معرفت فلسفی

* برای مشاهده بهتر این مقاله، نسخه pdf آن را در پایین مقاله مشاهده فرمایید.

سال نهم، شماره اول، پاییز 1390، 39ـ71

اسداللّه فلاحى^*

چکیده

در منطق سینوى، «شرطى متّصل لزومى» مهم‏ترین قسم از اقسام شرطى به شمار مى‏آید. نزدیک‏ترین ادات شرطى به شرطى لزومى، در منطق جدید، «استلزام ربطى» است. بخشى از منطق جدید که به «استلزام ربطى» مى‏پردازد، «منطق ربط» نام دارد. میان منطق‏دانان ربط، نزاعى هست که آیا پذیرش یک تناقض، مستلزم هر گزاره دلخواهى است؟ به دیگر سخن، آیا یک گزاره متناقض با هر گزاره دلخواهى مرتبط است؟ پاسخ مثبت به این سؤال، به منطقى به نام KR و پاسخ منفى به آن به منطقى به نام R مى‏انجامد. منطق KR، نسبت به منطق R، سمانتیک ساده‏تر و شهودى‏ترى دارد. با این حال، تعیین اعتبار و عدم اعتبار استدلال‏ها در نظام‏ها و سمانتیک‏هاى گوناگون منطق ربط (حتى در KR) کارى دشوار است که در ادبیات منطق ربط، کمتر به آن پرداخته شده است. در این مقاله، با الهام از یک روش ارزش‏دهى به نام «آزمون اعتبار» که هیوز و کرسول در منطق موجّهات معرفى کرده‏اند، یک «آزمون اعتبار» براى منطق KRطرّاحى کرده و کاربرد آن را در چند مثال نشان داده‏ایم.

کلیدواژه‏ها: شرطى لزومى، منطق ربط، R، KR، آزمون اعتبار.

مقدّمه

در منطق‏هاى قدیم و جدید، ادات شرطى به گونه‏هاى مختلف تقسیم شده‏اند. براى نمونه، در منطق سینوى، شرطى متّصل به دو نوع «لزومى» و «اتّفاقى» تقسیم مى‏گردد؛ متّصل اتّفاقى نیز خود به به دو قسم «اتّفاقى خاص» و «اتّفاقى عام» تفسیر مى‏شود.1 این در حالى است که در منطق جدید، اقسام زیر براى ادات شرطى شناسایى شده است: «استلزام مادّى»، «استلزام اکید»، «استلزام ربطى»، «استلزام استنتاجى»، «استلزام شهودى»، «شرطى خلاف واقع»، و... .2

تطبیق اقسام شرطى در منطق سینوى با اقسام شرطى در منطق جدید کار چندان ساده‏اى نیست و به آگاهى دقیق از ویژگى‏هاى هریک از اقسام شرطى در هریک از این دو منطق نیازمند است.3 از میان شرطى‏هاى منطق سینوى، بى‏گمان، «متّصل لزومى» اهمیت بیشترى دارد. متّصل لزومى، غیر از استلزام مادّى، با شرطى‏هاى دیگر در منطق جدید قابل تطبیق است؛ از این‏رو، با شناخت دقیق هریک از این شرطى‏ها، امکان مقایسه و تطبیق آنها با متّصل لزومى فراهم مى‏آید. در این مقاله، از میان شرطى‏هاى گوناگونى که در منطق جدید معرفى شده است، تنها به «استلزام ربطى» و دو تفسیر مهم از آن مى‏پردازیم.

مجموعه نظام‏هاى منطقى که تفسیرهاى گوناگون از «استلزام ربطى» را صورت‏بندى مى‏کنند، با عنوان کلّى «منطق ربط»4 یا «منطق ربطى»5 شناخته مى‏شوند.6 ایننظام‏ها بسیارند و مهم‏ترین آنها منطق ربط Rاست که سایر نظام‏ها در ارتباط با آن و در سایه آن شناخته مى‏شوند. نام این نظام‏ها در منطق ربط فرعى بودن آنها را نسبت به منطق Rبه خوبى نشان مى‏دهد: CR، KR، RM، RM₃، PWR، R⁺، R^£، R_fde، R و... .7 در این مقاله، تنها به نظام KRمى‏پردازیم و با بیان تفاوت اصلى آن با منطق ربط R، روشى براى تعیین اعتبار و عدم اعتبار استدلال‏ها در KRطرّاحى مى‏کنیم.

آزمون اعتبار

روش‏هاى تعیین اعتبار و عدم اعتبار را «آزمون اعتبار» یا «اعتبارسنجى»8 مى‏نامند.براى منطق گزاره‏ها و منطق محمول‏ها، روش‏هاى گوناگونى به منظور اعتبارسنجى طرّاحى شده است که شناخته‏شده‏ترین آنها عبارت‏اند از:9 استفاده از جدول‏هاى ارزش،10 روش‏هاى نمودارى،11 صورت نرمال،12 و ارزش‏دهى.13

از میان روش‏هاى گوناگون براى «آزمون اعتبار»، روش ارزش‏دهى سریع‏ترین و ساده‏ترین روش است. لطف‏اللّه نبوى صورت بسیار ساده‏اى از این روش را براى منطق جمله‏هاى کلاسیک در کتاب مبانى منطق جدید آورده است.14 جى. اى. هیوز و ماکس کرسوِل روش ارزش‏دهى را با کام‏یابى به منطق موجّهات گسترش داده و آن را معرفى کرده‏اند.15 نگارنده نیز در پایان‏نامه کارشناسى ارشد خود، معرفى این روش را بهفارسى برگردانده است.16

از آنجا که تا زمان نگارش این مقاله نتوانستیم روش ارزش‏دهى را در ادبیات منطق ربط بیابیم، تلاش کرده‏ایم تا روش هیوز و کرسول را به منطق ربط گسترش دهیم. این کار اصولاً باید در مورد منطق ربط Rانجام گیرد؛ امّا گسترش روش ارزش‏دهى به این منطق پیچیدگى‏هایى دارد که پرداختن به آن را دشوار مى‏سازد. این در حالى است که تعمیم روش هیوز و کرسول به منطق ربط KR(که در مقدّمه معرفى کردیم) بسیار آسان‏تر است. به همین سبب، در این مقاله، فقط از طرّاحى روش ارزش‏دهى براى منطق KR سخن مى‏گوییم و گسترش آن به منطق Rرا در مقاله دیگرى بررسى مى‏کنیم. در ادامه، نخست، معرفى کوتاهى از نظام اصل موضوعى براى منطق ربط KRو سمانتیک آن به دست مى‏دهیم؛ سپس، به آزمون اعتبارى که براى آن طرّاحى کرده‏ایم، مى‏پردازیم.

منطق ربط KR

منطق KRاز افزودن اصل موضوع «از تناقض»، B(A~A) یا شکل قاعده‏اى آن به منطق Rبه دست مى‏آید:

A Ù ~A	از تناقض (EFQ)
B

درباره اصل‏موضوع و قاعده «از تناقض» سخن خواهیم گفت؛ امّا پیش از آن، باید منطق Rرا معرفى کنیم. نبوى در کتاب مبانى منطق فلسفى نظام اصل موضوعى و دستگاه استنتاج طبیعى براى منطق Rرا به تفصیل معرفى کرده است.17 ما در اینجا، براى اختصار، تنها نظام اصل موضوعى منطق Rرا معرفى مى‏کنیم:

قواعد منطق R

چنان‏که گفتیم، افزودن اصل موضوع «از تناقض» (EFQ) به منطق Rما را به منطق KRمى‏رساند:

قاعدة وضع مقدّم	⊢A→B , ⊢A Þ ⊢ B	MP
قاعدة پیوند	⊢A , ⊢B Þ ⊢A Ù B	Ad

اصول موضوعة منطق R:

همانی	A → A	I
اظهار	A → ((A → B) → B)	C*
تعدّی (پسوند)	(A → B) → ((B → C) → (A → C))	B¢
انقباض	(A → (A → B)) → (A → B)	W
حذف عاطف	(A Ù B) → A (A Ù B) → B	ÙE
معرفی عاطف	[(A → B) Ù (A → C)] → [A → (B Ù C)]	ÙI
حذف فاصل	[(A → C) Ù (B → C)] → [(A Ú B) → C]	ÚE
معرفی فاصل	A → (A Ú B) B → (A Ú B)	ÚI
پخش ضعیف	(A Ù (B Ú C)) → ((A Ù B) Ú C)	Dis
حذف نقض مضاعف	~ ~A → A	DNE
معرفی نقض مضاعف	A → ~ ~ A	DNI
عکس نقیض	(A → B) → (~ B → ~ A)	CON

چنان که گفتیم، افزودن اصل موضوع «از تناقض»، EFQ، به منطق R ما را به منطق KR می رساند:

از تناقض

(AÙ~A)→B

EFQ

اصل یا قاعده «از تناقض» مى‏گوید: از هر تناقض، مى‏توان گزاره دلخواه را نتیجه گرفت. این ادّعا با شهودهاى ما سازگار نیست؛ از این‏رو، منطق‏دانانِ ربط از پذیرش آن سر باز زده‏اند. امّا انکار این اصل سبب شده است که در منطق ربط R، یک اصل و قاعده بسیار شهودى به نام «قیاس انفصالى» از دست برود:

AÚB ~A	قاعدة «قیاس انفصالی»	[(AÚB) Ù ~A] → B	اصل «قیاس انفصالی»
B

همین مسئله موجب شده است که مخالفان منطق ربط انتقادات بسیارى را به منطق R وارد سازند.18 منطق‏دانان ربط پاسخ‏هاى بسیارى به این ایرادها داده‏اند.19 یکى از این پاسخ‏ها مى‏تواند این باشد که اصل یا قاعده «قیاس انفصالى» را به منطق Rبیفزاییم. افزودن این قاعده سبب مى‏شود اصل یا قاعده «از تناقض» اثبات شود و منطق KRبه دست آید. بنابراین، منطق KRمى‏تواند پاسخى باشد به انتقادات سهمگینى که به نامعتبر بودن قیاس انفصالى در منطق Rوارد شده است. درباره نقاط قوّت و ضعف این پاسخ مى‏توان سخن گفت؛ امّا در این مقاله، ترجیح مى‏دهیم تنها به یکى از نقاط قوّت آن اشاره کنیم: منطق KR، سمانتیک ساده‏تر و شهودى‏ترى نسبت به منطق Rدارد و آزمون اعتبار ما براى آن آسان‏تر از آزمون اعتبار منطق Rاست.

سمانتیک منطق KR

سمانتیک منطق ربط صورت‏بندى‏هاى گوناگون دارد که در اینجا، صورت‏بندى گریم پریست و ریچارد سیلوان را ارائه مى‏کنیم که ساده‏ترین صورت‏بندى از سمانتیک منطق ربط است. در این صورت‏بندى، که در سال 1992 به دست داده شده،20 «ساختار» سه‏تایى مرتّب <W, g ,R>، و «مدل» چهارتایى مرتّب <W, g, R, V>است:

F = <W,g,R>

M = <W,g,R,V>

F ساختارى است که از W، g و R ساخته مى‏شود: Wمجموعه جهان‏هاى ممکن (نرمال و غیرنرمال) است، g«تنها جهان نرمال» مى‏باشد و Rیک رابطه دسترس‏پذیرىِ «سه‏موضعى» روى جهان‏هاست. Mنیز مدل یا الگوست که از افزودن تابع ارزش‏دهى V به ساختار، به دست مى‏آید.

در این سمانتیک، شرایط صدق ادات‏هاى «ناقض»، «عاطف»، و «فاصل»، و سورهاى کلّى و جزئى به صورت کلاسیک باقى مى‏ماند؛ امّا شرط صدق «استلزام ربطى» به صورت زیر تغییر مى‏کند:

شرایط صدق شرطى در سمانتیک منطق KR

در جهان نرمال g :	"x (⊨x A É ⊨x B)	ات ا	⊨g (A → B)
در جهان غیرنرمال w :	"x"y [Rwxy É (⊨x A É ⊨y B)]	ات ا	⊨W (A → B)

چنان‏که دیده مى‏شود، شرط صدق «استلزام ربطى» در جهان نرمال g، دقیقا شبیه شرط صدق «استلزام اکید» در جهان‏هاى سمانتیک منطق S5است.21

سمانتیک KR، شرایط ساختار بسیار شبیه شرایط ساختار در سمانتیک S5است:

شرایط ساختار در سمانتیک منطق KR

شرط g :	این همانی		Rgab º (a=b)
	انعکاس		Raaa	بازتابی
شرایط R :	تقارن		Rabc º Rbac º Racb	جابجایی
	تعدی		R(ab)cd º Ra(bc)d	شرکت پذیری

بازتابى جابه‏جایى شرکت‏پذیرى براى درک مفهوم شرط «تعدّى»، به دو تعریف نخست از سه تعریف زیر نیاز داریم:

$x(Rabx & Rxcd)تعR(ab)cd =

$x(Rbcx & Raxd)تعRa(bc)d =

$x(Rcdx & Rabx)تعRab(cd) =

تعریف سوم در ادبیات منطق ربط نیامده است و عملاً هم موردنیاز نخواهد بود؛ امّا سنجش آن با دو تعریف نخست، براى درک آن دو تعریف، سودمند است. با دو تعریف نخست، شرط تعدّى به صورت زیر درمى‏آید:

^تعدّى $x(Rabx & Rxcd) = $x(Rbcx & Raxd)

چنان‏که دیده مى‏شود، شرط «تعدّى» براى رابطه سه‏موضعى نسبت به رابطه دوموضعى بسیار پیچیده‏تر است. نام‏هاى «جابه‏جایى» و «شرکت‏پذیرى» براى دو شرط «تقارن» و «تعدّى» کاملاً مفهوم هستند؛ امّا نام «تعدّى» مبهم به نظر مى‏رسد.22

مفهوم رابطه دسترسى

اکنون که با شرایط رابطه دسترسى و شرط صدق ادات شرطى آشنا شدیم، مى‏توانیم مفهوم فلسفى رابطه دسترسى و عبارت‏هایى مانند Rabcو R(ab)cdرا بهتر شرح دهیم.

مفهوم رابطه دسترسى سه‏موضعى

عبارت Rabcمى‏گوید: جهان a، از طریق جهان b، به جهان cدسترسى دارد؛ ساده‏تر اینکه: a، از طریق b، c را مى‏بیند.23 این عبارت، از دیدگاه فلسفى، به این معناست که جهان aبه کمک جهان b، به صورت ربطى، جهان cرا نتیجه مى‏دهد.

امّا نتیجه‏گیرى میان جمله‏ها و گزاره‏ها معنا مى‏دهد و نه میان جهان‏ها؛ اینکه جهانى، جهان دیگرى را نتیجه بدهد به چه معناست؟ پاسخ این است که مقصود از استنتاج میان جهان‏ها، استنتاج میان گزاره‏هاى شرطى و مقدّم آنها در آن جهان‏هاست. با این بیان، معناى اینکه جهان aبه کمک bجهان cرا نتیجه مى‏دهد دقیقا این است که اگر گزاره شرطى PQدر جهان aو گزاره Pدر جهان bصادق باشد، Qدر جهان cصادق است. (این مفهوم را مى‏توان به صورت ساده‏تر چنین کوتاه کرد: وضع مقدّم جهان aبر جهان b، جهان cرا نتیجه مى‏دهد.)

یکى از دشوارى‏ها در فهم رابطه دسترس‏پذیرى R، نشان دادن تصویرى و نمودارى آن است. چگونه مى‏توان رابطه Rabcرا نشان داد؟ در سمانتیک منطق‏هاى وجهى، رابطه دوموضعى Rabرا به سادگى، با نمودار زیر، نشان مى‏دهند:

B

a

در سمانتیک منطق S5، این رابطه را به صورت دوسویه نیز مى‏توان نشان داد:

B

a

رابطه سه‏موضعى Rabcدر منطق KR، به دلیل اینکه سه‏موضعى و متقارن است، باید به صورت مثلثى و با فلش دوسویه در هر ضلع آن نشان داده شود:

B				a
		c

امّا از آنجا که ترسیم نمودار بالا کم‏وبیش دشوار است، نمودار نامتقارن ولى ساده‏تر زیر را برمى‏گزینیم:

a
				c
b

مفهوم رابطه دسترسى چهارموضعى

مفهوم عبارت R(ab)cdاندکى پیچیده‏تر است. این عبارت مى‏گوید: جهان a، از طریق جهان b، به جهان xاى دسترسى دارد که آن جهان x، از طریق جهان c، به جهان دسترسى دارد. نمودار این رابطه چهارموضعى به صورت نزولى زیر است:

a			x
b						d
			c

این نمودار را چنین مى‏خوانیم: a، از طریق b، xاى را نتیجه مى‏دهد که آن x، از طریق c، dرا نتیجه مى‏دهد. معناى این نمودار آن است که اگر گزاره‏هاى شرطى PQو P، به ترتیب، در دو جهان aو bصادق باشند، Qدر جهان xصادق است. حال اگر خود Q یک گزاره شرطى مانند RSباشد، این گزاره شرطى در جهان xصادق است؛ حال اگر Rدر cصادق باشد، Sدر dصادق خواهد بود. بنابراین، عبارت R(ab)cdبدین معناست که اگر گزاره‏هاى شرطى P(RS)، P و R، به ترتیب، در سه جهان a، b و c صادق باشند، Sدر جهان dصادق است. (این مفهوم را مى‏توان به صورت ساده‏تر چنین کوتاه کرد: وضع مقدّم جهان aبر دو جهان bو c، جهان dرا نتیجه مى‏دهد.)

مفهوم عبارت Ra(bc)dاز این هم پیچیده‏تر است. این عبارت، بنا به تعریف، مى‏گوید: جهان b، از طریق جهان c، به جهان xاى دسترسى دارد که جهان aاز طریق آن جهان x، به جهان dدسترسى دارد. نمودار این رابطه چهارموضعى به صورت صعودى زیر است:

			a
b						d
c
			x

این نمودار را چنین مى‏خوانیم: b، از طریق c، xاى را نتیجه مى‏دهد که aاز طریق آن x، dرا نتیجه مى‏دهد. معناى این نمودار آن است که اگر گزاره‏هاى شرطى PQو P، به ترتیب، در دو جهان bو cصادق باشند، Qدر جهان xصادق است. حال اگر یک گزاره شرطى مانند QRدر جهان aصادق باشد، با وضع مقدّم بر Qدر x، نتیجه مى‏دهد که Rدر dصادق است. بنابراین، عبارت Ra(bc)d بدین معناست که اگر دو گزاره شرطى PQ، QRو گزاره P، به ترتیب، در سه جهان b، a و cصادق باشند، Rدر جهان d صادق است. (این مفهوم را مى‏توان به صورت ساده‏تر چنین کوتاه کرد: قیاس شرطى جهان bبر جهان a، جهانى را نتیجه مى‏دهد که وضع مقدّم آن بر جهان c، جهان dرا نتیجه مى‏دهد.)

اکنون که مفهوم Rهاى چهارموضعى را شرح دادیم و نمودارهاى آنها را ترسیم کردیم، مى‏توانیم Rهاى با موضع‏هاى بیشتر را به دلخواه تعریف کنیم. براى نمونه، دو تعریف از انواع Rپنج‏موضعى را در زیر مى‏آوریم:

R(ab)(cd)e =_تع $x[Rabx & Rx(cd)e] =_تع $x$y(Rabx & Rcdy & Rxye)

R((ab)c)de =_تع $x[Rabx & R(xc)de] =_تع $x$y(Rabx & Ryde & Rxcy)

نمودار اینها به صورت زیر است:

a     x                   y       b                           e                     c                   d		a                         b       x                             e c               y     d
R((ab)c)de		R(ab)(cd)e

در این دو نمودار، جهان‏هاى xو yرا «جهان‏هاى وسط»، و جهان‏هاى a، b، c، d و e را «جهان‏هاى طرف» مى‏نامیم. با ادامه این روش، مى‏توان رابطه دسترسى nرموضعى را تعریف کرد:

Ra₁a₂…a_n = _تع$x [Ra₁a₂x&Ra₂a₃… a_n] =_تع R(… ((a1a2)a3)… ) a_n a_n-1

تعریف اعتبار

«صدق» و «اعتبار» دو مفهوم سمانتیکى‏اند که گاه به جاى یکدیگر به کار مى‏روند؛ امّا بسیارى از منطق‏دانان این دو مفهوم را از هم جدا مى‏کنند و صدق را تنها در جهان‏هاى ممکن، و اعتبار را تنها در مدل‏ها و ساختارها به کار مى‏برند. صدق در جهان‏هاى ممکن براى جمله‏نشانه‏ها و جمله‏هاى مرکّب متفاوت است: صدق جمله‏نشانه‏ها از طریق تابع ارزش‏دهى تعیین مى‏شود و در یک معنا قراردادى است؛ امّا صدق فرمول‏هاى مرکّب بر اساس شرایط صدق ادات‏هاى تعیین مى‏شود و قراردادى نیست. اعتبار نیز در مدل و ساختار متفاوت است: اعتبار در مدل چندین معنا دارد؛ امّا اعتبار در ساختار تنها داراى یک معناست. اعتبار در ساختار همواره به معناى اعتبار در همه مدل‏هاى آن است؛ امّا اعتبار در مدل به چه معناست؟

«اعتبار در مدل» در سمانتیک KRبراى فرمول‏هاى شرطى و غیرشرطى، و قاعده‏هاى یک، دو، سه و چندمقدّمه‏اى متفاوت است:

«اعتبار در مدل» در سمانتیک منطق KR

اعتبار فرمول غیرشرطی:	⊨g A	=تع	⊨ A
اعتبار فرمول شرطی:	"x (⊨x A É ⊨x B)	=تع	⊨ (A → B)
اعتبار قاعدة تک مقدمه ای:	"x (⊨x A É ⊨x B)	=تع	A ⊨ B
اعتبار قاعدة دو مقدّمه ای:	"x"y"z[(Rxyz&⊨xA&⊨yB)É⊨zC]	=تع	A , B ⊨ C
اعتبار قاعدة سه مقدّمه ای:	"x"y"z"w[(R(xy)zw&⊨xA&⊨yB&⊨zC)É⊨wD]	=تع	A , B , C ⊨ D

اعتبار قاعده‏هاى چهارمقدّمه‏اى و بالاتر را نیز مى‏توان نوشت؛ امّا به کمک تعریفn R موضعى ارائه تعریفى کلّى از آن امکان‏پذیر است. البته از آنجا که ما در عمل با قاعده‏هاى چهارمقدّمه‏اى و بالاتر سروکار نخواهیم داشت، از تعریف آن خوددارى مى‏کنیم. نکته‏اى که توجه به آن ضرورت دارد این است که ادات‏هاى شرطى در تعریف اعتبار همگى «استلزام مادى» هستند و قوانین منطق کلاسیک براى آنها جارى است. توجه به این نکته در کار با این سمانتیک راهگشا خواهد بود.

آزمون اعتبار

در این بخش، براى اعتبارسنجى فرمول‏ها و صورت‏برهان‏ها در سمانتیک منطق KR، روشى را ارائه مى‏کنیم که برگرفته از هیوز و کرسول است.24 بنیان این روش بر برهانخلف استوار است؛ به این معنا که ما همواره عدم اعتبار فرمول یا صورت‏برهان مورد نظر را فرض مى‏گیریم و تلاش مى‏کنیم به تناقض برسیم. اگر در رسیدن به تناقض کامیاب بودیم، نادرستى فرض را نشان داده و اعتبار را نتیجه مى‏گیریم؛ امّا اگر نتوانیم به تناقض برسیم، تلاش مى‏کنیم یک مدل نقض براى فرمول یا صورت‏برهان مورد آزمون بیابیم. اگر چنین مدلى را یافتیم، عدم اعتبار را نتیجه مى‏گیریم؛ امّا اگر چنین مدلى یافت نشد، دیگر نمى‏توان اعتبار یا عدم اعتبار را نتیجه گرفت.

آزمون اعتبار در منطق کلاسیک جمله‏ها

آزمون اعتبار در منطق کلاسیک به این صورت است که براى برهان خلف، به ادات اصلى مقدّمه‏ها ارزش1 و به ادات اصلى نتیجه‏ها ارزش 0 مى‏دهیم و به کمک شرایط صدق، تلاش مى‏کنیم تا ارزش ادات فرعى و جمله‏نشانه‏ها را به دست آوریم. (براى آزمون فرمول‏ها، به ادات اصلى آنها ارزش 0 مى‏دهیم.) در اینجا، مثالى ذکر مى‏کنیم که نبوى در کتاب خود شرح داده است؛25 برآنیم تا اعتبار صورت‏برهان زیر را در منطق کلاسیک بسنجیم:

P É Q

,

R É S

,

P Ú S

⊢

Q Ú R

در آغاز، مقدّمه‏ها را صادق فرض مى‏کنیم و نتیجه را کاذب مى‏گیریم:

	P É Q	,	R É S	,	P Ú S	⊢	Q Ú R
	1		1		1		0

بنا به جدول ارزش فاصل، کذب نتیجه مستلزم کذب طرفین آن ( Qو R) است. بنابراین، ارزش 0 را براى همه موارد Qو Rوارد مى‏کنیم:

P É Q	,	R É S	,	P Ú S	⊢	Q Ú R
1 0		0 1		1		0 0 0

امّا صدق ترکیب شرطى (مادّى) در مقدّمه نخست و کذب تالى آن، بنا به جدول ارزش استلزام مادّى، مستلزم کذب مقدّم آن (P) است. بنابراین، ارزش 0 را براى همه موارد Pوارد مى‏کنیم:

	P É Q	,	R É S	,	P Ú S	⊢	Q Ú R
	0 1 0		0 1		0 1		0 0 0

امّا صدق ترکیب فصلى در مقدّمه سوم و کذب مقدّم آن، بنا به جدول ارزش فاصل، مستلزم صدق تالى آن (S) است. بنابراین، ارزش 1 را براى همه موارد Sوارد مى‏کنیم:

	P É Q	,	R É S	,	P Ú S	⊢	Q Ú R
	0 1 0		0 1 1		0 1 1		0 0 0

مى‏بینیم که با این ارزش‏گذارى‏ها، همه ادات‏ها و جمله‏نشانه‏ها ارزش‏دهى شدند؛ بدون اینکه تناقضى پدید آید. این امر نشان مى‏دهد که فرض نخستین، یعنى فرض صدق مقدّمه‏ها و کذب نتیجه، مستلزم هیچ تناقضى نیست و ممکن است مقدّمه‏ها صادق و نتیجه کاذب باشند؛ بنابراین، صورت‏برهان بالا نامعتبر است. در صورت عدم اعتبار، مى‏توان مثال نقض یا مدل نقض ارائه کرد. براى این کار، ارزش جمله‏نشانه‏ها را از آزمون به پایان رسیده گردهم آورده و جداگانه مى‏نویسیم:

P	Q	R	S
0	0	0	1

این مدل نقض، سطرى از جدول ارزش را نشان مى‏دهد که در آن، مقدّمه‏هاى صورت‏برهان بالا صادق‏اند و نتیجه آن کاذب است.

اکنون، براى صورت‏برهان معتبر در منطق کلاسیک، مثالى مى‏آوریم و آن را مى‏آزماییم:

P É Q

,

R É S

,

P Ú R

⊢

Q Ú S

در آغاز، مقدّمه‏ها را صادق فرض مى‏کنیم و نتیجه را کاذب مى‏گیریم:

	P É Q	,	R É S	,	P Ú R	⊢	Q Ú S
	1		1		1		0

بنابه جدول ارزش فاصل، کذب نتیجه مستلزم کذب طرفین آن ( Qو S) است. بنابراین، ارزش 0 را براى این دو متغیّر وارد مى‏کنیم:

	P É Q	,	R É S	,	P Ú R	⊢	Q Ú S
	1 0		1 0		1		0 0 0

امّا صدق ترکیب شرطى (مادّى) در دو مقدّمه نخست و کذب تالى آنها، بنا به جدول ارزش استلزام مادّى، مستلزم کذب مقدّم آنها ( Pو R) است. بنابراین، ارزش 0را براى Pو Rوارد مى‏کنیم:

	P É Q	,	R É S	,	P Ú R	⊢	Q Ú S
	0 1 0		0 1 0		0 1 0		0 0 0

امّا صدق ترکیب فصلى در مقدّمه سوم و کذب مقدّم و تالى آن، بنا به جدول ارزش فاصل، ممکن نیست و این تناقض است. این تناقض را به این صورت مى‏توان آشکارتر ساخت که بگوییم کذب مقدّم و تالى ترکیب فصلى در مقدّمه سوم مستلزم کذب آن ترکیب فصلى است:

	P É Q	,	R É S	,	P Ú R	⊢	Q Ú S
	0 1 0		0 1 0		0 01 0		0 0 0

مى‏بینیم که با این ارزش‏گذارى‏ها، به تناقض مى‏رسیم. این امر نشان مى‏دهد که فرض نخستین، یعنى فرض صدق مقدّمه‏ها و کذب نتیجه، باطل است؛ ممکن نیست مقدّمه‏ها صادق باشند و نتیجه کاذب باشد. بنابراین، صورت‏برهان بالا معتبر است.26

قاعده‏هاى آزمون براى KR

قاعده‏هاى آزمون اعتبار را براى منطق کلاسیک، به کوتاهى، بیان کردیم. همه این قاعده‏ها براى منطق KRنیز برقرارند، مگر در مورد قاعده‏هاى دو یا چندمقدّمه‏اى. از آنجا که شرطى ربطى و قاعده‏هاى دو یا چندمقدّمه‏اى در منطق KRشرایط صدق و تعریف اعتبار دیگرى دارند، آزمون اعتبار براى این دو منطق از این دو جهت متمایز مى‏شود. شرایط صدق ادات شرطى ربطى و تعریف اعتبار براى قاعده‏هاى دومقدّمه‏اى را قبلاً آوردیم؛ بنابراین، تنها لازم است قاعده‏هاى آزمون براى شرطى ربطى را بیان کنیم. امّا اینک، براى یادآورى، همه را تکرار مى‏کنیم:

شرایط صدق شرطى در سمانتیک منطق KR

در جهان نرمال g :	"x (⊨x A É ⊨x B)	ات ا	⊨g (A → B)
در جهان غیرنرمال w :	"x"y [Rwxy É (⊨x A É ⊨y B)]	ات ا	⊨W (A → B)

بنا به شرایط صدق ادات شرطى، مى‏توان شرایط کذب آن را نیز به دست آورد:

«شرایط کذب» شرطى

کذب در جهان نرمال g :	$x (⊨x A & ⊭x B)	ات ا	⊭g (A → B)
کذب در جهان غیرنرمال w :	$x$y (Rwxy & ⊨x A & ⊭y B)	ات ا	⊭W (A → B)

«اعتبار در مدل» در سمانتیک منطق KR

اعتبار فرمول غیرشرطی:	⊨g A	=تع	⊨ A
اعتبار فرمول شرطی:	"x (⊨x A É ⊨x B)	=تع	⊨ (A → B)
اعتبار قاعدة تک مقدمه ای:	"x (⊨x A É ⊨x B)	=تع	A ⊨ B
اعتبار قاعدة دو مقدمه ای:	"x"y"z[(Rxyz&⊨xA&⊨yB)É⊨zC]	=تع	A , B ⊨ C

چنان‏که دیده مى‏شود، اعتبار براى فرمول‏هاى شرطى و قاعده‏هاى تک‏مقدّمه‏اى یکسان است.

از «شرایط صدق و کذب» شرطى ربطى، مى‏توان قاعده‏هایى براى «آزمون اعتبار» شرطى به دست آورد.

«آزمون اعتبار» براى ادات شرطى ربطى

A → B در جهان نرمال g:

1. اگر کاذب باشد: أ. یک و فقط یک جهان جدید می سازیم و ب. در آن جهان، به A ارزش ‘1’ و به B ارزش ‘0’ می دهیم؛ 2. اما اگر صادق باشد: أ. جهان جدید نمی سازیم؛ بلکه ب. در هر جهانی که A ارزش ‘1’ دارد به B نیز ارزش ‘1’ می دهیم؛ و ج. در هر جهانی که B ارزش ‘0’ دارد به A نیز ارزش ‘0’ می دهیم.

A → B در جهان غیرنرمال w :

3. اگر کاذب باشد: أ. دو و فقط دو جهان جدید مانند x و y می سازیم؛ ب. رابطة Rwxy را برقرار می سازیم؛ ج. به A در x ارزش ‘1’ و به B در y ارزش ‘0’ می دهیم؛ 4. اما اگر صادق باشد: أ. جهان جدید نمی سازیم؛ بلکه در هر دو جهانی مانند x و y که رابطة Rwxy برقرار است: ب. اگر A در x ارزش ‘1’ داشته باشد به B در y نیز ارزش ‘1’ می دهیم؛ ج. اگر B در y ارزش ‘0’ داشته باشد به A در x نیز ارزش ‘0’ می دهیم.

آزمون اعتبار براى چند فرمول و قاعده

اکنون بایسته است آزمونى را که طرّاحى کرده‏ایم، در چند مثال، به کار بگیریم تا توانمندى‏هاى آن آشکار گردد:

1) فرمول M₃

در آغاز، فرمول M3را از قضایاى کلاسیک در نظر بگیرید:

M₃ PÚ(P→Q)

از آنجا که ادات اصلى این فرمول شرطى ربطى نیست، براى سنجش اعتبار آن، باید آن را در جهان نرمال gکاذب بگیریم:

PÚ(P→Q)	g
0

بنا به جدول ارزش فاصل، داریم:

PÚ(P→Q)	g
0 0 0

بنا به قاعده آزمون، کذب شرطى در جهان نرمال gیک جهان جدید تولید مى‏کند که مقدّم شرطى در آن صادق، و تالى شرطى در آن کاذب است:

P Q	x
1 0

آشکار است که دو جهان gو xنمى‏توانند یکى باشند؛ زیرا Pدر xصادق، و در g کاذب است. از اینجا معلوم مى‏شود که اگر تنها یک جهان داشتیم، کذب فرمول M3ما را به تناقض مى‏رسانْد؛ امّا چون دو جهان داریم، به تناقض نمى‏رسیم. نرسیدن به تناقض نشان مى‏دهد که فرمول M3در منطق KRنامعتبر است؛ امّا براى عدم اعتبار باید یک مدل نقض ارائه کنیم. در هر مدل، همه جمله‏نشانه‏ها باید در همه جهان‏ها ارزش گرفته باشند؛ امّا ارزش Qدر جهان gهنوز به دست نیامده است. از آنجا که ارزش Qدر جهان gتأثیرى بر ارزش فرمول در gو در xنمى‏گذارد، مى‏توانیم به Qارزش صدق یا ارزش کذب بدهیم. بر این اساس، دو مدل نقض ارائه مى‏کنیم:

M = <W, g, R, V> W = {g,x} R = {ggg, xxx, gxx, xgx, xxg} V P Q g 0 1 x 1 0

M = <W, g, R, V> W = {g,x} R = {ggg, xxx, gxx, xgx, xxg} V P Q g 0 0 x 1 0

از آنجا که ارزش سایر جمله‏نشانه‏ها (مانند S، Rو...) در این دو مدلْ تأثیرى ندارد، مى‏توانیم همه آنها را در هر دو جهان صادق بگیریم یا همه را در هر دو جهان کاذب بگیریم یا برخى را صادق و برخى را کاذب بگیریم. این امر نشان مى‏دهد که براى فرمول M3، نه دو مدل نقض، بلکه بى‏نهایت مدل نقض داریم! در حقیقت، دو مدل بالا، مدل‏هاى ناقصى هستند که به بى‏نهایت روش مى‏توانند تکمیل شوند. ما از نوشتن مدل‏هاى نقض به صورت کامل همواره پرهیز مى‏کنیم.

2) پارادوکس انفصال

اکنون به پارادوکس انفصال از قضایاى کلاسیک مى‏پردازیم:

(P→Q)Ú(Q→P) پارادوکس انفصال

براى سنجش اعتبار این فرمول، باید آن را در جهان نرمال gکاذب بگیریم (زیرا ادات اصلى آن شرطى ربطى نیست):

(P→Q)Ú(Q→P)	g
0

بنا به جدول ارزش فاصل، داریم:

(P→Q)Ú(Q→P)	g
0 0 0

بنا به قاعده آزمون، کذب شرطى در جهان نرمال gجهان تازه‏اى تولید مى‏کند که مقدّم شرطى در آن صادق، و تالى شرطى در آن کاذب است. امّا در اینجا، دو شرطى کاذب داریم؛ بنابراین، دو جهان تازه ساخته مى‏شود:

P Q	y	P Q	x
0 1		1 0

آشکار است که دو جهان xو yنمى‏توانند یکى باشند؛ زیرا ارزش Pو Qدر آنها متعارض است. از اینجا معلوم مى‏شود که اگر تنها یک جهان داشتیم، کذب پارادوکس انفصال ما را به تناقض مى‏رسانْد؛ امّا چون دست‏کم دو جهان متمایز داریم، به تناقض نمى‏رسیم. براى عدم اعتبار پارادوکس انفصال باید یک مدل نقض ارائه کنیم. این مدل مى‏تواند سه جهان g، x و yرا داشته باشد که ارزش Pو Qدر جهان gدلخواه است. از این‏رو، چهار مدل نقض براى پارادوکس انفصال به دست مى‏آید.

از آنجا که رابطه دسترس‏پذیرى در مدل سه‏جهانى عضوهاى بسیارى دارد و نوشتن آن طولانى مى‏شود، مناسب است که ببینیم آیا مى‏توان مدل بالا را دوجهانى ساخت؟ از آنجا که ارزش‏هاى موجود در جهان gتعارضى با ارزش‏هاى موجود در جهان‏هاى xو y ندارد، به نظر مى‏رسد بتوان یکى از آن دو را با gاین‏همان گرفت. ما جهان gرا با y این‏همان مى‏گیریم و به مدل زیر مى‏رسیم:

M = <W, g, R, V> W = {g,x} R = {ggg, xxx, gxx, xgx, xxg} V P Q g 0 1 x 1 0

3) قاعده استلزام

اکنون به قاعده استلزام از قاعده‏هاى یک‏مقدّمه‏اى مى‏پردازیم:

استلزام	\P → Q
	\~P Ú Q

ابتدا، جهت بالا به پایین را بررسى مى‏کنیم. براى سنجش اعتبار قاعده‏هاى یک‏مقدّمه‏اى، باید مقدّمه را در یک جهان صادق، و نتیجه را در همان جهان کاذب بگیریم:

~P Ú Q	P→Q	x
0	1

بنا به جدول ارزش فاصل و ناقض، داریم:

~P Ú Q	P→Q	X
01 0 0	1 1 0

امّا بنا به شرط انعکاس Rxxxرا داریم؛ و چون شرطى PQدر x(موضع نخست R) و مقدّم آن در x(موضع دوم R) صادق هستند، بنا به «شرط صدق» شرطى در جهان‏هاى غیرنرمال، Qباید در x(موضع سوم R) صادق باشد:

~P Ú Q	P→Q	x
01 0 0	1 1 10

این تناقض نشان مى‏دهد که جهت بالا به پایین قاعده استلزام معتبر است (زیرا فرض عدم اعتبار آن ما را به تناقض رساند.) توجه شود که ما مى‏توانستیم رابطه Rxxx را به صورت زیر نیز نشان دهیم:

			~P Ú Q	P→Q	x
X	P Q		01 0 0	1
	1 10			PQ	x
				10

در این نمودار، چون شرطى و مقدّم آن در دو جهان سمت چپ صادق هستند، ناگزیر تالى در جهان سوم (در اینجا، یعنى جهان سمت راست که همان xاست) صادق خواهد بود و این مسئله ما را به تناقض مى‏رساند. با اینکه ترسیم چنین نمودارى چندان دشوار نیست، ترجیح مى‏دهیم از نمودار ساده‏تر پیشین استفاده کنیم.

امّا براى سنجش اعتبار جهت پایین به بالاى قاعده «استلزام»، باید مقدّمه را در یک جهان صادق، و نتیجه را در همان جهان کاذب بگیریم:

P→Q	~P Ú Q	x
0	1

بنا به قاعده «آزمون اعتبار»، کذب شرطى در یک جهان غیرنرمالْ دو جهان جدید مانند yو zپدید مى‏آورد که اوّلاً، Rxyzبرقرار است؛ ثانیا، مقدّم آن شرطى در yصادق، و تالى آن در zکاذب است:

			P→Q	~P Ú Q	x
Z	Q		0	1
	0			P	y
				1

آشکار است که سه جهان x، y، و zنمى‏توانند یکى باشند؛ زیرا در این صورت، ترکیب فصلى داراى دو ارزش متناقض مى‏شود. از اینجا معلوم مى‏شود که اگر تنها یک جهان داشتیم، نمى‏توانستیم عدم اعتبار قاعده استلزام (از جهت پایین به بالا) را نشان دهیم. با متمایز گرفتن سه جهان بالا، مى‏توانیم یک مدل نقض چهارجهانى (سه جهان موجود در نمودار به همراه جهان نرمال g) براى این قاعده ارائه کنیم؛ امّا بهتر است مدل نقض کوچک‏ترى بسازیم. براى ارائه مدل نقض دوجهانى، باید یکى از x، y، و zرا gبگیریم. هرکدام از این سه را که gبگیریم، دو جهان دیگر یکى مى‏شوند. ما در اینجا، yرا g مى‏گیریم و zرا در xادغام، و ارزش فرمول‏ها را بر اساس آن محاسبه مى‏کنیم:

P→Q	~P Ú Q	x				P	g
1 0 0	10 1 0					1

چون ارزش Qدر gنامتعیّن است و هر ارزشى براى آن در نظر بگیریم ایرادى پیش نمى‏آید، ارزش Qرا در آن صادق مى‏گیریم و به مدل نقض زیر مى‏رسیم:

M = <W, g, R, V> W = {g,x} R = {ggg, xxx, gxx, xgx, xxg} V P Q g 1 1 x 0 0

4) عکس نقیض

اکنون به قاعده «عکس نقیض» از قاعده‏هاى یک‏مقدّمه‏اى مى‏پردازیم:

عکس نقیض	\P → Q
	\~Q → ~P

براى سنجش اعتبار این قاعده، باید مقدّمه را در یک جهان صادق، و نتیجه را در همان جهان کاذب بگیریم:

~Q → ~P	P → Q	x
0	1

بنا به قاعده «آزمون اعتبار»، کذب شرطى در یک جهان غیرنرمالْ دو جهان جدید مانند yو zپدید مى‏آورد که اوّلاً، Rxyzبرقرار است؛ ثانیا، مقدّم آن شرطى در yصادق، و تالى آن در zکاذب است:

			~Q → ~P	P → Q	x
Z	~P		0	1
	0			~Q	y
				1

اکنون، بنا به جدول ارزش ناقض، ارزش Qدر yو ارزش Pدر zبه دست مى‏آید:

			~Q → ~P	P → Q	x
Z	~P		0	1
	0			~Q	y
				1

مى‏بینیم که یک شرطى (PQ) در xصادق، و مقدّم آن (P) در zصادق است و داریم: Rxyz. بنابراین، تالى (Q) در yصادق مى‏شود و به تناقض مى‏رسیم:

			~Q → ~P	P → Q	x
Z	~P		0	1
	01			~Q	y
				1 10

این موضوع نشان مى‏دهد که قاعده عکس نقیض در KR معتبر است. توجه شود که در اینجا، از شرط تقارن استفاده کرده، و از Rxyzبه Rxzyرسیده‏ایم؛ همچنین، با وضع مقدّم شرطى در xبا مقدّم آن در zبه صدق تالى در yرسیده‏ایم. ما همواره از شرط تقارن به صورت غیرصریح استفاده مى‏کنیم؛ از این‏رو، در ادامه، دیگر به موارد کاربرد آن اشاره نخواهیم کرد.

5) پخش شرطى

یکى دیگر از قاعده‏هاى یک‏مقدّمه‏اى از دسته سوم، قاعده پخش شرطى است که یکى از صورت‏هاى چهارگانه آن را در اینجا مورد آزمون قرار مى‏دهیم:

پخش شرطی (روی فاصل در تالی)	\P → (Q Ú R)
	\ (P → Q) Ú (P → R)

ابتدا به جهتِ «بالا به پایینِ» این قاعده مى‏پردازیم. براى سنجش اعتبار این جهت، باید مقدّمه را در یک جهان صادق، و نتیجه را در همان جهان کاذب بگیریم:

(P → Q) Ú (P → R)	P → (Q Ú R)	x
0	1

بنا به جدول ارزش فاصل، داریم:

(P → Q) Ú (P → R)	P → (Q Ú R)	x
0 0 0	1

بنا به قاعده «آزمون اعتبار»، کذب شرطى PQدر یک جهان غیرنرمالْ دو جهان جدید مانند yو zپدید مى‏آورد که اوّلاً، Rxyzبرقرار است؛ ثانیا، مقدّم آن شرطى در y صادق، و تالى آن در zکاذب است:

			(P → Q) Ú (P → R)	P → (Q Ú R)	x
Z	Q		0 0 0	1
	0		P		y
			1

امّا P→Rنیز در xکاذب است و این، دو جهان جدید مانند vو wرا پدید مى‏آورد:

			(P → Q) Ú (P → R)	P → (Q Ú R)	x
W	R		0 0 0	1
	0		P		v
			1

از صدق شرطى P→ (QR)در x، و صدق Pدر yو v، نتیجه مى‏شود که QRدر zو w صادق است:

W	Q Ú R				z	Q Ú R
	1 0					0 1

از ارزش‏هاى به دست آمده در zو w، مى‏توان نتیجه گرفت که Rو Q، به ترتیب، در z و wصادق هستند:

W	Q Ú R				z	Q Ú R
	1 1 0					0 1 1

ارزش‏هاى متعارض در zو wنشان مى‏دهد که این دو جهان نمى‏توانند یکى باشند.

مى‏بینیم که به تناقض نرسیده‏ایم؛ امّا همه ادات و جمله‏نشانه‏ها ارزش نگرفته‏اند. اگر همه جمله‏نشانه‏هاى بدون ارزش را صادق در نظر بگیریم، تنها ادات بدون ارزش، یعنى ادات فاصل در مقدّمه نیز ارزش مى‏گیرد و همچنان به تناقض نمى‏رسیم. آیا مى‏توانیم بگوییم اکنون استدلال نامعتبر است و یک مدل شش‏جهانى (پنج جهان نمودار به همراه جهان g) براى آن ارائه کرده‏ایم؟ خیر، زیرا ارائه مدلْ مشروط به این است که رابطه دسترس‏پذیرى را میان همه این شش‏جهان، بر اساس شرایط ساختار، محاسبه کرده باشیم؛ امّا میان شش جهان 3⁶ رابطه دسترسى قابل تصوّر است، و ما محاسبه نکرده‏ایم که کدام‏یک از اینها در مدل شش‏جهانى ما برقرار است و کدام‏یک برقرار نیست. بنابراین، گریزى نیست از اینکه مدل بالا را به مدلى کوچک‏تر و عملاً قابل محاسبه فروبکاهیم.

اگر x، v، و wرا با gاین‏همان بگیریم، yو zنیز این‏همان مى‏شوند و شش جهان گفته‏شده به دو جهان gو xفرومى‏کاهند:

M = <W, g, R, V> W = {g,x} R = {ggg, xxx, gxx, xgx, xxg} V P Q R g 1 1 0 x 1 0 1

اکنون، جهت پایین به بالاى قاعده «پخش شرطى» را که در منطق KRمعتبر است بررسى مى‏کنیم. در یک جهان، مقدّمه را صادق، و نتیجه را کاذب مى‏گیریم:

P → (Q Ú R)	(P → Q) Ú (P → R)	x
0	1

بنا به قاعده آزمون و شرط کذب شرطى و فاصل، داریم:

			P → (Q Ú R)	(P → Q) Ú (P → R)	x
Z	Q Ú R		0	1
	0 0 0			P	y
				1

در اینجا به تناقضى نرسیده‏ایم. آیا مى‏توانیم بگوییم استدلال نامعتبر است؟ خیر؛ زیرا تنها وقتى مى‏توانیم بگوییم استدلال نامعتبر است که همه ادات‏ها و جمله‏نشانه‏ها در نمودار ارزش معیّنى گرفته باشند. ادات‏هاى شرطى مقدّمه (یعنى P→Qو P→R) در جهان xهیچ ارزشى نگرفته‏اند؛ بنابراین، نمى‏توانیم بگوییم استدلال نامعتبر است. امّا ارزش این دو ادات شرطى در xچیست؟ صدق ترکیب فصلى میان این دو ادات، نشان مى‏دهد که دست‏کم، یکى از آن دو صادق است؛ امّا کدام؟

ما در اینجا، دو راه داریم: راه اوّل آن است که این نمودار را یک بار با فرض صدق P→Q، و یک بار با فرض صدق P→Rپیش ببریم. اگر هر دو فرضْ ما را به تناقض برساند، استدلال معتبر است؛ امّا اگر دست‏کم یکى از دو فرضْ ما را به تناقض نرساند، و همه ادات‏ها و جمله‏نشانه‏ها ارزش‏دهى شوند، آن‏گاه استدلال نامعتبر است. این روش بسیار طولانى است و تا حد ممکن باید از آن پرهیز کرد (در برخى مثال‏ها، از این راه گریزى نیست.) راه دوم این است که از قاعده رفع تالى استفاده شود. ما این راه را پى مى‏گیریم:

از آنجا که رابطه Rxyzرا داریم، اگر P→Qدر x، و Pدر yصادق باشد، باید Qدر z صادق باشد؛ امّا Qدر zصادق نیست. پس، P→Qدر xصادق نیست. با همین استدلال، مى‏توان نشان داد که P→Rنیز در xصادق‏نیست. در این‏صورت، در x، به تناقض مى‏رسیم:

			P → (Q Ú R)	(P → Q) Ú (P → R)	x
Z	Q Ú R		0	0 10 0
	0 0 0			P	y
				1

بنابراین، قاعده «پخش شرطى» در جهت «پایین به بالا» معتبر است.

6) قاعده جایگشت

اکنون، به مثال‏هاى دشوارتر مى‏پردازیم. قاعده جایگشت از قاعده‏هاى یک‏مقدّمه‏اى است:

جایگشت	\ P→(Q→R)
	\ Q→(P→R)

این قاعده سورهاى تودرتو دارد که اثبات اعتبار آنها، دست‏کم به دو رابطه دسترسى نیازمند است. براى اثبات قاعده جایگشت، مقدّمه‏ونتیجه‏آن‏رادریک‏جهان کاذب مى‏گیریم:

x	P→(Q→R) Q→(P→R)
	1 0

چون Q→ (P→R)در xکاذب است، پس دو جهان yو zوجود دارند که Rxyzبرقرار است؛ Qدر yصادق، و P→Rدر zکاذب است:

x	P→(Q→R Q→(P→R)
	1 0		P→R	z
y	Q		0
	1

امّا به دلیل آنکه PRدر zکاذب است، دو جهان tو uوجود دارند که Rztuبرقرار است و Pدر tصادق، و Rدر uکاذب است:

x	P→(Q→R) Q→(P→R)
	1 0		P→R	z
y	Q		0		R	u
	1		P	t	0
			1

دوباره با وضعیتى روبه‏رو شده‏ایم که نه به تناقض رسیده‏ایم و نه همه ادات‏ها در همه جهان‏ها ارزش‏دهى شده‏اند. البته P→ (Q→R)در xصادق مى‏باشد و مقدّم آن Pدر t صادق است؛ امّا میان xو t، رابطه دسترس‏پذیرى مشاهده نمى‏شود تا از آن نتیجه‏اى را به دست آوریم. شاید به نظر برسد که مى‏توان با ارزش‏دهى به جمله‏نشانه‏ها در جهان‏هایى که ارزش ندارند کار را به پایان رساند و با نیافتن تناقض، حکم به عدم اعتبار قاعده جایگشت صادر کرد؛ امّا چنین حکمى بسیار شتاب‏زده است، چون تعداد جهان‏ها بسیار است و ما شرایط ساختار را که شامل انعکاس، تقارن، و تعدّى است، در میان این جهان‏ها، بررسى نکرده‏ایم. این احتمال هست که با بررسى این شرایط، تناقضى یافت شود. اتّفاقا، چنین است؛ بررسى شرایط ساختار ما را به تناقض مى‏رساند. ما در ادامه، مراحل کار را نشان مى‏دهیم:

در نمودار بالا، دو رابطه دسترسى ( Rxyzو Rztu) مشاهده مى‏شوند. این دو رابطه را به صورت ساده‏تر: R(xy)tuمى‏توان نوشت. بنا به شرایط جابه‏جایى و شرکت‏پذیرى (یا تقارن و تعدّى)، مى‏توان به رابطه R(xt)yuرسید.27 امّا این رابطه، بنا به تعریف، برابر است با $w(Rxtw & Rwyu) نمودار این تعریف به شکل زیر است:

x
				w
t						u
				y

اکنون ‏فرمول‏هاى ‏ارزش‏ دهى ‏شده ‏در نمودار پیشین ‏را به ‏جهان‏هاى ‏نمودار جدید منتقل‏مى‏کنیم:

x	P→(Q→R) Q→(P→R)
	1 0			w
t	P				R	u
	1		Q	y	0
			1

از آنجا که رابطه Rxtwرا داریم، و P(QR)در xصادق مى‏باشد و Pدر tصادق است، بنابراین QRدر wصادق است:

x	P→(Q→R) Q→(P→R)
	1 0		Q→R	w
t	P		1		R	u
	1		Q	y	0
			1

از آنجا که رابطه Rwyuرا داریم، و QRدر wصادق مى‏باشد و Qدر yصادق است، بنابراین Rدر uصادق خواهد شد:

x	P→(Q→R) Q→(P→R)
	1 0		Q→R	w
t	P		1		R	u
	1		Q	y	01
			1

همان‏طور که مى‏بینیم، در جهان u، به تناقض مى‏رسیم؛ بنابراین، جایگشت در منطق KRمعتبر است. پیچیدگى این مثال در آن است که در نگاه نخست، تناقضى در نمودارهاى نخستین دیده نمى‏شود و باید از رابطه R(xy)tu، به رابطه R(xt)yuرسید.

در اینجا، دو نکته بسیار باریک هست که اگر به آنها توجه شود، این رابطه‏ها آسان‏تر یافته و اثبات مى‏شوند:

1) انتقال میان این دو رابطه، جزء شرایط ساختار نیست؛ باید امکان این انتقال اثبات شود (اثبات اینکه چنین انتقالى امکان‏پذیر است، با نام‏هایى چون «انتقال» و «تعدّى»، دشوار مى‏نماید؛ امّا با نام‏هایى چون «جابه‏جایى» و «شرکت‏پذیرى»، بسیار آسان‏تر است.)

2) از کجا باید مى‏دانستیم که لازم است، از رابطه نخست، به رابطه دوم رسید؟ میان جهان‏هاى x، y، t، و u، مى‏توان رابطه‏هاى بسیارى تصوّر کرد؛ از کجا باید مى‏دانستیم که این رابطه خاص (و نه دیگر رابطه‏ها) برایمان سودمند است؟ در پاسخ به این پرسش بسیار مهم، باید به نمودار پیش از تغییر نگریست:

x	P→(Q→R) Q→(P→R)
	1 0		P→R	z
y	Q		0		R	u
	1		P	t	0
			1

رابطه R(xt)yuاز این نمودار خوانده مى‏شود و شرطى تودرتوى P→ (Q→R)در x صادق است؛ دو مقدّم آن ( Pو Q)، به ترتیب، در yو tصادق هستند و تالى آن (R) در u کاذب است. پیشتر، وقتى مفهوم رابطه چهارموضعى را بیان مى‏کردیم، گفتیم که رابطه چهارموضعى مانند R(xt)yuبه این معناست که اگر یک شرطى تودرتو در جهان اوّل آن صادق باشد و دو مقدّم آن در دو جهان بعدى صادق باشند، آن‏گاه تالى تالى آن شرطى در جهان چهارم صادق خواهد بود. در نمودار بالا، مى‏بینیم که شرطى تودرتوى P→ (Q→R)در xصادق است و دو مقدّم آن ( Pو Q)، به ترتیب، در yو t(و نه در tو y) صادق هستند. اکنون، اگر رابطه چهارموضعى R(xt)yuرا داشته باشیم، باید نتیجه بگیریم که Rدر uصادق است. این امر نشان مى‏دهد که اگر بتوانیم رابطه R(xt)yuرا اثبات کنیم، مى‏توانیم به تناقض برسیم. با این شگرد، در بسیارى از موارد، مى‏توان حدس زد که چه رابطه‏هایى مى‏تواند ما را به تناقض برساند.

نتیجه‏گیرى

آزمونى که در این مقاله براى اعتبارسنجى در منطق KRارائه کردیم، با اصلاحاتى، برگرفته از آزمون اعتبارى است که هیوز و کرسوِل در سال 1996 به دست داده بودند. مقایسه‏اى میان این دو «آزمون اعتبار» نشان مى‏دهد که به رغم همه تلاش‏هایى که با هدف ساده‏سازى آزمون اعتبار براى منطق KRانجام داده‏ایم، این آزمون بسیار دشوارتر از آزمون مشابه براى منطق موجّهات است. از آنجا که سمانتیک منطق ربط R(منطقى که استنتاج گزاره‏هاى دلخواه از تناقض را ممنوع مى‏داند) پیچیده‏تر از سمانتیک منطق KR است، مى‏توان نشان داد که منطق ربط Rآزمون اعتبار دشوارترى دارد.

از اینجا، مى‏توان پى برد که اگر شرطى لزومى از منطق سینوى را بخواهیم با «استلزام ربطى» به جاى «استلزام اکید» تحلیل کنیم، با نظام‏هاى بسیار پیچیده و دشوارى روبه‏رو مى‏شویم که تعیین اعتبار و عدم اعتبار استدلال‏ها در این نظام‏ها به مراتب پیچیده‏تر و دشوارتر است. از آنجا که «استلزام اکید» گزینه مناسبى براى تحلیل «شرطى لزومى» نیست و پارادوکس‏هاى بسیارى در تحلیل «شرطى لزومى» مى‏آفریند، نتیجه مى‏گیریم که یک نظام کامل و بى‏عیب و نقص براى «شرطى لزومى» نظامى بسیار پیچیده و دشوار است و این هزینه‏اى است که باید براى استفاده از توانمندى‏هاى فوق‏العاده شرطى لزومى پرداخت.

منابع

ـ اندرتون، هربرت بى.، آشنایى با منطق ریاضى، ترجمه غلامرضا برادران خسروشاهى و محمّد رجبى طرخورانى، تهران، نشر دانشگاهى، 1366.

ـ جفرى، ریچارد، قلمرو و مرزهاى منطق صورى، ترجمه پرویز پیر، تهران، علمى و فرهنگى، 1366.

ـ رید، استیون، فلسفه منطق ربط، ترجمه اسداللّه فلاحى، قم، دانشگاه مفید، 1385.

ـ فلاحى، اسداللّه، «شرطى لزومى در منطق جدید»، تأملات فلسفى، ش 1، بهار 1388، ص 7ـ46.

ـ ـــــ ، «سلب لزوم و لزوم سلب در شرطى سالبه کلیه»، معرفت فلسفى، ش 25، پاییز 1388، ص 233ـ260.

ـ ـــــ ، «شرطى اتفاقى در منطق جدید»، پژوهش‏هاى فلسفى، ش 214، پاییز و زمستان 1388، ص 105ـ133.

ـ ـــــ ، «لزومى حقیقى و لزومى لفظى»، فلسفه و کلام اسلامى (مقالات و بررسیها)، دفتر 1، پاییز و زمستان 1388، ص 107ـ129.

ـ ـــــ ، نقض بولى و نقض دمورگان در منطق ربط و منطق کلاسیک، رساله دکترى، تهران، دانشگاه تربیت مدرس، 1386.

ـ ـــــ ، منطق موجّه، پایان‏نامه کارشناسى ارشد، قم، دانشگاه مفید، 1380.

ـ نبوى، لطف‏اللّه، مبانى منطق جدید، تهران، سمت، 1377.

ـ ـــــ ، منطق ربط، تهران، دانشگاه تربیت مدرس، 1389.

ـ هاک، سوزان، فلسفه منطق، ترجمه سید محمّدعلى حجتى، قم، کتاب طه، 1382.

- Anderson, A. R., & N. Belnap & M. Dunn, Entailment: the Logic of Relevance and Necessity, Princeton, Princeton University Press, 1975, v. I.

- Anderson, A. R., & N. Belnap, Entailment: the Logic of Relevance and Necessity, Princeton, Princeton University Press, 1992, v. II.

- Hughes, E. G. & M. Cresswell, A New Introduction to Modal Logic, London, Routledge, 1975.

- Priest, Graham, & Sylvan, Richard, "Simplified Semantics for Basic Relevant Logics", Jurnal of Philosophical Logic, v. 21, 1992, p. 217-232.

- _____ , Introduction to Non-Classical Logic, Cambridge, Cambridge University Press, 2001.

- Read, Stephen, Relevant Logic, Oxford, Basil Blackwell, 1988.

---

* استادیار مؤسسه پژوهشى حکمت و فلسفه ایران. دریافت: 29/1/90 ـ پذیرش: 14/7/90.

falahiy@yahoo.com

---

1ـ درباره شرطى‏هاى لزومى و اتّفاقى و تحلیل آنها در منطق جدید، مى‏توان به مقالات زیر مراجعه کرد: اسداللّه فلاحى، «شرطى لزومى در منطق جدید»، تأمّلات فلسفى، ش 1، ص 7ـ46؛ همو، «شرطى اتّفاقى در منطق جدید»، پژوهش‏هاى فلسفى، ش 214، ص 105ـ133.

2ـ بحث فلسفى از انواع شرطى در منطق جدید در بیشتر آثار فلسفه منطق آمده است؛ براى نمونه، ر.ک: سوزان هاک، فلسفه منطق، ترجمه سید محمّدعلى حجتى.

3ـ براى نمونه، بحث‏هاى دشوار ارائه‏شده، ر.ک: اسداللّه فلاحى، «سلب لزوم و لزوم سلب در شرطى سالبه کلیه»، معرفت‏فلسفى، ش25، ص233ـ260؛ همو، «لزومى‏حقیقى‏ولزومى‏لفظى»، فلسفه و کلام اسلامى، ص107ـ129.

4. Relevance Logic.

5. Relevant Logic

6ـ براى آشنایى با منطق ربط، ر.ک: استیون رید، فلسفه منطق ربط، ترجمه اسداللّه فلاحى؛ لطف‏اللّه نبوى، مبانى منطق فلسفى.

7ـ این منطق‏ها را مى‏توان در آثار زیر یافت: استیون رید، همان؛ اسداللّه فلاحى، نقض بولى و نقض دمورگان در منطق ربط و منطق کلاسیک؛

A. R., Anderson & N, Belnap, Entailment: the Logic of Relevance and Necessity, v. 1; A. R., Anderson & N, Belnap & M. Dunn, Entailment: the Logic of Relevance and Necessity. v. II.

8. Testing for validity.

9ـ روش جدول ارزش ویژه منطق گزاره‏هاست و براى دیگر منطق‏ها کاربرد ندارد. روش نمودارى براى منطق گزاره‏ها در بسیارى از کتاب‏هاى آموزشى بیان شده است؛ براى کاربرد این روش در منطق محمول‏ها، مى‏توان به ریچارد جفرى، قلمرو و مرزهاى منطق صورى، ترجمه پرویز پیر، ص 131ـ136 مراجعه کرد. گریَم پریست روش نمودارى را به منطق‏هاى ربط توسعه داده است:

Graham Priest, A Introduction to Non-Classocal Logic, p. 184-192.

تعریف صورت نرمال در برخى آثار ترجمه‏شده به فارسى آمده است (هربرت. بى. اندرتون، آشنایى با منطق ریاضى، ترجمه‏غلامرضابرادران‏خسروشاهى و محمدرجبى‏طرخورانى،ص57و166ـ168)؛امّاآزمون‏اعتبار به روش صورت‏برهان را نگارنده تنها در اثرى از هیوزوماکس‏کرسوِل،آن‏هم‏براى‏منطق موجّهات دیده است:

Hughes & Cresswell, A New Introduction to Modal Logic, p. 103-105.

10. Truth-Table Method.

11. Tableaux Method.

12. Normal Form Method.

13. Valuation Method.

14ـ لطف‏اللّه نبوى، مبانى منطق جدید، ص 61ـ62.

15. Hughes and Cresswell, Op.Cit, p. 72-92.

16ـ اسداللّه فلاحى، منطق موجّه، ص 86ـ108.

17ـ لطف‏اللّه نبوى، مبانى منطق فلسفى، ص 148 و 152ـ153.

18ـ استیون رید، همان، ص 355ـ357 و 380ـ381.

19ـ همان، ص 111ـ115، 358ـ376 و 381ـ400.

20. Graham Priest & Richard Sylvan, "Simplified Semantics for Basic Relevant Logics", Jornal of Philosophical Logic, v. 21, p. 217-232.

21ـ شرط صدق «استلزام ربطى» در جهان‏هاى غیرنرمال نیز، نسبتا شبیه شرط صدق «استلزام اکید» در جهان‏هاى منطق S4است؛ تنها تفاوت آن است که به جاى اینکه مقدّم و تالى شرطى در یک جهان مشترک در دسترس w بررسى شوند، در دو جهان جداگانه xو y(در دسترس w) بررسى مى‏شوند.

22ـ براى درک دلیل نام‏گذارى شرط «تعدّى» مى‏گوییم: اگر جهت چپ به راست تعریف «تعدّى» را بنویسیم و با قواعد منطق محمول‏ها هم‏ارزهاى آن را به دست آوریم، بهتر مى‏توانیم مفهوم «تعدّى» را در آن درک کنیم:

تعدی	R(ab)cd º Ra(bc)d
تعدی	$x(Rabx & Rxcd) É $x(Rbcx & Raxd)
تغییر متغیر	$y(Raby & Rycd) É $w(Rbcw & Rawd)
خروج سور (از مقدم شرطی)	"y[(Raby & Rycd) É $w(Rbcw & Rawd]
معرفی سور	"x"y"z[(Raxy & Ryzd) É $w(Rxzw & Rawd]

مى‏بینیم که با کمى آسان‏گیرى، مى‏توان گفت که فرمول اخیر مى‏گوید: اگر جهان xبه جهان y، و جهان yبه جهان z دسترسى داشته باشد، جهان xبه جهان zدسترسى دارد و این همان تعدّى است که در سمانتیک منطق‏هاى وجهى با آن آشنا شدیم. (همچنین، با آسان‏گیرى بیشتر، مى‏توان گفت که فرمول اخیر مى‏گوید: اگر aبه y، و y به dدسترسى داشته باشد، aبه dدسترسى دارد.)

23ـ رابطه «دسترسى» و «دیدن» میان جهان‏ها استعاره‏اى زیباست: انسان از طریق تلویزیون و امواج رادیویى، به دیگر نقاط جهان دسترسى مى‏یابد و از طریق دوربین و تلسکوپ، دوردست‏ها و ستاره‏ها را مى‏بیند. امّا این استعاره زیبا، چنان‏که کریپکى هشدار داده است، مى‏تواند بسیار گمراه‏کننده باشد. رابطه «دسترسى» و «دیدن»، دقیقا به همان معنایى که در متن مى‏گوییم، باید فهمیده شود.

24. Hughes and Cresswell, Op.Cit, p. 72-93.

25ـ لطف‏اللّه نبوى، مبانى منطق جدید، ص 61.

26ـ براى شرح بیشتر این روش، و گشودن گره‏هایى که گاه در یافتن ارزش برخى فرمول‏ها مانند ترکیب شرطى صادق، ترکیب فصلى صادق، ترکیب عطفى کاذب و نیز دوشرطى به وجود مى‏آید، ر.ک: اسداللّه فلاحى، منطق موجّه، ص 94ـ99؛Hughes & Cresswell, Op.Cit, p. 80-85 .

27ـ براى رسیدن به رابطه R(xt)yu، مى‏توان برهان زیر را آورد:

1	Rxyz & Rztu		مقدمه
2	$z(Rxyz & Rztu)		م $ (1)
3	R(xy)tu		تعریف R (2)
4	Rx(yt)u		تعدی (3)
5	Rx(ty)u		تقارن (4)
6	R(xt)yu		تعدی (5)