن ان یُفرَض فیه خطوطّ ثلاثهّ متقاطعةّ على زوایا قوائِم» صحیح، اما ناقص است.
³⁸ـ به چنین دستگاهى عمومى یا خمیده گفته مى شود. توجه شود که تعمدا امتدادها به سیاق محورهاى مختصات، براى استفاده در مباحث بعدى، ترسیم شده است.
³⁹ـ صورت جسمیه جوهرى است که در آن فرض سه بعد مى شود. از این رو با مفهوم امتداد پیوند مى خورد. براى آشنایى با مفهوم صورت در جسم طبیعى، ر.ک: غلامحسین رحیمى، همان.
⁴⁰ـ ابن سینا در توصیف جسم تعلیمى مى گوید: جسم تعلیمى فاقد وجود خارجى و مفارق از ماده و داراى بعد است. انقسام ذهنى و وهمى در همه جهات مى پذیرد و داراى وضعیت است. ابن سینا، نجات، ص 235
⁴¹ـ در آثار ریاضى دانشمندان تمدن اسلامى، کمیت متصل یک بعدى «خط» و کمیت متصل دوبعدى «سطح» و کمیت سه بعدى «جسم تعلیمى» خوانده مى شود. در ادبیات جدید علمى، فقره اخیر را «حجم» مى نامیم.
⁴²ـ در ریاضى، هر سه عدد 1q، 2q، 3q، که به صورت یکتا موقعیت نقطه Pرا در فضاى سه بعدى اقلیدسى 3E و یا ریمانى مشخص مى کنند، مختصات (تعمیم یافته) Pخوانده مى شوند.
⁴³ـ در ریاضى، مختص هاى x1=q1، x2=q2 و x3=q3 در حقیقت فواصل بین نقطه یا ذره Pو سه صفحه تخت عمود برهم و گذرنده از مبدأ Oمى باشند. در اینجا مفهوم فاصله را مفروض گرفته ایم.
⁴⁴ـ در اینجا دستگاه به معناى دستگاه مختصات که در ریاضى و فیزیک کاربرد دارند، نیست؛ هرچند دستگاه هاى مختصات لزوما با فرض امتدادمندى اجسام قابل تعریف هستند. بلکه در اینجا به مجموعه سه امتداد متقاطع متعین، دستگاه مى گوییم.

⁴⁵. Cylindrical Extensions System.

⁴⁶ـ دستگاه مختصات دکارتى x1،x2،x3 با مبدأ O داده شده است. فرض کنید مختص r=q1 فاصله Pو محور x3 باشد، همچنین، مختص q=q2 زاویه بین نیم صفحه حاوى محور x3 و مثبت محور x1 و نیم صفحه حاوى محور x3 و نقطه Pاست. و نیز مختص Z=q3 فاصله Pاز صفحه x1x2 مى باشد. در این صورت r،qوZ مختصات استوانه اى خوانده مى شوند.

⁴⁷. Spherical Extensions System.

⁴⁸ـ دستگاه مختصات دکارتى x1،x2،x3 با مبدأ O داده شده است. فرض کنید r=q1 فاصله بین Pو Oباشد. همچنین rq= q2زاویه بین مثبت محور x3 و بردار OP باشد و نیز j=q3 زاویه بین نیم صفحه حاوى محور x3 و مثبت محور x1 و نیم صفحه حاوى محور x3 و نقطه P باشد. آن گاه r،qوj و مختصات کروى خوانده مى شود. این مختصات با روابط داده شده در بخش بعد به مختصات x1،x2،x3 مرتبط مى شوند.
⁴⁹ـ شکل هاى مختلف دستگاه هاى ممتد، تعمدا به گونه اى نشان داده شد که در ترسیم دستگاه هاى مختلف مختصات به کار مى رود. هدف اصلى نشان دادن نسبت بین این دو مفهوم است.

⁵⁰. Orthogonal.

⁵¹ـ بیان دیگر شرط استقلال خطى بردارها آن است که دترمینان ماتریسى که مؤلفه هاى هر بردار اجزاى ستون آن ماتریس را تشکیل مى دهند، نباید صفر باشد.
⁵²ـ این دستگاه اغلب دستگاه مختصات دکارتى خوانده مى شود.
⁵³ـ هرچند مى توان معادلات ریاضى حاکم بر رفتار پدیده هاى طبیعى را مستقل از دستگاه مختصات نوشت به کمک حساب تانسورها، ولى هرگاه نیاز به محاسبات کمى و عددى باشد، در چارچوب توصیف ریاضى پدیده ها، استفاده از دستگاه مختصات گریزناپذیر است.
⁵⁴ـ مختصات را به صورت رسمى تر مى توان به صورت زیر تعریف کرد: مجموعه اى از nمتغیر که یک شى ء هندسى را مشخص مى سازد. اگر مختصات فواصلى باشد که در امتداد محورهاى مستقیم عمود بر هم اندازه گیرى مى شود، مختصات دکارتى خوانده مى شود. مطالعه هندسه با استفاده از یک یا چند دستگاه مختصات، به عنوان هندسه تحلیلى شناخته مى شود.
⁵⁵ـ براى مطالعه بیشتر، ر.ک: غلامحسین رحیمى، جزوه درسى حساب تانسورها.
⁵⁶ـ مرتضى مطهّرى، همان، ص 514.
⁵⁷ـ «بدان که مکان در پیش افلاطون بعدى است مجرد ممتد در جمیع جهات که جسم در او نفوذ کند، و اگر نفوذ نکند خالى بود.» نفایس الفنون، ج 2، فن چهارم، از مقاله دوم، فصل اول از باب اول، ص 519
⁵⁸ـ ملّاصدرا، همان، ج 4، فصل 13، ص 43.

⁵⁹. Matter.
⁶⁰. Form
⁶¹. Body.

⁶²ـ ابن سینا جوهرى را که فارغ از ماده در آن امکان فرض سه بعد مى شود، صورت جسمیه مى خواند؛ وبدین ترتیب بحث امتداد با موضوع صورت پیوند مى یابد.

---

منابع

ـ ابن سینا، حسین بن عبداللّه، الهیات شفا، ترجمه محمد محمدى گیلانى، قم، بوستان کتاب، 1379.
ـ ـــــ ، الهیات دانش نامه علایى، مقدمه و تصحیح محمد معین، تهران، انجمن آثار و مفاخر ایران، 1383.
ـ ـــــ ، طبیعیات کتاب نجات، تصحیح محمدتقى دانش پژوه، تهران، دانشگاه تهران، بى تا.
ـ ـــــ ، فن سماع طبیعى، ترجمه محمدعلى فروغى، تهران، امیرکبیر، 1360.
ـ ان طفیل، ابوبکر، حى بن یقضان، بیروت، دارالمشرق، بى تا.
ـ بغدادى، ابوالبرکات، المعتبر فى الحکمة، تهران، دانشگاه اصفهان، بى تا.
ـ جوادى آملى، عبداللّه، فلسفه صدرا، قم، اسراء، 1388.
ـ خاتمى، محمود، «ماده از نظر دکارت»، فلسفه، دوره سى وچهارم، ش 1، 1385، ص 41ـ69.
ـ داماد، میرمحمدباقر، مصنفات میرداماد، به اهتمام عبداللّه نورانى، تهران، انجمن آثار و مفاخر فرهنگى، بى تا.
ـ دکارت، رنه، اصول فلسفه، ترجمه منوچهر صانعى، تهران، آگاه، 1360.
ـ ـــــ ، تأملات در فلسفه اولى، ترجمه احمد احمدى، تهران، مرکز نشر دانشگاهى، 1361.
ـ رحیمى، غلامحسین، «مفهوم جسم در طبیعیات سینوى»، حکمت سینوى، سال چهاردهم، ش 44، زمستان 1389، ص 57ـ76.
ـ ـــــ ، جزوه درسى حساب تانسورها، تهران، دانشکده دانشگاه تربیت مدرس، بى تا.
ـ شهروردى، شهاب الدین، مجموعه مصنفات، تصحیح سیدحسین نصر، تهران، مؤسسه مطالعات و تحقیقات فرهنگى، بى تا.
ـ شیرازى، قطب الدین، دره التاج، مقدمه و تصحیح سیدمحمد مشکوة، تهران، حکمت، 1385.
ـ طباطبائى، سید محمدحسین، بدایه الحکمة، ترجمه و شرح على شیروانى، قم، بوستان کتاب، 1389.
ـ محمدزاده، رضا، «چشم اندازى به آراء فیلسوفان پیرامون طبیعت»، مقالات و بررسیها، دفتر 65، تابستان 1378، ص 97ـ115.
ـ مرزبان، بهمنیاربن، التحصیل، تصحیح مرتضى مطهرى، تهران، دانشگاه تهران، بى تا.
ـ مصباح، محمدتقى، آموزش فلسفه، تهران، امیرکبیر، 1378.
ـ مطهّرى، مرتضى، مجموعه آثار، تهران، صدرا، 1377.
ـ ملّاصدرا (صدرالدین محمدبن ابراهیم شیرازى)، الحکمة المتعالیه فى الاسفار العقلیة الاربعة، بیروت، دار احیاء التراث العربى، 1981م.