معرفت فلسفی

 سال یازدهم، شماره دوم، زمستان 1392، 129ـ140

لطف اللّه نبوى *
على بیگدلى **

چکیده
یکى از اصول مهمى که در اثبات برخى از  قضایاى اساسى منطق جدید و بسیارى از قضایاى ریاضیات از آن بهره مى گیرند اصل استقراى ریاضى است. پرسش این است که آیا این اصل بدیهى است؟ به ظاهر شهودهاى عرفى، بداهت آن را تأیید نمى کنند. لذا وضوح برهان قضایاى مبتنى بر اصل فوق نیز کانون تردید است و توجیه برهان چنین قضایایى، مشروط به اذعان بر درستى اصل استقراى ریاضى خواهد بود. گمان مى کنیم اصل فوق با تکیه بر مفاهیم و اصول اولیه مجموعه اعداد طبیعى اثبات پذیر است و بدین ترتیب با اثبات آن، دغدغه احتمالى تشکیک در استحکام منطقى اصل استقراى ریاضى و قضایاى مبتنى بر آن در منطق جدید مرتفع خواهد شد.

کلیدواژه ها: اعداد طبیعى، مجموعه، استقراى ریاضى.

---

*  دانشیار دانشگاه تربیت مدرس.                                                                                               nabavi_l@modares.ac.ir  
**  دانشجوى کارشناسى ارشد فلسفه دانشگاه تربیت مدرس.                                                                 yamohil@yahoo.com
دریافت: 11/3/91               پذیرش: 13/11/92

---

مقدّمه

اصل استقراى ریاضى (Mathematical Induction) را پئانو در نظریه اعداد به منزله اصل موضوع پنجم به کار برده است (مصاحب، 1385، ص 491). بدون استفاده از اصل مزبور، بسیارى از قضایاى منطق جدید مانند فراقضایاى سازگارى (Consistency Metatheorem)، تمامیت (Completeness) و غیره بى پاسخ مى ماند. ازآنجاکه این اصل مبتنى بر مفهوم بى نهایت است، به ظاهر شهودهاى عرفى بداهت آن را تأیید نمى کنند. لذا وضوح برهان (Proof) قضایاى مبتنى بر اصل فوق نیز کانون تردید است و توجیه (Justification) برهان چنین قضایایى، مشروط به اذعان بر درستى اصل استقراى ریاضى خواهد بود. به عبارت دیگر، حرف نهایى درباره برهان این گونه قضایا آن است که بگوییم: اگر استقراى ریاضى درست باشد، آن گاه توجیه برهان قضیه مبتنى بر آن نیز تمام و کامل است. اکنون پرسش این است که آیا مى توان این اصل را با تکیه بر برخى مفاهیمى که بداهتشان مورد تأیید شهودهاى عرفى است (مانند ترتیب در اعداد طبیعى) اثبات کرد؟ در این مقاله مى کوشیم اصل استقراى ریاضى را با تکیه بر اصل خوش ترتیبى (Well-Ordering) اعداد طبیعى (Natural Number) اثبات کنیم و نشان دهیم که اصل استقراى ریاضى از قوت و استحکام منطقى کافى برخوردار است و تردید احتمالى درباره بهره گیرى و استفاده از آن در قضایا و فرمول هاى گوناگون واجد شرایط استقرا، بى وجه خواهد بود.

بحث را درباره استقراى ریاضى به گونه اى پیش خواهیم برد که موارد ذیل مدنظر باشند:

1. از رهزنى احتمالى شهود (Intuition) عرفى جلوگیرى شود؛

2. در عین حال، شهودهاى عرفى نیز مطالب و قضایاى مورد بحث را تأیید کنند؛

3. طرح بحث به زبان مجموعه ها (Set) آسان تر و دقیق تر است. ازاین رو به مفاهیم و تعاریف نظریه مجموعه ها به صورت اجمالى اشاره مى شود.

4. بدون توجه به مفاهیم نظریه مجموعه ها نیز برهانى دیگر براى اثبات استقراى ریاضى ارائه خواهد شد.

مجموعه و اصطلاحات آن

اگرچه فرض بر این است که خواننده با زبان مجموعه ها آشنایى دارد، براى وضوح بیشتر و بى ابهام بودن مطالب پیش رو به کمترین اطلاعات لازم در این باب اشاره مى کنیم.

در اصطلاح ریاضى، هر گروه از اشیاى دوبه دو متمایز و مشخص را مجموعه و هریک از آن اشیا را عضو (Member) یا عنصر (Element) این مجموعه مى نامند. مقصود از مشخص بودن گروهى از اشیا آن است که به ازاى هر شى ء، آن شى ء درواقع عضو آن گروه است یا عضو آن گروه نیست. هر مجموعه با اعضاى خود مشخص مى شود و امورى مانند ترتیب اعضا و غیره خارج از مفهوم مجموعه است. اگر شمار اعضاى مجموعه محدود و شمارش پذیر باشد، مجموعه متناهى و در غیر این صورت، مجموعه نامتناهى خواهد بود.

به طور معمول مجموعه هاى دلخواه را با حروف بزرگ الفباى لاتینى و اعضاى دلخواه مجموعه ها را با حروف کوچک همان مجموعه ها نشان مى دهند، و براى برخى مجموعه ها نام هاى ویژه اى به کار مى برند. ازجمله آنها، Nبراى مجموعه اعداد طبیعى و Zبراى مجموعه اعداد صحیح است. از روش هاى دیگر نام گذارى مجموعه ها، نام گذارى به وسیله درج اسامى اعضاى مجموعه درون ابرو یا آکولاد است. براى مثال }9، 5، 2، 1{ و }...، 3، 2،1{= N که هر دو نمایانگر مجموعه اند؛ با این تفاوت که اولى متناهى و دیگرى نامتناهى مى باشد.

عضویت aدر مجموعه A را به صورت a A و نقیض آن را به شکل a Aمى نویسیم و به ترتیب چنین مى خوانیم: a عضو A است و a عضو Aنیست.

تساوى دو مجموعه A و B به این معناست که هر دو مجموعه اعضاى یکسانى داشته باشند. به عبارت دیگر A=B هرگاه A و B اسامى یک مجموعه باشند. براى نمونه اگر

={1,a,b,c} A و ={a,1,c,b} B، آن گاه A=B.

اگر هر عضو مجموعه A عضو مجموعه B باشد، گوییم A جزء B یا زیرمجموعه (Subset) B است و اگر در این حال، B عضوى غیرمتعلق به A داشته باشد، A را زیرمجموعه حقیقى یا سره B مى گویند. گزاره نماى A جزء B یا زیرمجموعه B است را به صورت B A و گزاره نماى زیرمجموعه حقیقى B است را به صورت B A مى نویسند. مثلاً اگر ={1,a,b,c} A و ={a,1,c,b,d} B در این صورت A B.

مفهوم عادى مجموعه متضمن این است که بیش از یک عضو داشته باشد. از این لحاظ مجموعه اعداد زوج اول، مجموعه اعداد طبیعى منفى، مجموعه پادشاهان فرانسه در قرن بیستم بى معنا خواهد بود؛ زیرا به جز 2 عدد اول زوجى وجود ندارد. همه اعداد طبیعى مثبت اند و نیز فرانسه در قرن بیستم پادشاه نداشته است. براى تعمیم، به خاطر بامعنا بودن مفاهیمى چون مثال هاى مزبور، مجموعه داراى یک عضو و مجموعه خالى را به منزله مجموعه مى پذیریم، و بدین ترتیب مفهوم عرفى مجموعه را توسعه مى دهیم.

تلقى مجموعه عمومى به منزله مجموعه جمیع اشیا، متضمن مشکلات جدى است، که در جاى خود، در نظریه مجموعه ها، کانون بحث قرار مى گیرد. در هر نظریه علمى، اشیاى اولیه مورد بحث، به منزله مجموعه عمومى یا عالم سخن آن نظریه لحاظ مى شود. در این بحث هم براى دورى جستن از مشکلات (مانند مشکل پارادوکس راسل)، اعداد طبیعى را به منزله عالم سخن در نظر مى گیریم و در ضمن چهار عمل اصلى جمع، تفریق، ضرب و تقسیم بین دو عدد را واضح پنداشته، موارد زیر را به همراه علامت > موسوم به نسبت کوچک ترى، که براى مقایسه دو عدد از مجموعه اعداد طبیعى N است، به منزله اصول موضوعه به صورت زیر در نظر مى گیریم.

1. < متعدى است؛ یعنى به ازاى اعداد طبیعى، b ,a و c اگر a>b و b>c، آن گاه a>c.

2. <تابع اصل تثلیث (قوى) است.

اصل اخیر مقایسه پذیر بودن هر دو عدد را مى رساند؛ به این معنا که براى هر عدد a و b فقط یکى از روابط زیر درست است: a < bیا b < a یا a = b.

اگر a یک عدد باشد آن گاه a...aaa=an یعنى عدد a به تعداد nبار در خودش ضرب شده است و 1 b b بدین معناست که a < bیا a = b.

3. اگر b > a، آن گاه b + c a + c.

یعنى به دو طرف نسبت کوچک ترى مى توان عددى دلخواه مانند cرا افزود.

4. اگر b > a و c > 0 آن گاه bc > ac.

به عبارت دیگر در دو طرف نسبت کوچک ترى، عدد مثبت دلخواه مانند c را مى توان ضرب کرد.

5. هر مجموعه غیرخالى از اعداد طبیعى، عضو ابتدا دارد.

این اصل موسوم به اصل خوش ترتیبى است و بیانگر آن است که کوچک ترین عضو در هر زیرمجموعه از اعداد طبیعى موجود است.

 

اعداد طبیعى

مجموعه اعداد طبیعى بنیادى ترین مجموعه هاى اعداد و بسیارى از مفاهیم اساسى ریاضى ـ از قبیل مفاهیم شمردن، مجموعه هاى متناهى و نامتناهى ـ ناشى از آن است. براى آماده کردن ذهن، قبلاً اعداد طبیعى را چنان که با آنها مأنوس هستیم بررسى مى کنیم و بعضى خواصى را که از این بررسى سطحى مى توان استنباط کرد، یادآور مى شویم.

اعداد طبیعى بدان گونه که آنها را مى شناسیم عبارت اند از اعداد:

1، (1+1)، (1+1+1)، (1+1+1+1)،...

که مجموعه آنها مجموعه اعداد طبیعى خوانده مى شوند. چنان که از طرح فوق مشهود است، مجموعه یادشده داراى این دو خاصیت است: اولاً یکدار است؛ یعنى 1 بدان تعلق دارد و ثانیا موروثى است؛ بدین معنا که همواره اگر xبدان تعلق داشته باشد، x+1نیز بدان تعلق دارد. این طرح و شرح چنین مى نمایاند که اگر عدد یک و مفهوم جمع را بدانیم، آن گاه مى توانیم مجموعه اعداد طبیعى را بسازیم؛ به این صورت که نام هاى دیگر 1+1، 1+1+1، 1+1+1+1 و غیره را به ترتیب 2،3،4 و... مى گذاریم. توضیح واضحات نخواهد بود اگر توجه مضاعف به این مطلب کنیم که هم مفهوم واحد و هم مفهوم جمع را ارتکازا درمى یابیم و نیازى به واسطه قرار دادن مفاهیم دیگر براى دریافت مفهوم آنها نداریم؛ لذا با توجه به این توضیح و تحلیل، شایسته و بایسته است که مجموعه اعداد طبیعى را به صورت }...، 3، 2، 1{ = N تعریف کنیم.

از ساختمان اعداد طبیعى به شرح مذکور معلوم است که اگر n یک عدد طبیعى باشد، بین n و 1+n عددى طبیعى وجود ندارد. بدین مناسبت 1+n را تالى بلافصل n مى نامند. همچنین معلوم است که هر عدد طبیعى غیر از 1، تالى بلافصل یک عدد طبیعى است و نیز مى توان گفت فاصله هر دو عدد طبیعى متوالى یک واحد است.

همان گونه که پیش تر بیان شد به شکل شهودى مى توان گفت مجموعه اى متناهى است که تعداد اعضاى آن را بتوان شمرد، و در غیر این صورت نامتناهى است؛ اما این تعریف را مى توان به گونه اى دقیق تر، با تکیه بر مفهوم تناظر یک به یک میان اعضاى دو مجموعه تعریف کرد.

تعریف: مجموعه X نامتناهى است اگر زیرمجموعه اى سره مانند Y داشته باشد؛ به گونه اى که تناظرى یک به یک میان X و Y وجود داشته باشد. نیز مجموعه متناهى است اگر نامتناهى نباشد (لین، 1368، ص 117). به عبارت دیگر، مجموعه X نامتناهى است، اگر و تنها اگر یک تابع یک به یک Y X : f به قسمى که (X)f زیرمجموعه سره X باشد.

واضح است که {2,4,6,8,...}= Eزیرمجموعه اعداد طبیعى N است، تابع f(x) = 2xازN به E یک به یک است. به صورت روشن تر تناظر یک به یک E و N بدین معناست که متناظر با هر عضو E، فقط یک عضو از N موجود است و برعکس متناظر با هر عضو N، فقط یک عضو از E وجود دارد. براى مثال عدد 55 از مجموعه N، با توجه به ضابطه تابع فوق، با عدد 110 (دو برابر 55) از مجموعه E و عدد 68 از مجموعه E، با عدد 34 (نصف 68) از N متناظرند. با همین قیاس معلوم مى شود که اعضاى دو مجموعه E و Nتناظر یک به یک دارند. لذا بنا به تعریف فوق چون اعضاى E و N تناظر یک به یک دارند N E است، پس N نامتناهى است.

 

تعریف استقراى ریاضى

استقراى ریاضى براى اثبات این امر به کار مى رود که هر جمله از یک دنباله (tail) نامحدود، از امرى معین تبعیت مى کند. این کار در دو مرحله انجام مى شود:

ـ اثبات اینکه عبارت اول در دنباله نامحدود مذکور از آن تبعیت مى کند؛

ـ اثبات اینکه چنانچه جمله اى در دنباله نامحدود نیز از آن پیروى کند، جمله بعدى نیز از آن تبعیت خواهد کرد.

تعریف ساده و عمومى از استقراى ریاضى عبارت است از: اثبات اینکه یک جمله براى تمام اعداد طبیعى صادق باشد و شامل دو مرحله است:

ـ مرحله اصلى نشان دادن اینکه جمله به ازاى 1 = n صادق است؛

ـ مرحله استقرایى نشان دادن اینکه اگر جمله به ازاى m = n صادق باشد، به ازاى m+1 = n نیز صادق خواهد بود.

در استقراى ریاضى، جمله اى که پس از کلمه اگر آمده است (جمله به ازاى m = nصادق باشد) اصطلاحا فرض استقرا یا گام استقرا نامیده مى شود، و نیز مرحله اصلى (جمله به ازاى n=1 صادق است) را گام بنیادین استقرا یا فرض ابتداى استقرا مى خوانند.

بدین ترتیب نخست فرض مى شود که گام بنیادین استقرا و فرض استقرا صادق است (جمله به ازاى n=m صادق است) و سپس از این مقدمات براى اثبات صدق جمله به ازاى n=m+1 استفاده مى شود. البته گاه از استقراى ریاضى با دو قید ضعیف و قوى نیز یاد مى شود که دلیل این قیود به ترتیب به خاطر کمى و زیادى تعداد مقدمات یا فرضیات استقراست و ربطى به استحکام آن ندارد. اگر مجموعه اى از اشیا در اختیار داشته باشیم و بتوانیم آن اشیا را متناظر با اعداد طبیعى مرتب کنیم، سپس بخواهیم براى همه این مجموعه شمارش پذیر صفت معینى مانند j را اثبات کنیم، به دو صورت زیر از روش استقراى ریاضى بهره مى گیریم:

1. استقراى ضعیف: استقراى ضعیف داراى سه مرحله به شرح زیر است:

الف) گام بنیادین استقرا: در این مرحله اثبات مى کنیم که عنصر شماره صفر (حد صفر) داراى صفت j است (j0)؛

ب) گام استقرا: در این مرحله اثبات مى کنیم: jn+1 jn. براى اثبات حکم مذکور کافى است jn را فرض کرده (فرض استقراى)، با استفاده از j0 و jn، jn+1 را اثبات مى کنیم؛

ج) نتیجه استقرا: در این مرحله با اثبات j0 و jn+1 jn مى توان نتیجه گرفت که همه مجموعه اعداد طبیعى و در نتیجه همه عناصر مورد اشاره آنها ویژگى j را دارند.

بنابراین استقراى ریاضى ضعیف از دو مقدمه و یک نتیجه تشکیل شده است:

گام بنیادى:j0

گام استقرا:jn+1 jn

ـــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ

نتیجه استقرا:...&jn&...\j0&j1&j2&

2. استقراى ریاضى قوى: استقراى ریاضى قوى داراى سه مرحله بدین شرح است:

الف) گام بنیادى: در این مرحله اثبات مى کنیم که عنصر شماره صفر (حد صفر) داراى صفت j است (j0)؛

ب) گام استقرا: در این مرحله اثبات مى کنیم که اگر همه اعداد طبیعى پیش از n+1صفت j را داشته باشند (فرض استقراى)، عدد n+1 نیز این صفت را خواهد داشت؛ یعنى jn+1 jn &...& j2 & j1 & j0 ؛

ج) نتیجه استقرا: در این مرحله مى توان نتیجه گرفت که همه اعداد طبیعى داراى صفت j هستند (نبوى، 1377، ص 64).

مثال: ثابت مى کنیم به ازاى هر عدد طبیعى n،2n 2 .

برهان: فرض کنید (n)f بیانگر تابع گزاره اى به ازاى هر عدد طبیعى n، 2n 2 باشد، (1)f برقرار است؛ زیرا 21 2 یعنى یا 2 > 2یا 2 = 2 که به وضوح درست است. حال فرض مى کنیم (n)f برقرار باشد (فرض استقرا). به دو طرف 22 2 عدد را 2 ضرب مى کنیم. لذا 2n+1 4 . با توجه به اصل متعدى بودن نسبت کوچک ترى و اینکه 4 2 داریم: 2n+1 2 و این یعنى (n+1)f و لذا بنا به اصل استقراى ریاضى، حکم براى هر عدد طبیعى n برقرار است.

همان گونه که گفته شد از اصل استقراى براى اثبات احکامى درباره اعداد طبیعى استفاده مى شود. حال روش اثبات را به وسیله این اصل بیان مى کنیم:

اگر (n)P حکمى درباره اعداد طبیعى باشد، به گونه اى که:

الف) (1)P درست باشد (این مرحله را فرض ابتداى استقرا یا گام بنیادى استقرا مى نامند)؛

ب) به ازاى هر عدد طبیعى k، از درستى (k)P، درستى (k+1)P نتیجه شود. در این صورت مى توان نتیجه گرفت که (n)P به ازاى هر عدد طبیعى N درست است. به دیگر سخن:

P [P (1) " k (P (k( P(k + 1)] " n N, P (n)] "که در آن pنشان دهنده گزاره نما، " نشان دهنده سور عمومى به معناى به ازاى هر، به معناى و N مجموعه اعداد طبیعى و k,nهر دو اعداد طبیعى اند.

قضیه 1:

I.N I. یعنى I عدد طبیعى است.

II. همواره اگر N n آن گاه n+I N.

برهان: Iنتیجه تعریف N و براى اثبات IIفرض کنیم براى nاى خاص، N n و N n+1و و این بدان معناست که با افزودن یک واحد به یک عدد طبیعى خاص، عددى طبیعى به دست نیامد که به وضوح با تعریف مجموعه اعداد طبیعى در تناقض باشد؛ لذا N n+1 .

قضیه 2 (اصل استقراى ریاضى): اگر خاصیت f، تابع شرایط دوگانه زیر باشد، جمیع اعداد طبیعى واجد این خاصیت خواهند بود:

I. 1 خاصیت fدارد؛

II. به ازاى هر عدد طبیعى n، اگر n خاصیت fداشته باشد n+1 نیز خاصیت fدارد.

برهان: فرض کنیم A مجموعه جمیع اعداد طبیعى واجد خاصیت fباشد که N A(فرض خلف). حال مجموعه N - A T = (اعضاى N به غیر از اعضاى A) را در نظر مى گیریم. به دلیل اینکه N A پس T تهى نیست؛ و نیز با توجه به T تعریف داریم: N T و لذا طبق اصل خوش ترتیبى عضو ابتدایى چون to دارد. با عنایت به تعریف T و A داریم: A 1. بنابراین to از عدد یک بیشتر است. لذا N -1 to. واضح است که to -1 <-to پس T -1 to (چون کوچک ترین عضو T بود)؛ و این یعنى A -1 to و طبق A II to = -1+1 to پس T to و این متناقض با تعریف to به منزله عضو ابتدا براى T است. پس فرض خلف (N A) باطل و حکم A=N ثابت است.

چنان که مى دانیم، گزاره نماى pn به معناى n خاصیت P دارد است؛ و لذا قضیه 2 را مى توان چنین بیان کرد:

قضیه 3 (اصل استقراى ریاضى): اگر خاصیت P، تابع شرایط دوگانه ذیل باشد، جمیع اعداد طبیعى خاصیت p دارند:

p1 .I؛

.I1به ازاى هر n، اگر pn، آن گاه pn+1.

در ارائه برهان براى قضیه استقراى ریاضى، به صورتى که گذشت، به اعداد طبیعى و نظریه مجموعه ها متوسل شدیم. به زبان نزدیک به عرف و بدون توسل به مفاهیم فوق، به صورت ساده تر نیز مى توان بر قضیه استقراى ریاضى به قرار زیر ارائه برهان کرد؛ به گونه اى که هم با شهود و دریافت اولیه عرفى سازگارى داشته باشد و هم فهم برهان آن آسان تر از فهم برهان قضیه قبل باشد.

برهان: فرض کنید n عدد طبیعى باشد که خاصیت p دارد (این مطلب را به شکل pnنشان مى دهیم). طبق فرض، دو مقدمه زیر را داریم:

الف) p1 (یعنى 1 خاصیت p دارد)؛

ب) به ازاى هر عدد طبیعى n، اگر pn آن گاه pn+1.

ادعا مى کنیم همه اعداد طبیعى خاصیت p دارند (یعنى"n، pn)؛ در غیر این صورت نقیض آن براى بعضى اعداد طبیعى ~pn، که فرض خلف است، برقرار خواهد بود (1) (براى اشاره آسان، اسم جمله اخیر را (1) در نظر مى گیریم). از میان این اعداد طبیعى، کوچک ترین آن را برمى گزینیم و آن را k مى نامیم. چون ~pkبرقرار است (2)، با نظر به تعریف k، آشکار است که pk-1 و درنتیجه با توجه به فرض ب، pk برقرار است و این مطلب با (2) و درنتیجه با (1) در تناقض است. پس نشان دادیم که ~pn، براى بعضى اعداد طبیعى مانند k برقرار نیست. لذا فرض خلف، یعنى~ pn باطل و حکم یعنى "n، pn برقرار است.

 

نتیجه گیرى و ارزیابى

همان گونه که ملاحظه شد، استقراى ریاضى قضیه اى است که نتیجه آن با پذیرش دو مقدمه ضرورى است؛ یعنى پذیرفتن مقدمات و رد نتیجه به تناقض مى انجامد. بنابراین استقراى ریاضى نوعى قیاس منطقى است و بر خلاف استقراى متداول در دانش هاى تجربى، صدق نتیجه آن قطعى است. اعتبار استقراى ریاضى بر ترتیب عددهاى طبیعى استوار است. ازاین رو هرجا اشیایى داشته باشیم که بتوان آنها را به شکلى متناظر با اعداد طبیعى مرتب و شماره گذارى کرد، آن گاه مى توانیم استقراى ریاضى را براى آنها به کار ببریم. براى مثال، در منطق گزاره ها مى توان فراقضیه بهنجارى (صحت) را با استفاده از استقراى ریاضى بر روى تعداد سطور برهان، که عددى طبیعى است، اثبات کرد. این فراقضیه بیان مى کرد هر استدلال درست، استدلالى معتبر است.

گاه پیش مى آید که شخص مى پندارد محاسباتى را که در حالات خاص انجام داده است، مى تواند تحت قاعده اى کلى درآورد، و چه بسا این قاعده را حدس مى زند. چنین حدسى، اگر صحتش با دلیل ثابت نشود، اعتمادپذیر نیست، و نباید آن را به منزله یک قضیه عرضه کرد. براى نمونه، در سه جمله اى n2-n+41 اگر به جاى n اعداد 1،2، و... و 9 قرار دهید، ملاحظه خواهید کرد که اعداد حاصل، جملگى عدد اول اند؛ یعنى به غیر از عدد یک و خود بر عدد طبیعى دیگرى بخش پذیر نیستند. از اینجا ممکن است به ذهن برسد که حاصل مقادیر سه جمله اى مزبور، به ازاى اعداد 10، 11، ...، 30 و 31 به جاى nباز هم اعدادِ اول اند و این نتیجه مؤید حدس ماست. حال اگر محاسبه را ادامه دهیم، به ازاى n=41 عدد 412-41+41 حاصل مى شود که بالبداهه اول نیست. این دلیل گمراه کننده و ناپذیرفتنى، و حاکى از تمیز نگذاشتن میان حدس و حکم ثابت شده است.

اما محدودیت استقراى ریاضى در این است که تنها براى مسائلى به کار مى رود که با اعداد طبیعى سروکار دارند. لذا این روش اساسا یک روش تحقیق است، و نیز تنها در اثبات قضایایى که درستى آنها را حدس زده ایم، به کار مى رود. براى مثال در اثبات قضیه اگر n عددى طبیعى باشد، آن گاه p1+3+5+7+... + (2n-1)=n2 از استقراى ریاضى بهره مى گیریم؛ ولى استقراى ریاضى درباره اینکه این قضیه چگونه و از چه مقدمه یا مقدماتى حاصل شد و نیز درستى آن چگونه حدس زده شد، هیچ کمکى به ما نمى کند. به عبارت دیگر، استقراى ریاضى توانایى آشکار کردن نادرستى فرمول یا قضیه اى را ندارد، بلکه نخست باید درستى فرمول یا قضیه اى را حدس بزنیم و سپس با بهره گیرى از استقراى ریاضى صدق حدسى را استحکام بخشیم.

---

منابع

لین، شووینگ تى، 1368، نظریه مجموعه ها و کاربردهاى آن، چ دوازدهم، تهران، مرکز نشر دانشگاهى.
مصاحب، غلامحسین، 1368، آنالیز ریاضى، چ پنجم، تهران، فرانکلین.
نبوى، لطف اللّه، 1377، مبانى منطق جدید، تهران، سمت.

··· سایر منابع

افضلى، جمعه خان، 1386، روش استقرائى از دیدگاه تطبیقى، معرفت فلسفى، ش 19، ص 117ـ144.
ایان، استیوارت و دیوید، تال، 1365، مبانى ریاضیات، تهران، مرکز نشر دانشگاهى.
بت داود، جمس، 1381، مبانى ریاضیات، چ دوازدهم، تهران، دانشگاه پیام نور.
بهزاد، مهدى و همکاران، 1375، ریاضیات گسسته، چ پانزدهم، تهران، شرکت چاپ و نشر کتاب هاى درسى ایران.
بیگدلى، على، 1389، استقرا ریاضى و احتمال استقرایى ـ منطقى، پایان نامه کارشناسى ارشد فلسفه، تهران، دانشگاه تربیت مدرس.
پولیا، جورج، 1369، چگونه مسئله را حل کنیم، چ دوم، تهران، کیهان.
موحد، ضیاء، 1368، درآمدى به منطق جدید، تهران، سازمان انتشارات و آموزش انقلاب اسلامى.