معرفت فلسفی

سال ششم، شماره اول، پاییز 1387، 135ـ179

مجتبی مصباح[215]

چکیده

در برخی تفاسیر فلسفی از احتمال، مانند تفسیر کلاسیک، تفسیر منطقی و تفسیر معرفت‏شناختی، رجوع به مجموعه‏ای به نام فضای نمونه یا فضای وصفی برای محاسبه احتمال لازم است. در این محاسبات، بر اساس اصل عدم تفاوت، احتمال عناصر اولیه یکسان فرض می‏شود. اما درباره خود این اصل، که اساس حساب احتمالات در تفاسیر مزبور است، دو مسئله اساسی وجود دارد که در مباحث فلسفی احتمال قابل طرح است. اول، اعتبار معرفت‏شناختی خود این اصل است، و دوم، پارادوکس‏هایی است که از به کارگیری این اصل ناشی می‏شوند. اما تاکنون پاسخی درخور به هیچ‏یک از این دو مسئله داده نشده است.

در این مقاله، ابتدا با اشاره به تفاسیر مختلف احتمال، نشان داده می‏شود که کدام تفاسیر نیازمند این اصل هستند. همچنین اصل عدم تفاوت به طور کلی و نیز در احتمال معرفت‏شناختی، بر اساس اصل علیت و با ارجاع به علم حضوری توجیه می‏شود. مهم‏ترین بخش این مقاله، طرح هشت پارادوکس همراه با پاسخ‏هایی است که برای حل آنها ارائه شده و با ناتمام دانستن این پاسخ‏ها، راه‏حل جدیدی بر اساس تفسیر احتمال معرفت‏شناختی ارائه می‏شود.

کلیدواژه‏ها: احتمال معرفت‏شناختی، اصل عدم تفاوت، پارادوکس‏های احتمال، پارادوکس‏های اصل عدم تفاوت.

 

مقدّمه

در بسیاری از روش‏های محاسبه احتمال، باید به مجموعه‏ای رجوع کنیم و با این پیش‏فرض که احتمال وقوع هریک از اعضا یا احتمال صدق هر یک از گزاره‏های عضو این مجموعه با بقیه مساوی است، به محاسبه احتمال وقوع پدیده موردنظر یا احتمال صدق گزاره‏ای خاص بپردازیم. اما در اینجا دو مسئله وجود دارد: اول آنکه خود این اصل به چه دلیل معتبر است؟ دوم آنکه مساوی دانستن احتمال اعضای مجموعه مزبور، بسته به اینکه اعضای این مجموعه چگونه انتخاب شوند، گاه به نتایج متفاوتی می‏انجامد که از نقطه‏نظر حساب احتمالات غیرقابل قبول است؛ زیرا احتمال وقوع هر پدیده یا احتمال صدق هر گزاره در هر شرایط ویژه، مقدار واحدی است. این امر از دیرباز تفاسیری از احتمال را که مبتنی بر اصل عدم تفاوت هستند، با پارادوکس‏هایی مواجه ساخته است که تاکنون پاسخی قاطع نیافته‏اند.

برای پاسخ به دو مسئله مزبور، ابتدا نظری اجمالی به تفاسیر مختلف احتمال می‏اندازیم، و تفسیرهایی را که به این اصل نیاز دارند معرفی می‏کنیم. سپس توضیحی اجمالی درباره اعتبار معرفت‏شناختی خود این اصل می‏آوریم. آن‏گاه اصول حساب احتمالات را به اجمال معرفی می‏کنیم و سپس به طرح پارادوکس‏ها می‏پردازیم، و راه‏حل‏هایی که تاکنون برای آنها ارائه شده از نظر می‏گذرانیم و در پایان دیدگاه خود را درباره حل این پارادوکس‏ها بیان می‏کنیم.

تفاسیر ناظر به باور و ناظر به واقع درباره احتمال

فرض کنید سکّه‏ای در اختیار داریم که می‏دانیم کاملاً همگن نیست و به یک طرف متمایل‏تر است؛ اما درباره اینکه سکّه به کدام طرف متمایل‏تر است چیزی نمی‏دانیم. احتمال اینکه این سکّه شیر بیاید بیشتر است یا احتمال آنکه خط بیاید، یا احتمال هر دو مساوی است؟

نظریه‏های فلسفی احتمال که برای تبیین مبانی محاسبه احتمال پدید آمدند درصدد آن بودند که نشان دهند در محاسبات ریاضی احتمال، دقیقا چه چیزی را اندازه می‏گیریم و این اندازه‏گیری چه اعتباری دارد. برخی، همچون لاپلاس (P. S. Laplace)، با توجه به این حقیقت که جهان عینی، جهانی است که روابط ضروری علّی ـ معلولی بر آن حاکم است و هر پدیده‏ای با وجود تمام شرایط خود ضرورتا اتفاق می‏افتد و بدون حتی یکی از آنها ضرورتا اتفاق نمی‏افتد، احتمال را مربوط به باور و معرفت ما دانستند. برخی نیز، همچون ون میزز (R. Von Mises)، بر این اعتقاد بودند که محاسبه احتمالْ محاسبه امری عینی است، و بدین جهت به باورها و معرفت‏های ما وابسته نیست، و محاسبات احتمال درصددند میزان وقوع عینی یک پدیده را اندازه‏گیری کنند، نه صرفا انتظارات ما را از وقوع پدیده‏ها.

برخی دیگر از گروه نخست، همچون رمزی (F.P. Ramsey) و دفینتی (B. de Finetti)، باور را امری روان‏شناختی و شخصی، و برخی، مانند گیلیس (D. Gillies)، بین‏الاذهانی و گروهی تلقّی کردند و برخی دیگر، نظیر شهید صدر، کینس (J.M. Keynes)، جانسون (W.F. Johnson) و جفریز (H. Jeffreys)، کوشیدند نشان دهند که درجه باور به یک قضیه در صورتی معقول است که آن درجه از باور، نتیجه منطقی باور به قضایای دیگر باشد. به عقیده ما، تفسیر دیگری از احتمال ناظر به باور برای توجیه درجه باور لازم است. بنابراین تفسیر، احتمال موجّه یک قضیه که آن را «احتمال معرفت‏شناختی» آن قضیه می‏نامیم احتمالی است که بر پایه قضایایی که فرد بدانها باور موجّه دارد و درجه باور موجّه به آنها نهایتا بر اساس علم حضوری تعیین می‏شود محاسبه‏پذیر است.[216]

برخی از گروه دوم، یعنی برخی از کسانی که تفسیری ناظر به واقع را برای احتمال برگزیده بودند، همچون الیس (L. Ellis)، ون (J. Venn)، رایشنباخ (H. Reichenbach) و ون میزز، فراوانی نسبی وقوع یک پدیده را از میان پدیده‏های بدیل ممکن، ملاک احتمال وقوع عینی آن پدیده قرار دادند و برخی، مانند پوپر (K.R. Popper)، میلر (Miller) و فتزر (Fetzer)، به وجود نوعی میل و گرایش درونی در پدیده‏ها معتقد شدند که شرایط تولید آن پدیده را تأمین می‏کنند.

بدین صورت، می‏توان نظریه‏ها و تفاسیر فلسفی در باب احتمال را به دو گروه ناظر به باور و ناظر به واقع تقسیم کرد؛ یعنی تفسیرهایی که احتمال را به باور نسبت می‏دهند، و تفاسیری که آن را به امری عینی و واقعی تفسیر می‏کنند. اما باید توجه داشته باشیم که ممکن است احتمال ناظر به باور نیز با واقع، و احتمال ناظر به واقع نیز با باور، ارتباط داشته باشند. برای مثال، کسانی که به تفسیری از احتمال که ناظر به باور است معتقدند ممکن است بپذیرند که احتمال، گرچه نشان‏دهنده درجه باور ذهنی فرد یا باور معقول و مانند آن است، منشأ این درجه باور می‏تواند خودْ دانش و معرفتی درباره امور عینی باشد. برای مثال، ممکن است بگوییم این سخن که احتمال شیر آمدن این سکه 5/0 است بدان معناست که درجه باور ما نسبت به وقوع این پدیده عینی 5/0 است و با این حال، بپذیریم که ممکن است این درجه باور ما خودْ ناشی از معرفت ما به این حقیقت باشد که در نیمی از موارد پرتاب قبلی همین سکّه، نتیجه شیر آمده است. همچنین کسانی که به تفسیری ناظر به واقع معتقدند ممکن است بپذیرند که احتمال، گرچه نشان‏دهنده نسبت یا گرایشی واقعی در پدیده‏هاست، می‏تواند در درجه باور ما تأثیر داشته باشد. برای مثال، ممکن است بگوییم این سخن که احتمال شیر آمدن این سکه 5/0 است بدان معناست که در زنجیره‏ای طولانی از پرتاب این سکّه، حدودا در نیمی از موارد، نتیجه شیر آمده، و با این حال، بپذیریم که به همین سبب است که درجه باور ما نسبت به وقوع این حادثه 5/0 است. به هر حال، ممکن است در تفسیر احتمال، رابطه باور و واقع را بپذیریم؛ اما آنچه وجه تمایز این تفاسیر است این است که اصالتا احتمال را بر باور اطلاق می‏کنیم یا واقع، و در هر صورت، آن را دقیقا چگونه توصیف می‏کنیم.

همچنین تفاسیرناظربه‏باور،ممکن‏است احتمال را به‏صورت سابجکتیو و روان‏شناختی تفسیر کنند؛ مانند تفسیرهای ذهنی و بین‏الاذهانی، و ممکن است آن را امری منطقی یا موجّه بدانند که دارای ملاک‏های عینی است، مانند تفسیر منطقی و نیز تفسیر معرفت‏شناختی مورد قبول ما.

ممکن است با پذیرفتن ارتباط باور و واقع، اختلاف تفاسیر ناظر به باور و ناظر به واقع، امری مهم به نظر نیاید، از آن‏روی که گویا مقدار احتمال از هر دو منظر یکسان است؛ اما باید توجه داشت که این امر کلیت ندارد. مثال سکّه نامتعادل لاپلاس که در ابتدای تقسیم‏بندی تفاسیر بدان اشاره کردیم، روشن می‏کند که امر عینی مفروض و درجه باور، در یک مثال می‏توانند متفاوت باشند؛ زیرا احتمال منطقی شیر آمدن سکّه ناهمگنی که گفتیم، همچون سکّه معمولی، 5/0 است، در حالی که اگر برای آن، احتمالی واقعی را بپذیریم که قابل اندازه‏گیری نیز باشد، این احتمال یقینا عددی غیر از 5/0 است. نیز درجه باورهای ذهنی افراد ممکن است از هر طریق پدید آید و با امور عینی مطابقت نداشته باشد.

فضای نمونه یا وصفی

بنابر تفاسیر فلسفی ناظر به باور از احتمال، بجز تفاسیر ناظر به باوری که احتمال را سابجکتیو تفسیر می‏کنند؛ یعنی تفسیر ذهنی و بین‏الاذهانی، برای تعیین احتمال، رجوع به یک مجموعه خاص لازم است. این مجموعه که عموما فضای نمونه[217] یا فضای وصفی[218] نامیده می‏شود،متشکل از اعضایی است که احتمال آنها برابر است و احتمال پدیده یا قضیه موردنظر را می‏توان بر اساس آنها محاسبه کرد. مثال ساده برای فضای نمونه یا فضای وصفی، مجموعه دو عضوی شیر و خط است که شامل همه حالات ممکنی است که یک سکّه پس از یک بار پرتاب بدان حالت روی زمین قرار می‏گیرد.

اگر بخواهیم مطابق نظریه کلاسیک احتمال، درباره احتمال شیر آمدن سکّه‏ای که هنوز پرتاب نشده است قضاوت کنیم، می‏گوییم احتمال حالت مطلوب برابر است با نیمی از احتمال وقوع یک حالت از همه حالات‏ممکن. وقوع یکی از دو حالت‏ممکن (شیر و خط) یقینی است و مقدار آن را عدد «یک» قرارداد می‏کنند. بدین‏ترتیب، احتمال شیر آمدن سکّه مزبور برابر با 5/0 است.

نظریه منطقی، احتمال را به قضایا نسبت می‏دهد و بر آن است که احتمال یک قضیه، درجه نسبی استلزام منطقی میان آن قضیه با قضایای دیگر است، یا به عبارت دقیق‏تر، احتمال منطقی یک قضیه، درجه خاصی از باور به آن قضیه است که لازمه منطقی درجه خاصی از باور به مقدّمات است. این درجه نیز بر حسب تعداد اعضای فضای نمونه که شامل همه قضایای ممکن بدیل است تعیین می‏شود.[219] در مثال سکّه، فضای نمونه عبارت است از مجموعه‏ای شامل دو قضیه «سکّه در پرتاب بعدی شیر می‏آید» و «سکّه در پرتاب بعدی خط می‏آید» و بدین ترتیب احتمال صدق قضیه نخست برابر با 5/0 است.

احتمال معرفت‏شناختی نیز احتمال را به قضایا نسبت می‏دهد و آن را با مراجعه به مجموعه‏ای از قضایای موجهی که صاحب معرفت بدانها باور دارد، محاسبه می‏کند. این مجموعه ممکن است یقین معرفت‏شناختی به قضیه «سکّه در پرتاب بعدی یا شیر می‏آید یا خط»، و یقین معرفت‏شناختی به مجموعه همه قواعد منطقی و ریاضی لازم برای استنتاج درجه احتمال قضیه «سکّه در پرتاب بعدی شیر می‏آید» از قضیه مزبور باشد. چنان‏که می‏بینیم قضیه نخست در این مجموعه، قضیه‏ای از نوع منفصله حقیقیه و ناظر به همه حالات ممکن است.

اصل عدم تفاوت

دیدیم که بنابر تفسیر کلاسیک از احتمال و نیز تفسیر منطقی و معرفت‏شناختی، برای محاسبه احتمال، رجوع به مجموعه‏ای به نام فضای نمونه یا وصفی لازم است. محاسبه احتمال یک پدیده یا قضیه، با ارجاع آن به چنین مجموعه‏ای، تنها در صورتی ممکن است که برای همه عناصر این مجموعه، ارزشی یکسان قائل باشیم. برای مثال، باید از پیش پذیرفته باشیم که در پرتاب سکّه، احتمال هر یک از شیر و خط آمدن، دقیقا مساوی دیگری است. این را اصطلاحا «اصل عدم تفاوت» می‏نامند.

تعبیر «اصل عدم تفاوت»[220] را ابتدا کینس در سال 1921 در کتاب خود[221] به کار برد. البتهپیش از وی و در سال 1871، ون کریز (J. Von Kries) تعبیر قدیمی‏تری از همین اصل را با نام «اصل دلیل ناکافی»[222] در کتاب احتمال خود به کار برده بود، و پیش از هر دو، لایب نیتز(1646ـ1716) از اصل دیگری با نام «اصل دلیل کافی» در متافیزیک خود زیاد استفاده کرده بود.

کینس با این ادعا که همه احتمال‏گرایان[223] محاسبه عددی احتمال را در مواردی ممکنمی‏دانند که تعدادی جایگزین (مجموعه‏ای از گزینه‏های جامع و مانع) با احتمال برابر در اختیار باشند،[224] معتقد است برای تعیین احتمال برابر این گزینه‏ها به اصلی پیشینی به نام اصل عدمتفاوت نیاز است. وی این اصل را ابتدائا چنین بیان می‏کند: «اصل عدم تفاوت می‏گوید اگر دلیل معلومی برای ترجیح حمل یکی از چند محمول جایگزین بر موضوع خاص وجود نداشته باشد، نسبت به چنین علم و معرفتی، بیان هریک از آن امور جایگزین، احتمالی برابر دارد.»[225]

البته روشن است که تعریف دقیق این اصل بسته به رویکرد تفسیری ما از احتمال متفاوت خواهد بود. اما می‏توان گفت در همه تفاسیری که رجوع به مجموعه‏ای مانند فضای نمونه را برای محاسبه احتمال لازم می‏دانند، احتمال اعضای خود این مجموعه، یکسان تلقّی می‏شود و اصل عدم تفاوت، بیان‏کننده یکسان بودن احتمال همین اعضا است.

بدین ترتیب، می‏توان اصل عدم تفاوت را اساس حساب احتمالات دانست. از نظر ما، بدون اعتبار این اصل، هیچ درجه‏ای از معرفت بجز یقین، موجّه نیست.

یکی از مسائلی که درباره این اصل مطرح است، توجیه معرفت‏شناختی خود این اصل است؛ یعنی این مسئله که با چه توجیهی، احتمال این اعضا (عناصر اولیه) برابر دانسته می‏شوند. آیا صدق اصل عدم تفاوت، یقینی است یا احتمالی، و این یقین یا احتمال، صرفا ذهنی یا بین‏الاذهانی است، یا امری عینی و ناظر به واقع است، یا به لحاظ معرفت‏شناختی در درجه یقین، و موجّه است؟

اصل عدم تفاوت مطابق تفسیر احتمال معرفت‏شناختی

ما اصطلاح «احتمال معرفت‏شناختی» را برای درجه‏ای از معرفت به P که تنها ناشی از دسته‏ای از احتمال‏های معتبر باشد، به کار می‏بریم. در این تفسیر از احتمال، اصل عدم تفاوت به صورت زیر قابل بیان است:

اگر مجموعه احتمال‏های معتبری که احتمال معرفت‏شناختی دو قضیه را نسبت به آنها می‏سنجیم، به طور مساوی موجب احتمالی برای دو قضیه مزبور باشند، احتمال معرفت‏شناختی آن دو قضیه نسبت به آن احتمال‏های معتبر مساوی است.

اعتبار معرفت‏شناختی اصل عدم تفاوت

در این بخش می‏خواهیم نشان دهیم اصل عدم تفاوت به لحاظ معرفت‏شناختی کاملاً موجّه است. از نظر ما، معرفت کاملاً موجّه باید مبتنی بر علم حضوری باشد.[226] بنابراین، باید نشان دهیم که این اصل مبتنی بر علم حضوری است. برای این کار، از اصل علیت آغاز می‏کنیم و نشان می‏دهیم اصل علیت به تقریری که می‏آوریم بدیهی اولی و مبتنی بر علم حضوری به رابطه مفاهیم است. سپس اعتبار اصل کلی عدم تفاوت و پس از آن، اعتبار اصل عدم تفاوت در مبحث احتمال را مطابق تقریری که از آن ارائه دادیم، اثبات می‏کنیم.

اصل علّیت

چیزی که به خودی خود ویژگی خاصی را ندارد، برای داشتن آن ویژگی نیازمند غیر خود (علّت) است.

توضیح: اصل علّیت به تقریر فوق، از جمله قضایای بدیهی اولی است. هرگاه چیزی به خودی خود ویژگی خاصی مانند a را داشته باشد و به عبارت دیگر، a ذاتی یا مقتضای ذات آن باشد، خود آن چیز برای آنکه آن ویژگی را داشته باشد کافی است. اما چنانچه a ذاتی یا مقتضای ذات آن چیز نباشد، بدین معناست که خود آن چیز برای آنکه آن ویژگی را داشته باشد کافی نیست. با توجه به معنای عدم کفایت خود، جمله مزبور دقیقا بدان معناست که آن چیز برای داشتن آن ویژگی، نیازمند غیر خود است، که آن را «علّت» می‏نامند.

چنان‏که دیده می‏شود علم حضوری به مفاهیم به کار رفته در این اصل، برای تصدیق به آن کافی است و بنابراین، اصل علّیت به تقریر فوق، بدیهی اولی است.

مقصود از «علّت» در این تقریر از اصل علّیت، چیزی غیر از خود شی‏ء است که برای آنکه آن شی‏ء ویژگی مزبور را داشته باشد لازم و کافی است. علت به معنای مذکور را «علّت تامه» نیز می‏نامند. معلول نیز عبارت است از «اینکه آن شی‏ء ویژگی مزبور را داشته باشد.»

اصل کلی عدم تفاوت

علّت‏های مشابه معلول‏های مشابه دارند. این قضیه را اصل کلی عدم تفاوت می‏نامیم.

توضیح: علّت (علّت تامه) بنابر تعریف، چیزی است که برای تحقق معلول، لازم و کافی است. پس مشابه بودن علت‏ها به معنای مشابه بودن تأثیر آنها در تحقق معلول‏هایشان است. از سوی دیگر، چنان‏که گفتیم، آنچه در تحقق معلول مؤثر است صرفا علّت است. بدین‏ترتیب، مشابه بودن علّت‏ها مستلزم مشابه بودن معلول‏هاست. ممکن است فرض کنیم چند علّت از وجوهی مشابه یکدیگر باشند و از وجوهی متفاوت. در این صورت، اگر معلول‏های آنها مشابه باشند، در واقع تنها وجوه مشابهی از آنچه علّت نامیده‏ایم در تحقق معلول‏ها مؤثر بوده است و در واقع، همان وجوه مشابه، علّت هستند نه سایر ویژگی‏ها. پس به طور کلی، مشابه بودن علّت‏ها مستلزم مشابه بودن معلول‏ها است. بدین‏ترتیب، معرفت حضوری به استلزام میان صدق مفهوم «مشابه بودن علّت‏ها» و صدق مفهوم «مشابه بودن معلول‏های آنها»، نشان می‏دهد که اصل کلی عدم تفاوت بدیهی است.

اصل عدم تفاوت در احتمال معرفت‏شناختی

همان‏گونه که گفتیم اصل عدم تفاوت در احتمال معرفت‏شناختی به معنای آن است که چنانچه مجموعه احتمال‏های معتبری که احتمال معرفت‏شناختی دو قضیه را نسبت به آنها می‏سنجیم، به طور مساوی موجب احتمالی برای دو قضیه مزبور باشند، احتمال معرفت‏شناختی آن دو قضیه نسبت به آن احتمال‏های معتبر مساوی است.

با توجه به تعریف مزبور، احتمال‏های معتبری که احتمال معرفت‏شناختی P را نسبت به آنها می‏سنجیم، علت احتمال معرفت‏شناختی P هستند. بنابراین، اصل عدم تفاوت در احتمال معرفت‏شناختی، نمونه‏ای است از اصل کلی عدم تفاوت، و بداهت این اصل نیز، به جهت معرفت حضوری است به استلزام صدق مفهوم تساوی ایجاب احتمال‏های معتبر، با صدق مفهوم تساوی احتمال‏های معرفت‏شناختی. به بیان ساده، از آنجا که احتمال معرفت‏شناختی تنها ناشی از معرفت‏های معتبری است که با آن سنجیده می‏شود، هرگاه این معرفت‏ها نسبت به دو قضیه مساوی باشند، احتمال معرفت‏شناختی آن دو قضیه مساوی است.

بدین‏ترتیب، اصل عدم تفاوت در احتمال معرفت‏شناختی با بازگشت به معرفت حضوری، دارای ارزش یقین معرفت‏شناختی و کاملاً موجّه است. اما پارادوکس‏های مطرح شده در برابر این اصل، ناسازگاری ظاهری این اصل را با اصول حساب احتمالات نشان می‏دهند. برای اینکه این پارادوکس‏ها را مطرح کنیم، ابتدا به معرفی اصول حساب احتمالات می‏پردازیم.

اصول حساب احتمالات

چنان‏که گفتیم، همه تفاسیر احتمال، اصول مشترکی را برای محاسبه احتمال به کار می‏برند و همه این تفاسیر، درستی و موجّه بودن این اصول را می‏پذیرند. از آنجا که پارادوکس‏های اصل عدم تفاوت بر اساس ناسازگاری ظاهری این اصل با اصول حساب احتمالات پدید می‏آیند، در اینجا تنها اشاره‏ای اجمالی به این اصول خواهیم داشت. البته این اصول، در منابع متفاوت، با تعداد و تقریرهای مختلف و در بسیاری موارد به صورت پراکنده آمده است. ما برای رعایت اختصار، از بحث تفصیلی درباره اختلاف منابع در معرفی این اصول خودداری می‏کنیم و این اصول را بر اساس آنچه گیلیس آورده است[227] بیان می‏کنیم.

فرض می‏کنیم A، B،... A1،... فرامتغیرهای قضیه‏ای هستند و به جای آنها قضایای دلخواه قرار می‏گیرند که هریک می‏توانند دارای درجه‏ای از احتمال باشند. احتمال معرفت‏شناختی یک قضیه را که تابعی از آن قضیه است[228] با نماد عمومی ( )P نشان می‏دهیم. در صورتی که به جای نماد قضیه، از فرامتغیر قضیه‏ای استفاده کنیم، احتمال آن به معنای احتمال هر قضیه‏ای است که به جای فرامتغیر قرار گیرد. سه اصل زیر اصول حساب احتمالات نامیده می‏شوند:

اصل اول:0P(A)1, P(t)=1

به بیان دیگر، این اصل می‏گوید هر قضیه، احتمال واحدی میان 0 و 1 دارد و احتمال قضیه یقینا صادق، یک است.

اصل دوم (قانون ضرب):P(AB)=P(A|B)P(B)

این اصل بدین معناست که احتمال صدق هم‏زمان دو قضیه، برابر است با حاصل ضرب احتمال صدق یکی از آنها مشروط به صدق دیگری در احتمال صدق دیگری.

اصل سوم (قانون جمع)P(A1)+...+P(An)=1

اگر به جای A1،...، An قضیه‏های مانعه‏الجمع و مانعه‏الخلو قرار گیرند، آن‏گاه با استفاده از نمادهای معروف می‏توان اصل سوم را این‏گونه بیان کرد:

این اصل بدین معناست که مجموع احتمال همه قضایای مانعه‏الجمع و مانعه‏الخلو (که بیانگر همه حالات ممکن هستند) برابر با یک است.

پارادوکس‏ها

گفتیم درباره اصل عدم تفاوت دو مسئله مهم وجود دارد: اولین مسئله، توجیه معرفت‏شناختی خود این اصل بود که توضیح اجمالی آن گذشت. مسئله دوم، پارادوکس‏هایی است که درباره این اصل مطرح شده‏اند.

این مسئله عبارت است از اینکه به کارگیری اصل عدم تفاوت، گرچه ممکن است ابتدائا موجّه به نظر برسد، ما را با تناقض‏هایی مواجه می‏سازد. این تناقض‏ها که آنها را «پارادوکس‏های اصل عدم تفاوت» نام نهاده‏اند، در قالب مثال‏های مختلف عرضه شده‏اند تا بدین وسیله در برابر درستی یا کارآمدی این اصل قرار گیرند.

از این مثال‏ها ممکن است چنین برداشت شود که پذیرفتن اصل عدم تفاوت منجر به پذیرفتن تناقض می‏شود. این تناقض، از پذیرفتن این اصل همراه با اصول حساب احتمالات ناشی می‏شود که در هر تفسیری از احتمال پذیرفته شده است. بدین ترتیب، این مثال‏ها درصددند نشان دهند که یا اصل عدم تفاوت درست نیست، یا اصول حساب احتمالات، یا دست‏کم در این مثال‏ها تناقضْ درست و قابل قبول است. اما از آنجا که دو شق اخیر قابل قبول نیستند؛ یعنی نه می‏توان از درستی اصول حساب احتمالات چشم پوشید و نه می‏توان تناقض را ـ هرچند در یک مورد ـ موجّه دانست، ناگزیر باید بپذیریم که اصل عدم تفاوت نادرست است و اعتباری ندارد. از این‏رو، این مثال‏ها، به پارادوکس‏های اصل عدم تفاوت یا پارادوکس‏های نظریه احتمال معروف شده‏اند. البته این مثال‏ها به آنچه بیان خواهیم کرد محدود نیستند و پارادوکس‏های بی‏شماری مشابه آنچه تاکنون مطرح شده نیز قابل طرح هستند. هدف ما آن است که با اشاره به برخی از این پارادوکس‏ها، راه‏حل کلی آنها را بیابیم و نشان دهیم که بر خلاف آنچه این پارادوکس‏ها القا می‏کنند، پذیرفتن اصل عدم تفاوت منجر به تناقض نمی‏شود. البته در برابر برخی از این پارادوکس‏ها پاسخ‏هایی نیز ارائه شده است که هیچ‏کدام تمام به نظر نمی‏رسند. در این مقاله، به طرح چند پارادوکس و راه‏حل‏های ارائه شده و نقد آنها می‏پردازیم و سپس راه‏حل مورد قبول خود را توضیح می‏دهیم.

در ضمن، خاطرنشان می‏کنیم که این پارادوکس‏ها بر اساس تفاسیر مختلف احتمال، به صوری متفاوت قابل طرح هستند و ما در اینجا، این پارادوکس‏ها را بر اساس تفسیر معرفت‏شناختی احتمال به تقریری که اشاره کردیم طرح و بررسی می‏کنیم.

الف. پارادوکس کتاب

فرض کنید کتابی در جای خاصی از کتابخانه است و ما هیچ نسخه‏ای از آن کتاب را تاکنون ندیده‏ایم و بنابراین هیچ چیز درباره رنگ جلد آن کتاب نمی‏دانیم. پس معرفت‏های موجّه ما درباره قرمز بودن رنگ جلد آن کتاب با معرفت‏های موجّه ما درباره قرمز نبودنش یکسان است و مطابق اصل عدم تفاوت، احتمال معرفت‏شناختی قرمز بودن رنگ جلد این کتاب با احتمال معرفت‏شناختی قرمز نبودن آن برابر است و بر این اساس، محاسبات احتمال نشان می‏دهد که احتمال قرمز بودن رنگ جلد کتاب مزبور 5/0 است. اما همین امر درباره رنگ آبی، سبز و زرد و نیز سایر رنگ‏ها صادق است. یعنی اگر اصل عدم تفاوت معتبر باشد، احتمال معرفت‏شناختی آبی بودن رنگ جلد این کتاب نیز با احتمال آبی نبودنش برابر است و محاسبات احتمال، احتمال آبی بودن رنگ جلد کتاب مزبور را نیز مساوی 5/0 تعیین می‏کند؛ و... . بنابراین، احتمال معرفت‏شناختی صدق هریک از قضایای ناسازگار «رنگ جلد کتاب مزبور، قرمز است»، «رنگ جلد کتاب مزبور، آبی است» «رنگ جلد کتاب مزبور، سبز است» و... برابر است با 5/0. فرض کنیم رنگ جلد کتاب مزبور هریک از n رنگ می‏تواند باشد. از سوی دیگر، بنابر اصل سوم از اصول حساب احتمالات، مجموع همه احتمالات ناسازگار برابر است با 1، اما اگر n بزرگتر از 2 باشد، مجموع n تا 5/0 از 1 بیشتر است. بنابراین، اصل عدم تفاوت با اصل سوم از اصول حساب احتمالات که مجموع‏احتمالات همه قضایای ناسازگار را برابر با 1 می‏داند در تناقض خواهد بود.

همین پارادوکس را می‏توان به گونه‏ای دیگر نیز تقریر کرد: برای تعیین احتمال صدق این قضیه که «رنگ جلد کتاب مزبور قرمز است»، دو راه‏حل مختلف وجود دارد: از یک‏سو، می‏توان دو قضیه ناسازگار زیر را در نظر گرفت که معرفت ما درباره صدق آنها یکسان است: «جلد کتاب مزبور قرمز است»، «جلد کتاب مزبور قرمز نیست.» اصل عدم تفاوت می‏گوید احتمال این دو قضیه مساوی است و با توجه به اصل سوم از اصول حساب احتمالات که مجموع احتمال‏های دو قضیه مزبور را برابر با 1 می‏داند، احتمال قضیه اول برابر خواهد بود با 5/0. از سوی دیگر، می‏توان n قضیه ناسازگار زیر را در نظر گرفت که معرفت ما درباره صدق آنها نیز یکسان است: «جلد کتاب مزبور قرمز است»، «جلد کتاب مزبور، آبی است»، و... . اصل عدم تفاوت احتمال n قضیه مزبور را نیز مساوی می‏داند و بنابر اصل سوم حساب احتمالات، مجموع احتمالات این قضایا نیز مساوی 1 است، و بنابراین، احتمال صدق قضیه «جلد کتاب مزبور قرمز است» برابر است با /n1. روشن است که اگر n بزرگتر از 2 باشد، پاسخ مسئله از طریق راه‏حل دوم متفاوت با پاسخ از طریق راه‏حل اول خواهد بود. اما اصل اول از اصول حساب احتمالات می‏گوید هر قضیه نسبت به معرفت‏های موجّه خاص، یک احتمال دارد. بنابراین، به کارگیری اصل عدم تفاوت در تعیین احتمال صدق قضیه مزبور با اصل اول از اصول حساب احتمالات منافات دارد و منجر به تناقض می‏شود.

ب. پارادوکس دسته‏بندی[229]

فرض کنید صرفا می‏دانیم یکی و فقط یکی از سه نفر با نام‏های محمّد، حسن پسر علی، و حسین پسر علی می‏آیند. احتمال آنکه محمّد بیاید چقدر است؟

این مسئله نیز راه‏حل‏های مختلفی دارد: قضایای ناسازگار را می‏توان این دو قضیه در نظر گرفت: «محمّد می‏آید»، «یکی از دو پسر علی می‏آید». بنابر اصل عدم تفاوت، احتمال صدق این دو قضیه با توجه به آنکه معرفت ما درباره صدق آنها یکسان است، مساوی است، و در نتیجه، احتمال آنکه محمّد بیاید برابر خواهد بود با 5/0. همچنین می‏توان قضایای ناسازگار را چنین در نظر گرفت: «محمّد می‏آید»، «کسی که ابتدای نامش "ح" است می‏آید.» بنابر اصل عدم تفاوت، احتمال این دو قضیه مساوی است و مطابق این راه‏حل، باز هم احتمال آنکه محمّد بیاید برابر است با 5/0. از سوی دیگر، قضایای ناسازگار را می‏توان سه قضیه زیر در نظر گرفت: «محمّد می‏آید»، «حسن می‏آید»، «حسین می‏آید.» بنابر اصل عدم تفاوت، احتمال این سه قضیه نیز مساوی است و بنابراین، احتمال آنکه محمّد بیاید مطابق این راه‏حل 3/1 است. اما پذیرفتن دو احتمال مختلف برای یک قضیه نسبت به معرفت‏های خاص، با اصل اول حساب احتمالات ناسازگار است.

ج. پارادوکس لباس

فرض کنید می‏دانیم محمّد دو لباس دارد، اما حسن و حسین، هریک یک لباس دارند و نیز می‏دانیم یا محمّد با یکی از دو لباسش می‏آید یا حسن با همان یک لباسش، یا حسین با همان یک لباسش. احتمال آنکه محمّد بیاید چقدر است؟

از یک‏سو، ممکن است قضایای ناسازگار را این سه قضیه در نظر بگیریم: «محمّد می‏آید»، «حسن می‏آید»، «حسین می‏آید». بدین‏ترتیب و بنابر اصل عدم تفاوت که احتمال این سه قضیه را مساوی می‏داند، احتمال آنکه محمّد بیاید 3/1 است. از سوی دیگر، ممکن است قضایای ناسازگار را این چهار قضیه در نظر بگیریم: «محمّد با لباس اول می‏آید»، «محمّد با لباس دوم می‏آید»، «حسن می‏آید»، «حسین می‏آید». بنابر اصل عدم تفاوت، احتمال این چهار قضیه نیز مساوی است و احتمال آنکه محمّد بیاید با احتمال صدق دو قضیه از این چهار قضیه مساوی است و بنابراین، مطابق این راه‏حل، احتمال آنکه محمّد بیاید برابر است با 5/0.

د. پارادوکس پرتاب مکرر سکّه[230]

فرض کنید آزمون خاصی، مانند پرتاب سکه را n بار تکرار می‏کنیم. می‏دانیم که در هر بار ممکن است حادثه M (مثلاً شیر آمدن سکّه) اتفاق بیفتد یا نیفتد. احتمال آنکه حادثه M در r بار از n بار آزمون اتفاق بیفتد چیست؟

از سویی، ما هیچ دلیلی نداریم که تکرار حادثهM از میان اعداد 0 تا n کدام عدد را می‏پذیرد و اصل عدم تفاوت می‏گوید احتمال صدق این قضیه که این عدد، عدد خاص r باشد، نسبت یک عدد به 1+n عدد، یعنی 1n+/1 است. مثلاً در دو بار پرتاب سکّه، سه قضیه ناسازگار داریم که هریک ممکن است صادق باشد و معرفت ما درباره صدق آنها مساوی است: «هیچ بار شیر نمی‏آید»، «یک بار شیر می‏آید»، «دو بار شیر می‏آید». بنابراین، مطابق این تفسیر و با پذیرفتن اصل عدم تفاوت، احتمال آنکه یک بار شیر بیاید، 3/1 است.

از سوی دیگر، همین مسئله را می‏توان به گونه‏ای متفاوت تفسیر کرد. مثلاً در دو بار پرتاب سکّه، قضایای ناسازگار را می‏توان چنین در نظر گرفت: «هر دو شیر می‏آید»، «هر دو خط می‏آید»، «اولی شیر و دومی خط می‏آید»، «اولی خط و دومی شیر می‏آید». بدین ترتیب، چهار قضیه ناسازگار داریم که معرفت ما درباره صدق آنها مساوی است. اما احتمال صدق قضیه «یک بار شیر می‏آید» با احتمال صدق دو قضیه از چهار قضیه مزبور برابر است. پس احتمال آنکه یک بار شیر بیاید، مطابق این تفسیر و با پذیرفتن اصل عدم تفاوت، 5/0 است. چنان‏که می‏بینیم به کارگیری اصل عدم تفاوت در تعیین احتمال معرفت‏شناختی در این مسئله نیز، با اصل اول از اصول حساب احتمالات ناسازگار است.

ه . پارادوکس برتراند

دایره کاملی فرض کرده، وتری از این دایره را به طور تصادفی در نظر می‏گیریم. مطلوب است محاسبه احتمال آنکه طول این وتر بیش از طول ضلع مثلث متساوی‏الاضلاع محاط در آن دایره باشد.

این قضیه را که طول وتر مزبور از طول ضلع مثلث متساوی‏الاضلاع محاط در دایره بیشتر است،M می‏نامیم. با استفاده از اصل عدم تفاوت سه مقدار مختلف برای P(M) می‏توان یافت که این امر چنان‏که گفتیم با اصل اول از اصول حساب احتمالات در تنافی است.

ابتدا شکل (1) را در نظر می‏گیریم:

مثلث ZXY متساوی‏الاضلاع و محاط در دایره‏ای است به مرکز Oو شعاع R. خط YO را امتداد می‏دهیم تا XZ را در W قطع کند. زاویه OWZ قائمه است و XW=WZ و 2/OW=Rsin=R.

در شکل 2، AB وتر تصادفی ما و OW خط قائم بر آن است که دایره را در C قطع می‏کند. AB در صورتی بزرگتر از ضلع مثلث متساوی‏الاضلاع محاط در دایره است که 2/OW<R باشد. از آنجا که هیچ دلیلی نداریم که W کدام نقطه OC باشد، اصل عدم تفاوت می‏گوید به ازای همه نقاط X1، X2، و... روی OC، احتمال صدق قضایای W=X1، W=X2، و... با یکدیگر مساوی است؛ و در نتیجه به ازای همه اعداد Y1، Y2، و ... در فاصله 0 و R، احتمال صدق قضایای OW=Y1، OW=Y2، و... با یکدیگر مساوی است و در نتیجه، فشردگی احتمال صدق قضیه OW=Y در دامنه R]،0] یکسان است. پس 2/1)=2P(M)=P(OW<R/

اما در شکل 3، مثلث AAA متساوی‏الاضلاع محاط در دایره و AB وتر تصادفی است. خطی را در A بر دایره مماس کرده زاویه میان آن و AB را q می‏نامیم. AB در صورتی از ضلع مثلث محاط بزرگتر است که q بین 60 و 120 درجه باشد. از آنجا که هیچ دلیلی نداریم که q کدام مقدار بین 0 و 180 درجه باشد، اصل عدم تفاوت می‏گوید به ازای همه زاویه‏های w1، w2، و... بین 0 و 180 درجه، احتمال صدق قضایای q=w1، q=w2، و... با یکدیگر مساوی است؛ و در نتیجه فشردگی احتمال صدق قضیه q=w در فاصله 0 و 180 درجه یکسان است. پس

P(M)=P(021>q>06)=3/1

ما در شکل 4، دایره‏ای به شعاع نصف دایره اصلی و به همان مرکز رسم می‏کنیم. وتر تصادفی ABدر صورتی بزرگتر از ضلع مثلث متساوی‏الاضلاع محاط است که وسط آن وتر (W) درون دایره کوچک قرار بگیرد. اما چون هیچ دلیلی نداریم که Wاز میان نقاط دایره بزرگ، کدام نقطه خواهد بود، اصل عدم تفاوت می‏گوید به ازای همه نقاط X1، X2، و... از دایره اصلی، احتمال صدق قضایایW=X1 ، W=X2، و... با یکدیگر مساوی است؛ و در نتیجه، فشردگی احتمال صدق قضیه W=X در دامنه مساحت دایره بزرگ یکسان است. پس

4/1=pR2pR2/4=(مساحت دایره بزرگ / مساحت دایره کوچک)P(M)=P

بدین‏ترتیب، اصل‏عدم‏تفاوت‏احتمال‏مذکورراباسه‏مقدارمختلف 2/1، 3/1و4/1ارزیابی می‏کند.

و. پارادوکس سرکه و آب[231]

فرض کنید مخلوطی از سرکه و آب در اختیار داریم و تنها می‏دانیم که حداکثر نسبت یکی به دیگری 3 است. می‏خواهیم بدانیم احتمال آنکه نسبت «آب/سرکه» (سرکه به آب) کمتر یا مساوی 2 باشد چقدر است. چنانچه برای حل این مسئله، به اصل عدم تفاوت متوسل شویم، ممکن است پاسخ‏های مختلفی بیابیم که به تناقض می‏انجامد.

با توجه به آنچه درباره نسبت اجزای مخلوط می‏دانیم،

3«آب/سرکه» 3/1 و در نتیجه، به ازای همه اعداد X1، X2، و... در دامنه [3و3/1] احتمال صدق قضایای "X1=«آب/سرکه»"، "X2=«آب/سرکه»"، و... با یکدیگر مساوی است. بدین‏ترتیب، بنابر اصل عدم تفاوت، فشردگی احتمال صدق قضیه "X=«آب/سرکه»" در فاصله مزبور یکسان است. بدین‏ترتیب، احتمال آنکه این نسبت، از کل این فاصله به فاصله کمتر از 2 محدود باشد از تقسیم این محدوده به کل فاصله مزبور به دست می‏آید:

8/5=(3/1ـ3)(3/1ـ2)=(2«آب/سرکه»)P

از سوی دیگر، می‏دانیم مطلوب مسئله، یعنی تعیین احتمال آنکه نسبت «آب/سرکه» کمتر یا مساوی 2 باشد، دقیقا به معنای تعیین این احتمال است که نسبت «سرکه/آب» بیشتر یا مساوی 2/1 باشد. با توجه به معرفت‏هایی که درباره همین مخلوط داریم می‏دانیم که

3 «سرکه/آب» 3/1 و بنابر اصل عدم تفاوت و بنابر همان توضیحاتی که درباره نسبت «آب/سرکه» گفتیم، احتمال آنکه این نسبت بیشتر یا مساوی 2/1 باشد از تقسیم این محدوده بر کل فاصله مزبور به دست می‏آید و داریم:

16/15=(3/1ـ3)(2/1ـ3)=(2/1 «سرکه/آب»)P

از آنجا که می‏دانیم مفاد جملات "2 «آب/سرکه»" و"2/1 «سرکه/آب»" یکی است، و به عبارت دیگر، آنها یک قضیه هستند، نتیجه می‏گیریم که اصل عدم تفاوت موجب می‏شود که یک قضیه نسبت به معرفت‏های موجّه واحد دارای احتمال‏های معرفت‏شناختی مختلف باشد و این امر با اصل اول از اصول حساب احتمالات که هر قضیه را با توجه به معرفت‏های موجّه خاص، تنها دارای یک احتمال در فاصله 0 و 1 می‏داند، منافات دارد.

چنان‏که گفتیم، پارادوکس‏های مربوط به اصل عدم تفاوت بی‏شمارند و پارادوکس‏های بی‏شماری مشابه آنها می‏توان ایجاد کرد. به دو نمونه دیگر از این پارادوکس‏ها که آنها را بر اساس پارادوکس سرکه و آب ساخته‏ایم توجه کنید.

ز. پارادوکس تعیین عدد

عددی حقیقی بین 2 و 5 انتخاب شده است. احتمال آنکه این عدد بین 3 و 4 باشد، چقدر است؟

از آنجا که معرفت ما درباره وقوع این عدد که آن را I می‏نامیم، در هیچ محدوده‏ای در فاصله مزبور بر معرفت ما درباره وقوع آن در محدوده‏ای دیگر ترجیح ندارد، به موجب اصل عدم تفاوت، به ازای همه اعداد حقیقی X1، X2، و... بین 2 و 5 احتمال صدق قضایای I=X1، I=X2، و... با یکدیگر مساوی است؛ یعنی قضیه I=X در فاصله مزبور فشردگی احتمال یکسانی دارد. بنابراین، احتمال وقوع عدد موردنظر در محدوده اعداد 3 و 4، برابر خواهد بود با تقسیم این محدوده بر کل فاصله اعداد 2 و 5 که عبارت است از 3/1.

از سوی دیگر، می‏توان همین مسئله را چنین تفسیر کرد که عکس عدد مزبور در فاصله 5/1 و 2/1 است و مطلوب است احتمال آنکه عکس این عدد در فاصله 4/1 و 3/1 باشد. اما به دلیل آنکه معرفت ما درباره وقوع عکس عدد مزبور در هر محدوده‏ای در فاصله 5/1 و 2/1 نیز یکسان است، اصل عدم تفاوت، فشردگی یکسانی را برای احتمال صدق قضیه x/1I=/1 در همان دامنه تعیین می‏کند و در نتیجه، احتمال مزبور برابر خواهد بود با 18/15 که با پاسخ نخست متفاوت، و در نتیجه با اصل اول از اصول حساب احتمالات در تناقض است.

ح. پارادوکس نسبت سرعت

سرعت متحرک اول بین 1 تا 3 s/ mاست و سرعت متحرک دوم بین 2 تا 4 s/m. احتمال آنکه نسبت سرعت متحرک دوم به سرعت متحرک اول، بین 1 و 2 باشد، چقدر است؟

در این مسئله نسبت مزبور می‏تواند از 3/2 تا 4 تغییر کند. اما با توجه به معرفت ما و با پذیرفتن اصل عدم تفاوت، فشردگی احتمال صدق قضیه‏ای که این نسبت را عدد معینی می‏داند، در دامنه اعداد بین 3/2 تا 4 یکسان است، و در نتیجه، احتمال مزبور برابر است با 3/0.

از سوی دیگر، می‏توان همین مسئله را چنین تفسیر کرد که نسبت سرعت متحرک اول به سرعت متحرک دوم در فاصله 4/1 و 5/1 تغییر می‏کند و مطلوب است احتمال اینکه این نسبت میان 5/0 و 1 باشد. اما اصل عدم تفاوت، با تعیین فشردگی احتمال یکسان برای صدق قضیه‏ای که عکس این نسبت را عدد معینی در این فاصله می‏داند، این احتمال را برابر با 4/0 تعیین می‏کند، و این یعنی تعیین دو مقدار متفاوت برای احتمال یک قضیه نسبت به معرفت‏های یکسان، که با اصل اول حساب احتمالات ناسازگار است.

پاسخ مدافعان به پارادوکس‏ها

برخی مدافعان اصل عدم تفاوت و کسانی که از نظریه کلاسیک یا منطقی احتمال دفاع می‏کنند، کوشیده‏اند به برخی از این پارادوکس‏ها پاسخ گویند. گرچه در اینجا درصدد نقل و نقد همه این پاسخ‏ها نیستیم تنها برای نمونه به برخی از آنها اشاره می‏کنیم. قابل ذکر است که هیچ‏یک از این پاسخ‏ها به فرض درست بودن، نمی‏تواند همه این پارادوکس‏ها را حل کند. همچنین باید متذکر شویم که اصل عدم تفاوت در دیدگاه دیگران گرچه معنایی نزدیک به آنچه گفتیم دارد، دقیقا با آن یکسان نیست و بنابراین، در پاسخ‏های ارائه شده، عموما این اصل بر روی قضایا اعمال نشده است.

الف. پارادوکس‏های اول تا چهارم

کینس معتقد است اصل عدم تفاوت در صورتی جاری است که بدیل‏های ممکن تعدادشان محدود بوده، خودشان تقسیم‏ناپذیر باشند.[232] بنابر دیدگاه کینس، در پارادوکس کتاب، از آنجاکه «غیر قرمز»، به رنگ‏های دیگری نظیر آبی، سبز، زرد و... قابل تقسیم است، اصل عدم تفاوت در «قرمز و غیر قرمز» جاری نیست، و همین‏طور در «آبی و غیر آبی»، و... . اگر تعداد رنگ‏های جلد کتاب محدود باشد، باید «غیر قرمز» یا «غیر آبی» به بقیه رنگ‏ها تقسیم شود و سپس اصل مزبور میان همه آن رنگ‏ها جاری شود. در نتیجه، پاسخ درست برابر خواهد بود با عدد یک تقسیم بر تعداد رنگ‏های حاصل پس از تقسیم مزبور.

بر این اساس، باید گفت در پارادوکس دسته‏بندی نیز از آنجا که «پسر علی» و نیز «اسمی که با "ح" شروع می‏شود» به «حسن» و «حسین» قابل تقسیم هستند، باید این تقسیم صورت گیرد و سپس اصل عدم تفاوت درباره سه بدیل حاصل، جاری گردد. در نتیجه، پاسخ درست مسئله تنها 3/1 خواهد بود.

با پذیرفتن شرط کینس برای اجرای اصل عدم تفاوت، به نظر می‏رسد پاسخ مسئله لباس، 4/1 خواهد بود؛ زیرا «آمدن محمّد» به دو صورت «آمدن وی با لباس اول» و «آمدن وی با لباس دوم» قابل تقسیم است؛ پاسخی که به نظر نادرست می‏آید.

همچنین در پارادوکس پرتاب مکرر سکّه، از طرفی ممکن است بگوییم «یک شیر»، به دو حالت مختلف «اولی شیر، دومی خط» و «اولی خط، دومی شیر» قابل تقسیم است، و بنابراین، اصل عدم تفاوت تنها پس از این تقسیم قابل اجراست و در نتیجه در این مسئله، پاسخ 5/0 درست است؛ اما از سوی دیگر، ممکن است بگوییم تعداد شیر آمدن یا صفر است، یا یک، یا دو، و این تعداد به چیز دیگری قابل تقسیم نیست، و بنابراین، پاسخ درست 3/1 است. بدین‏ترتیب، معلوم نیست تقسیم‏پذیری و تقسیم‏ناپذیری در این مثال چگونه باید تشخیص داده شود و با وجود این ابهام، پارادوکس در این مسئله حل نخواهد شد.

به علاوه، کینس خود کوشیده است از اصل عدم تفاوت در مقادیر پیوسته که تعداد حالت‏هایشان نامحدود است نیز استفاده کند، در حالی که شرط اجرای این اصل را محدود بودن تعداد حالت‏ها قرار داده است. همچنین این پاسخ به فرض درستی، نمی‏تواند سایر پارادوکس‏ها را حل کند؛ علاوه بر آنکه وی دلیلی برای اثبات درستی شرط تقسیم‏ناپذیری در اجرای اصل عدم تفاوت نیز ارائه نکرده است.

شهید صدر نیز در یکی از دو پاسخ خود به این نوع پارادوکس‏ها، شبیه این راه‏حل را ارائه نموده، اما درباره مواردی که در آنها باید تقسیم صورت گیرد تفصیل داده است.[233] وی در این راه‏حل پیشنهاد می‏کند که:

1. اگر یک طرف قابل تقسیم است و تقسیم مشابه را می‏توان در سایر اطراف اجرا کرد، یا باید آن را در اطراف دیگر نیز اجرا کرد یا در هیچ طرف اجرا نکرد.

2. اگر یکی از اطراف قابل تقسیم است و تقسیم مشابه در سایر اطراف ممکن نیست، باید تقسیم را در طرفی که قابل تقسیم است اجرا کرد.

بر اساس دیدگاه وی، پارادوکس کتاب را بدین صورت می‏توان حل کرد: از آنجا که «غیر قرمز» به رنگ‏های دیگر بجز قرمز قابل تقسیم است و نیز «غیر آبی» به رنگ‏های دیگر بجز آبی، و...، ابتدا باید تقسیم‏های مزبور صورت گیرد و در نتیجه مسئله یک پاسخ درست دارد و آن عبارت است از تقسیم یک بر مجموع تعداد رنگ‏های حاصل پس از تقسیم‏های مزبور.

شهید صدر بر همین اساس، پارادوکس دسته‏بندی را پاسخ می‏گوید. در این پارادوکس، براساس شرط دوم در راه‏حلی که بیان شد، «پسر علی» قابل تقسیم به «حسن» و «حسین» است و نیز «اسمی که با "ح" شروع می‏شود» قابل تقسیم است به «حسن» و «حسین». پس این مسئله نیز یک راه‏حل درست دارد و آن 3/1 است.

همچنین ایشان بر اساس همین راه‏حل، پارادوکس لباس را پاسخ می‏دهد. همان‏گونه که «آمدن بالفعل محمّد» به دو صورت قابل تقسیم است، «آمدن بالقوّه او» نیز به دو صورت قابل تقسیم است و در نتیجه، هر یک از آمدن حسن و حسین نیز به تقسیم مشابه قابل تقسیم‏اند و بنابر شرط اول راه‏حل، یا باید همه اطراف را تقسیم کرد یا هیچ‏یک را: (آمدن محمّد با لباس اول، آمدن محمّد با لباس دوم، آمدن حسن با این قضیه شرطیه که اگر محمّد می‏آمد با لباس اول می‏آمد، آمدن حسین با این قضیه شرطیه که اگر محمّد می‏آمد با لباس اول می‏آمد، آمدن حسن با این قضیه شرطیه که اگر محمّد می‏آمد با لباس دوم می‏آمد، آمدن حسین با این قضیه شرطیه که اگر محمّد می‏آمد با لباس دوم می‏آمد) یا (آمدن محمّد، آمدن حسن، آمدن حسین). بنابراین، پاسخ درست این مسئله نیز تنها 3/1 است.

اما اولاً در پارادوکس لباس، تقسیم «آمدن حسن» و «آمدن حسین» درست به نظر نمی‏رسد؛ چه اگر این‏گونه تقسیم را بپذیریم در پارادوکس کتاب نیز ممکن است «قرمز» را بدین صورت تقسیم کنیم: «قرمز با این قضیه شرطیه که اگر غیر قرمز بود، آبی بود»، «قرمز با این قضیه شرطیه که اگر غیر قرمز بود، سبز بود»، و... . روشن است که نتیجه این تقسیمات فرضی این است که احتمال قرمز بودن 5/0 باشد که با پاسخ اول متفاوت است. ثانیا، چنان‏که گفتیم، بر این اساس، پارادوکس پرتاب مکرر سکّه پاسخ روشنی نمی‏یابد؛ و مهم‏تر آنکه دلیلی بر درستی این شرایط ذکر نشده است.

شهید صدر برای حل این‏گونه پارادوکس‏ها راه‏حل دیگری نیز ارائه کرده است.[234] وی می‏گوید: اگر تقسیم یکی از اطراف ممکن باشد و اطراف دیگر قابل تقسیم مشابه نباشند، چنانچه این اقسام اصلی باشند، هر قسم عضوی از مجموعه اطراف است، و اگر فرعی باشند، تقسیم معتبر نیست و کل آن طرف یک عضو از مجموعه اطراف است. اما تقسیم اصلی، از دیدگاه ایشان، تقسیمی است که اقسامْ حالت‏هایی هستند که در تقریر وجود و تحقق یافتن آن طرفی که تقسیم می‏شود تأثیر دارند و تقسیم فرعی تقسیمی است که اقسامْ حالت‏هایی هستند که متفرع بر وجود آن طرف هستند و در وجود و تحقق یافتن آن تأثیری ندارند.

با تطبیق این شرایط در پارادوکس کتاب، باید گفت تقسیم «غیر قرمز» به رنگ‏های دیگر اصلی است، چون کتاب بدان رنگ‏ها تحقق می‏یابد و از آنجا که «قرمز» به آنها تقسیم نمی‏شود باید تقسیم مزبور صورت گیرد. بنابراین، تنها پاسخ درست همان است که از تقسیم عدد یک بر تعداد رنگ‏های حاصل پس از تقسیم به دست می‏آید. در پارادوکس دسته‏بندی نیز، هریک از حسن و حسین، انگیزه خاص خود را برای آمدن دارند و هریک در تحققِ آمدن «پسر علی» تأثیر دارند. پس این تقسیم اصلی است و چون این تقسیم در طرف دیگر مشابه ندارد لزوما باید تقسیم صورت گیرد و بنابراین، تنها پاسخ 3/1 درست است. اما در پارادوکس لباس، لباس‏های محمّد در تحققِ آمدن وی تأثیری ندارند. پس این تقسیم فرعی است و محمّد یکی از اطراف است و تنها پاسخ 3/1 درست است. بر همین اساس، ممکن است در پارادوکس پرتاب مکرر سکّه بگوییم چون «یک شیر» قابل تقسیم است به «اولی شیر، دومی خط» و «اولی خط، دومی شیر» و این تقسیم در تحقق اینکه کدام وجه سکّه رو می‏آید مؤثر است، این تقسیم اصلی است و باید صورت گیرد و بنابراین، تنها پاسخ 5/0 برای این مسئله درست است. شهید صدر شرط مذکور در این راه‏حل را بدیهی در نظر گرفته است.

اما این پاسخ نیز قابل قبول نیست؛ زیرا، علاوه بر آنکه نمی‏توان بدون ارجاع این شرط به علم حضوری، بداهت معرفت‏شناختی آن را پذیرفت، با مثال‏هایی می‏توان نشان داد که این شرط درست نیست: به دو مثال زیر توجه کنید:

مثال اول. فرض کنید می‏دانیم آنچه از دور می‏بینیم یا انسان است یا اسب یا درخت و هیچ چیزی که موجب ترجیح یکی از آنها بر دیگری باشد نمی‏دانیم؛ اما می‏دانیم اگر آنچه می‏بینیم انسان باشد، یا محمّد است یا علی. روشن است که احتمال آنچه می‏بینیم انسان باشد 3/1 است، با اینکه محمّد یا علی بودن در تحقق و وجود انسان مؤثرند و مطابق شرط مزبور باید این تقسیم صورت گیرد و در این صورت، احتمال آنکه آنچه می‏بینیم انسان باشد 5/0 خواهد بود.

مثال دوم. در حالی که می‏دانیم قاتل «الف»، یکی از دو فرد «ب» و «ج» است، هیچ چیز در این‏باره نمی‏دانیم جز اینکه دو نفر از سه نفری که مدعی حضور در صحنه قتل هستند و معرفت ما درباره صادق بودن آنها کاملاً مساوی است، «ب» را و یک نفر «ج» را قاتل معرفی می‏کند. با اینکه شهادت این سه نفر در قاتل بودن «ب» یا «ج» و تحقق قتل به دست آنها تأثیری ندارد، روشن است که باید «قاتل بودن "ب" را به «قاتل بودن "ب" به شهادت نفر اول» و «قاتل بودن "ب" به شهادت نفر دوم» تقسیم کرد، و بر این اساس، احتمال قاتل بودن «ب» به واسطه شهادت دو نفر از سه نفر، برابر است با 3/2.

ب. پارادوکس برتراند

جینس درباره پارادوکس برتراند مقاله‏ای نگاشت[235] و گفت تنها راه‏حل اول و پاسخ 2/1 برایآن درست است. دلیل وی این بود که راه‏حل مسئله باید اصول یکنواختی[236] را تأمین کند، ویکنواختی از جهات مختلف، مقتضی آن است که تنها راه‏حل اول را معتبر بدانیم. وی بر این اساس، توزیع احتمال مطلق طول‏های وتر دایره را محاسبه کرد. سپس وی و دکتر چارلز تایلِر (Charles E. Tyler) آزمونی ترتیب دادند که در آن پوشال‏های جارو از جایگاه خاصی روی دایره‏ای به قطر 5 اینچ که در کف ترسیم شده بود پرتاب می‏شدند. نتایج 129 پرتاب، محاسبه توزیع وی را تا حدود زیادی تأیید کرد.

اما آیا اصل یکنواختی اگر قابل قبول باشد، می‏تواند همه پارادوکس‏ها را حل کند؟ خود جینس معتقد است[237] در پارادوکس سرکه و آب، این اصل ترجیحی برای هیچ‏یک از دو نسبت«آب/سرکه» و «سرکه/آب» قائل نمی‏شود و بنابراین، این پارادوکس را نمی‏توان از این راه، حل کرد.

ج. پارادوکس سرکه و آب

اشلسینگر از جانب لاپلاسی‏ها که مدافع اصل عدم تفاوت‏اند، پاسخ‏های متفاوت مسئله سرکه و آب را نشانه آن می‏گیرد که اطلاعات ما در فاصله نسبت‏های قابل فرض برای «آب/سرکه» و نیز «سرکه/آب» یکسان نیست و نتیجه می‏گیرد که برای پاسخ به این مسئله به اطلاعات بیشتری نیاز است.[238]

ممکن است سخن وی را بدین معنا بگیریم که صورت مسئله گویای آن نیست که اطلاعات ما در فاصله تغییرات کدام نسبت یکسان است و برای اجرای اصل عدم تفاوت، به اطلاعاتی در این‏باره نیازمندیم. اما این پرسش در سخن وی بی‏پاسخ می‏ماند که آیا با اطلاعات موجود، نمی‏توان هیچ مقداری برای احتمال مورد سؤال یافت؟ به عبارت دیگر، آیا قضیه «نسبت "آب/سرکه" کمتر یا مساوی 2 است» با توجه به معرفت‏های موجود، هیچ مقداری از احتمال صدق ندارد؟

میکلسون اخیرا در مقاله‏ای کوشیده است به این پارادوکس پاسخ گوید.[239] وی پیشنهادمی‏کند به جای آنکه نسبت سرکه و آب به یکدیگر را بسنجیم، مقدار آنها را در مخلوط در نظر بگیریم. با توجه به اینکه مقدار هر کدام از سرکه و آب در مخلوط بین 4/1 و 4/3 مخلوط است، مطلوب مسئله برابر است با تعیین احتمال آنکه نسبت سرکه به مخلوط کمتر یا مساوی با 3/2 باشد یا نسبت آب به مخلوط بیشتر یا مساوی با 3/1 باشد که در نتیجه احتمال مزبور برابر خواهد بود با 6/5.

وی این راه‏حل را «روش تقارن» می‏نامد و معتقد است در این روش، اصل عدم تفاوت به جای نسب بر روی مقادیر اجرا می‏شود و دلایل زیر را برای دفاع از این پاسخ ذکر می‏کند:

1. پاسخی که از این راه‏حل به دست می‏آید، به نحوه طرح سؤال بستگی ندارد، در حالی که پاسخ‏های دو راه‏حلی که منجر به پارادوکس می‏شوند بستگی به نحوه طرح سؤال دارند.

2. دو راه‏حلی که منجر به پارادوکس می‏شوند، برخلاف راه‏حل روش تقارن، نیازمند پیش‏فرض‏هایی غیرموجّه هستند. برای مثال، راه‏حل اول مبتنی بر این پیش‏فرض است که احتمال آنکه سرکه از آب بیشتر باشد بیشتر است، و راه‏حل دوم بر این پیش‏فرض مبتنی است که احتمال آنکه آب از سرکه بیشتر باشد بیشتر است. نیز اگر محدوده نسبت سرکه به آب (یا بر عکس) را به جای 3 و 3/1 به صفر و بی‏نهایت افزایش دهیم به این نتیجه نامعقول می‏رسیم که مخلوط تنها حاوی سرکه (یا تنها حاوی آب) است! (زیرا، در این فرض که بدانیم نسبت یکی به دیگری از صفر تا بی‏نهایت است، دامنه تغییر نسبت‏ها از عدد صفر تا بی‏نهایت است و بنابر اصل عدم تفاوت در نسبت سرکه به آب، که احتمال وقوع هریک از این نسبت‏ها را مساوی می‏داند، احتمال آنکه این نسبت، عدد بسیار بزرگی باشد بسیار بیشتر است و بنابراین باید بپذیریم که مخلوط تنها حاوی سرکه است، و چنانچه این اصل را در نسبت آب به سرکه جاری کنیم، باید نتیجه بگیریم که مخلوط تنها حاوی آب است).

3. به جای این راه‏حل، راه‏حل دیگری نیز می‏توان در نظر گرفت و آن استفاده مجدد از اصل عدم تفاوت در نتایج حاصل از دو راه‏حل منجر به پارادوکس است. اما باید توجه داشت که اگر بخواهیم این راه‏حل را به کار ببریم، باید مقدار انحراف‏های توزیع احتمال را هم متعادل کنیم و از آنجا که تعداد و نوع انحراف‏های قابل فرض، بی‏نهایت است، باید معدل همه آنها را محاسبه کنیم که اگر چنین کاری انجام شود، پاسخ همان خواهد بود که با روش تقارن به دست می‏آید. اما روش تقارن عملی‏تر است.

4. علاوه بر دلایل «سطحی» فوق، دلیل «عمیقی» که موجب ترجیح روش تقارن می‏شود این است که در این روش، بر «واقعیت‏های اولیه» برای اجرای اصل عدم تفاوت تکیه شده است، نه بر «واقعیت‏های استنتاجی»؛ زیرا، آنچه مستقیما از واقعیت به دست می‏آید، مقدار خاص سرکه و آب در ترکیب است؛ اما نسبت خاص میان این دو مقدار، واقعیتی استنتاجی است که بر حسب آن مقادیر تعیین می‏شود. بدین‏ترتیب، این راه‏حل، شکلی عادی و متعادل از واقع‏گرایی است.

اما در پاسح میکلسون مواردی قابل مناقشه به نظر می‏رسد:

1. در روش وی (روش تقارن) نیز اصل عدم تفاوت بر روی نسب جاری شده است، نه مقادیر. این نسب یا نسب «مخلوط/سرکه» است یا نسب «مخلوط/آب».

2. پاسخ وی با ظاهر صورت مسئله ناسازگار است؛ زیرا ظاهر صورت مسئله این است که معرفت ما درباره نحوه تغییرات نسب «آب/سرکه» یا بالعکس یکسان است. اما وی این تغییرات را در نسب دیگری یکسان انگاشته است که لازمه آن، هم یکسان نبودن تغییرات نسب «آب/سرکه» است، هم یکسان نبودن تغییرات «سرکه/آب»، و چنان‏که در پاسخ خود به این پارادوکس نشان خواهیم داد، پاسخ وی با پاسخ مبتنی بر یکسان کردن تغییرات نسبت‏های مزبور نسبت به هم (یعنی اجرای اصل عدم تفاوت بر روی تغییرات هم‏زمان دو نسبت مزبور) نیز هماهنگ نیست. بنابراین، نه تنها پاسخ وی نیز به نحوه طرح سؤال بستگی دارد، بلکه با ظاهر سؤال نیز ناسازگار است. به علاوه، به فرض آنکه این پاسخ به نحوه طرح سؤال بستگی نداشته باشد، آیا ممکن نیست پاسخ یا پاسخ‏های دیگری برای مسئله یافت که آنها نیز به نحوه طرح سؤال بستگی نداشته باشند؟

3. گرچه دو راه‏حلی که منجر به پارادوکس می‏شوند مبتنی بر برخی پیش‏فرض‏هایی هستند که ممکن است بنابر ظاهر، صورت مسئله درصدد بیان آنها نباشد، و بنابراین، این پیش‏فرض‏ها غیرموجّه باشند، روش تقارن نیز مبتنی بر این پیش‏فرض به ظاهر غیرموجّه است که درباره نسبت هریک از سرکه و آب به مخلوط در تمام فاصله بین 4/1 و 4/3 معرفت ما کاملاً یکسان است.

4. در صورتی که مفروضات مسئله این امکان را بدهد که از اصل عدم تفاوت در نسبت «آب/سرکه» استفاده کنیم، حتی با توسعه دامنه تغییرات این نسبت به صفر و بی‏نهایت، نتیجه‏ای نامعقول به دست نمی‏آید. فرض کنید ابتدا عددی از بین اعداد صفر تا بی‏نهایت را به طور تصادفی انتخاب می‏کنیم و عدد مزبور را nمی‏نامیم. آن‏گاه به نسبت n و 1، سرکه را با آب مخلوط می‏کنیم. در این صورت، می‏پذیریم که احتمال آنکه n عدد بسیار بزرگی باشد بیشتر است و بنابراین، احتمال آنکه تقریبا تمامی مخلوط حاوی سرکه باشد بیشتر است.

5. چنان‏که در پاسخ خود به این پارادوکس توضیح خواهیم داد، با فرض آنکه صورت مسئله به گونه‏ای باشد که از آن بتوان یکسان بودن تغییرات هم‏زمان نسبت‏های «آب/سرکه» و بر عکس را فهمید، متعادل کردن نحوه توزیع این تغییرات، نیازمند فرض گرفتن بی‏نهایت نحوه توزیع تغییرات برای هر یک نیست، و پاسخ حاصل نیز با پاسخ میکلسون متفاوت است.

6. اشکال دیگری که در این پاسخ وجود دارد مربوط به دلیل عمیقی است که وی بر درستی این راه‏حل ارائه کرده است. در این راه‏حل، مقصود از واقعیت‏های اولیه روشن نیست. میکلسون در ابتدای مقاله خود تأکید می‏کند که احتمال مورد بحث در این مسئله احتمال معرفتی است، نه احتمال عینی. بدین‏ترتیب، مناسب بود خود وی از این نکته نتیجه بگیرد که واقعیت‏های اولیه‏ای که احتمال باید بر مبنای آنها محاسبه شود بستگی به معرفت‏های مستقیمی دارند که از صورت مسئله برداشت می‏شوند؛ زیرا آنچه ما در این مسئله با آن مواجه هستیم، معرفت‏هایی مفروض است، نه واقعیتی عینی. تعبیرهای «واقعیت اولیه» و «واقعیت استنتاجی» در راه‏حل میکلسون، شبیه به تعابیر «تقسیم اصلی» و «تقسیم فرعی» در راه‏حل شهید صدر است که بررسی آن گذشت.

حل پارادوکس‏ها

الف. راه‏حل پارادوکس کتاب

در پارادوکس کتاب، ظاهرا حالتی فرض شده است که ما هیچ معرفت دیگری درباره رنگ جلد کتاب و نوع انتخاب آن نداریم و نیز گویا فرض شده است که می‏دانیم جلد کتاب تنها به یک رنگ است، و مثلاً چنین نیست که بخشی به رنگ آبی و بخشی به رنگ قرمز باشد. در این صورت، ممکن است پرسش مسئله، پرسشی باشد که هر کس از خود می‏پرسد. برای مثال، من با توجه به مفاهیمی که از رنگ‏ها در ذهن دارم و انواع رنگی که برای استفاده در جلد کتاب ممکن می‏دانم از خود می‏پرسم: «احتمال آنکه رنگ جلد این کتاب قرمز باشد چقدر است.» در این حالت، به تعداد افرادی که پرسش برایشان مطرح است، سؤال وجود دارد و ممکن است به همان تعداد نیز جواب‏های متفاوت داشته باشیم. راه یافتن پاسخ در هر مورد این است که پرسش‏کننده به مفاهیمی که از رنگ‏ها مدّنظر دارد و انواع رنگی که برای استفاده در جلد کتاب ممکن می‏داند مراجعه کند و بر اساس آن مسئله خود را حل کند. برای مثال، ممکن است مقصود من از «قرمز»، طیف پیوسته‏ای از رنگ‏ها باشد که در طیف همه رنگ‏ها، پس از صورتی پررنگ و پیش از قهوه‏ای کم‏رنگ قرار می‏گیرد. نیز تعداد انواع رنگ‏هایی را که ممکن است برای جلد کتاب استفاده شوند با توجه به مفاهیمی که از رنگ‏ها مدّنظر دارم، 10 نوع بدانم. در این حالت، احتمال آنکه رنگ جلد کتاب به یکی از این انواع باشد، برابر است با 1/0؛ زیرا اصل عدم تفاوت تنها درباره قضایایی جاری است که رنگ جلد کتاب را به یکی از انواع 10گانه مزبور می‏دانند. اما اگر مقصود من از هر رنگ، دقیقا یک مقطع از طیف پیوسته رنگ‏ها باشد، احتمال آنکه رنگ جلد کتاب مزبور یکی از این رنگ‏ها باشد عبارت است از /1 که بی‏نهایت به صفر نزدیک است، و البته دقیقا مساوی صفر نیست؛ زیرا در طیف پیوسته رنگ‏ها بی‏نهایت مقطع می‏توان فرض کرد که رنگ جلد کتاب دقیقا یکی از آنهاست و معرفت من درباره اینکه رنگ جلد کتاب مزبور کدام‏یک از آنهاست کاملاً مساوی است.

اما چنانچه مقصود از پرسش مسئله، پرسشی باشد که طراح مسئله از ما می‏پرسد، در این صورت، باید با استفاده از استظهارات کلامی، مقصود از «قرمز» و تعداد انواع رنگ را بر اساس تلقّی عرفی از انواع رنگ تعیین کرد و سپس به مسئله پاسخ داد. این کار، گرچه واقعا بسیار دشوار است، نه اصولاً به لحاظ عقلی غیرممکن است، و نه منجر به پارادوکس می‏شود.

چنان‏که گفتیم پاسخ‏های مزبور، مطابق ظاهر صورت مسئله، بر این اساس است که درباره نحوه انتخاب رنگ برای جلد کتاب هیچ معرفت دیگری نداریم. اما اگر مفروضات دیگری به این مسئله بیافزاییم، پاسخ متفاوت خواهد بود. برای مثال، فرض کنید می‏دانیم رنگ جلد کتاب بدین وسیله تعیین می‏شود که با پرتاب یک سکّه، چنانچه شیر بیاید رنگ آن را قرمز و در صورتی که خط بیاید رنگ آن را رنگی غیر از قرمز انتخاب می‏کنند. روشن است که در صورت اخیر، احتمال آنکه رنگ جلد کتاب مزبور قرمز باشد برابر است با آنکه رنگ آن غیرقرمز باشد و هریک برابر است با 5/0؛ زیرا در این صورت، معرفت‏های ما درباره صدق هریک از این دو قضیه کاملاً با دیگری مساوی است. نیز می‏توان برای نحوه انتخاب رنگ جلد کتاب یا مقصود از «رنگ» یا تعداد انواع رنگ، مفروضات دیگری در نظر گرفت. اما باید توجه داشت که مفروضاتی مانند آنچه گفتیم با یکدیگر ناسازگارند و ممکن نیست با هم صادق باشند و بنابراین، ممکن نیست اصل عدم تفاوت هم درباره 10 قضیه جاری شود، هم درباره بی‏نهایت قضیه، و هم دو قضیه، به طوری که در هر حال، یکی از قضایا این باشد که «رنگ جلد کتاب مزبور قرمز است». بنابراین، مسئله در هر فرض تنها یک پاسخ درست دارد، نه چند پاسخ. بلکه باید گفت مسئله مزبور با احتساب مفروضات مزبور، در واقع یک مسئله نیست؛ بلکه مسائل مختلفی است که هریک، تنها یک پاسخ درست دارد.

از حل این پارادوکس نتیجه می‏گیریم که یک مسئله، در صورتی یک مسئله است، که سؤال آن کاملاً روشن باشد؛ زیرا ابهام در سؤال موجب تردید میان چند سؤال می‏شود. اما آیا برای آنکه یک مسئله، یک مسئله باشد لازم است معرفت‏های ما درباره آن سؤال نیز کاملاً روشن باشد؟ در این‏باره، در حل پارادوکس‏های بعد نکاتی خواهیم یافت.

ب. راه‏حل پارادوکس دسته‏بندی

در پارادوکس دسته‏بندی، چنان‏که از صورت مسئله ظاهر است، معرفت ما درباره آمدن هریک از سه نفر با معرفت‏های ما درباره آمدن هریک از دو نفر دیگر مساوی است، و بنابراین، اصل عدم تفاوت تنها درباره سه قضیه که هریک، از آمدن یکی از این سه نفر خبر می‏دهند جاری است. البته ممکن است معرفت‏های دیگری در این‏باره داشته باشیم که به تبع، پاسخ مسئله را تغییر دهند. برای مثال، فرض کنید با معرفت معتبری می‏دانیم که یا محمّد می‏آید یا علی و نیز با معرفت معتبری می‏دانیم که اگر علی بیاید یکی از دو پسر خود ـ حسن و حسین ـ را با خود می‏آورد. در این صورت نیز ما نمی‏دانیم کدام‏یک از محمّد، حسن و حسین می‏آیند؛ اما معرفت ما درباره آمدن این سه نفر مساوی نیست، و با توجه به معرفت‏های مفروض، تنها پاسخ درست برای احتمال آمدن محمّد 5/0 است. نیز ممکن است بدانیم که این سه نفر برای آمدن به این صورت عمل می‏کنند: با پرتاب سکّه، اگر شیر بیاید کسی می‏آید که حرف اول نامش «م» باشد و اگر خط بیاید کسی می‏آید که حرف اول نامش «ح» باشد. اما درباره اینکه اگر خط بیاید چگونه تعیین می‏کنند که حسن بیاید یا حسین هیچ نمی‏دانیم، یا می‏دانیم که بار دیگر با پرتاب سکّه اگر شیر بیاید، حسن می‏آید و اگر خط بیاید، حسین. در این صورت نیز پاسخ مسئله 5/0 است.

ج. راه‏حل پارادوکس لباس

پاسخ پارادوکس لباس نیز شبیه به پاسخ پارادوکس دسته‏بندی است. ظاهر صورت مسئله این است که معرفت ما درباره آمدن هریک از محمّد، حسن و حسین با معرفت‏های ما درباره آمدن دو نفر دیگر مساوی است. در این صورت، اصل عدم تفاوت تنها درباره سه قضیه‏ای که از آمدن یکی از آنها خبر می‏دهد جاری است و احتمال 3/1 برای آمدن محمّد درست است. قابل تقسیم بودن «آمدن محمّد» به «آمدن وی با لباس اول» و «آمدن وی با لباس دوم» ارتباطی با حل مسئله ندارد؛ زیرا پس از تقسیم، معرفت ما درباره قضایای حاصل مساوی نیست تا اصل عدم تفاوت درباره آنها جاری شود.

اما در همین مسئله، اگر بدانیم ابتدا یکی از لباس‏های چهارگانه این سه نفر را انتخاب می‏کنند ـ به گونه‏ای که معرفت ما درباره اینکه کدام‏یک از این چهار لباس ابتدائا انتخاب می‏شوند دقیقا با آنچه درباره انتخاب سایر لباس‏ها می‏دانیم مساوی باشد ـ و سپس صاحب لباس با پوشیدن لباس خود می‏آید، تنها پاسخ 5/0 درست است.

د. راه‏حل پارادوکس پرتاب مکرر سکّه

با توجه به آنچه گفتیم پارادوکس پرتاب مکرر سکّه نیز راه‏حل درست خود را می‏یابد. با توجه به آنچه ظاهر صورت مسئله نشان می‏دهد مقصود آن است که ما هیچ معرفتی درباره شیر یا خط آمدن سکّه در هیچ پرتابی نداریم، جز آنکه می‏دانیم در هر پرتاب یا شیر می‏آید یا خط. در این صورت، تنها پاسخ 5/0 درست است.

ه . راه‏حل پارادوکس برتراند

در پارادوکس برتراند، پارادوکس ناشی از این است که سه نحوه مختلف برای انتخاب تصادفی وتر، یکسان انگاشته شده‏اند. پاسخ اول مبتنی بر این است که از نقاط شعاع مفروضی از دایره، نقطه‏ای به طور تصادفی انتخاب شده، وتر عمود بر آن را در نظر می‏گیریم، یا از میان خطوطی از صفحه که از دایره می‏گذرند، یکی از آنها را به طور تصادفی انتخاب کرده، قسمتی از آن را که محدود به دایره است در نظر می‏گیریم، یا نقطه‏ای در درون یا روی محیط دایره و نقطه‏ای بیرون دایره به طور تصادفی انتخاب کرده با وصل کردن آنها خطی را تشکیل می‏دهیم و قسمتی از آن را که محدود به دایره است در نظر می‏گیریم. راه‏حل دوم مبتنی بر این است، که با تعیین تصادفی یک نقطه از محیط دایره، یکی از خطوطی را که از آن می‏گذرد به طور تصادفی انتخاب می‏کنیم. راه‏حل سوم مبتنی بر این است که از نقاط سطح دایره نقطه‏ای را به طور تصادفی در نظر گرفته وتری را که این نقطه وسط آن است در نظر می‏گیریم. طبیعی است که در این صورت، مسائل مختلف با پاسخ‏های احیانا متفاوت داریم؛ زیرا معرفت‏های ما در همه این فرض‏ها یکسان نیست. این اختلاف ناشی از این است که تغییرات فاصله روی خط مستقیم شعاع و خط منحنی محیط دایره نمی‏توانند یکسان باشند.

برای روشن شدن این مطلب، فرض کنید متحرکی با سرعت ثابت روی شعاع دایره حرکت کند و سایه آن روی دایره بیفتد. با اینکه سرعت خود متحرک، ثابت است، سرعت حرکت سایه متحرک مفروض روی دایره متغیر است، چون شعاع، خط مستقیم است و دایره منحنی است.

بنابراین، اگر نحوه انتخاب وتر به صورت انتخاب نقطه‏ای روی شعاعی دلخواه از دایره و در نظر گرفتن خط عمود بر آن باشد، قضایای مزبور در دامنه شعاع دایره، فشردگی احتمال صدق یکسانی دارند، اما فشردگی صدق آنها، در دامنه نقاط محیط دایره یکسان نیست. بنابراین، ممکن نیست اصل عدم تفاوت را درباره این دو دسته قضیه با هم جاری کنیم.

بدین ترتیب، اگر مفروضات مسئله، نحوه انتخاب تصادفی وتر را نشان دهند، پاسخ معین مسئله معلوم می‏شود. در غیر این صورت، یعنی چنانچه همه احتمالات مذکور درباره نحوه انتخاب تصادفی وتر وجود داشته باشد، بنابر اصل عدم تفاوت، احتمال مزبور برابر با میانگین احتمال‏های حاصل از راه‏های مختلف ممکن برای انتخاب وتر خواهد بود. مثلاً اگر سه راه منجر به احتمال 2/1 و یک راه منجر به احتمال 3/1 و یک راه منجر به احتمال 4/1 می‏شوند و درباره اینکه انتخاب وتر به کدام‏یک از این پنج راه انجام می‏شود هیچ نمی‏دانیم، اصل عدم تفاوت می‏گوید احتمال آنکه وتر به هریک از این پنج راه انتخاب شود مساوی است، و در نتیجه، احتمال انتخاب وتری با ویژگی مزبور برابر خواهد بود با 12/5 =5/(4/1+3/1+2/3).

اما به نظر می‏رسد ظاهر صورت مسئله با برخی از این نحوه‏های انتخاب وتر سازگار نیست. آنچه از ظاهر صورت مسئله استفاده می‏شود آن است که مستقیما انتخاب خود وتر تصادفی است، نه آنکه انتخاب نقطه‏ای از محیط دایره تصادفی است و به تبع آن، وتری از میان وترهایی که از آن نقطه می‏گذرند به طور تصادفی انتخاب می‏شود، یا انتخاب نقطه وسط وتر تصادفی است، و انتخاب وتر به تبع آن صورت می‏گیرد. به علاوه، پارادوکس اصلی در این مسئله مربوط به احتمال نیست، بلکه مربوط به نحوه دسته‏بندی بی‏نهایت‏هاست. برای آنکه مطلب روشن‏تر شود، ممکن است مسئله را به گونه‏ای دیگر طرح کنیم: فرض می‏کنیم همه وترهای بی‏شمار یک دایره را به طور کاملاً تصادفی، و نه به ترتیبی خاص، شماره‏گذاری کرده‏ایم. یک شماره را به طور تصادفی انتخاب می‏کنیم. احتمال آنکه طول وتری که شماره آن به طور تصادفی انتخاب شده است، بیش از طول ضلع مثلث محاط در آن دایره باشد چقدر است؟ روشن است که نسبت مذکور، نسبت دو بی‏نهایت است و با دسته‏بندی این دو بی‏نهایت می‏توان مقدار نسبت را محاسبه کرد. اما دسته‏بندی این دو بی‏نهایت به صور مختلفی ممکن است که پاسخ آنها می‏تواند متفاوت باشد. بنابراین، پارادوکس اصلی مربوط به این است که نحوه دسته‏بندی‏های متفاوت این دو بی‏نهایت، منجر به پاسخ‏های متفاوت برای نسبت آنها می‏شود. به عبارت دیگر، پارادوکس این است که تعیین نسبت وترهایی از یک دایره که طول آنها بیش از طول ضلع مثلث متساوی‏الاضلاع محاط در آن است به کل وترهای آن دایره به شیوه‏های مختلف، پاسخ‏های متفاوت دارد. برای پاسخ به این مسئله، کافی است به تعریف دقیق وتر مراجعه کنیم و بر اساس آن، آنها را به طور کاملاً یکسان دسته‏بندی کنیم. اگر این تعریف را برای وتر بپذیریم که «وتر پاره‏خطی از صفحه دایره است که دو سر آن، دو نقط روی محیط دایره است»، بنابر آنچه در نحوه انتخاب تصادفی وتر گفتیم، نیمی از خطوطی که از صفحه دایره می‏گذرند دارای این ویژگی هستند. در نتیجه، با این تعریف از وتر، نسبت وترهایی از یک دایره که طول آنها بیش از طول ضلع مثلث متساوی‏الاضلاع محاط در آن است به کل وترهای آن دایره، برابر است با 2/1. شاید بتوان پاسخ جینس را نیز ناظر به مسئله اخیر دانست.

و. راه‏حل پارادوکس سرکه و آب

در پارادوکس سرکه و آب نیز مشابه همان خطایی که در پارادوکس برتراند اتفاق افتاده، رخ داده است. خطای اساسی این است که اصل عدم تفاوت در یک مسئله برای دو دسته قضیه متفاوت به کار برده شده است که تغییرات احتمال صدقشان نمی‏تواند یکسان باشد. برای مثال، ما می‏دانیم اگر تغییرات X یکسان باشد، تغییرات x/1 نمی‏تواند یکسان باشد؛ یعنی تغییرات یک نسبت و تغییرات عکس آن نسبت ممکن نیست یکسان باشند. این امر به سادگی از روی نمودار تابع x/1 y=که تابعی منحنی است، معلوم می‏شود.

بنابراین، مطابق فرض مسئله که می‏دانیم 3 «آب/سرکه» 3/1 و 3 «سرکه/آب» 3/1، نمی‏توانیم معرفتمان را درباره تغییرات نسبت «آب/سرکه» و «سرکه/آب» از 3/1 تا 3 هم‏زمان یکسان فرض کنیم؛ زیرا، یکسان فرض کردن معرفت ما درباره تغییرات یکی مستلزم آن است که بدانیم معرفت ما درباره تغییرات نسبت عکس یکسان نیست.

اکنون درباره مسئله سرکه و آب چند فرض قابل تصور است:

1. درباره اینکه تغییرات یکی از دو نسبت معین «آب/سرکه» و «سرکه/آب» در فاصله 3 و 3/1 یکسان است، به طور معین، معرفتی موجّه داریم. برای مثال، ممکن است این معرفت موجّه ناشی از آن باشد که بدانیم ابتدا عددی را به طور تصادفی در فاصله اعداد 3 و 3/1 انتخاب کرده‏اند و سپس، به نسبت همان عدد و یک، سرکه را با آب مخلوط کرده‏اند. در این صورت، اصل عدم تفاوت تنها درباره قضایای همان دسته معین جاری است؛ یعنی در این مثال، اصل عدم تفاوت تنها درباره قضایای مربوط به نسبت «آب/سرکه» جاری است، و به دلیلی که گفتیم، در نسبت «سرکه/آب» جاری نیست و تنها پاسخ نخست درست است. همچنین اگر با معرفتی موجّه بدانیم که تغییرات نسبت «سرکه/آب» یکسان است، اصل عدم تفاوت تنها درباره قضایای مربوط به این نسبت جاری است و نه درباره قضایای مربوط به نسبت «آب/سرکه». پس در هر صورت، مسئله تنها یک پاسخ معین درست دارد.

2. فرض دوم آن است که بدانیم تغییرات یکی از دو نسبت معین فوق یکسان است؛ اما به طور معین ندانیم تغییرات کدام نسبت. دانستن این امر، ممکن است ناشی از آن باشد که می‏دانیم ابتدا عددی را در فاصله اعداد 3 و 3/1 انتخاب کرده‏اند و سپس، به نسبت همان عدد و یک، یکی از دو مایع را با دیگری مخلوط کرده‏اند، اما ندانیم سرکه را با آب به این نسبت مخلوط کرده‏اند، یا آب را با سرکه. در این صورت، اصل عدم تفاوت جداگانه درباره هریک جاری می‏شود و آن‏گاه با استفاده مجدد از اصل عدم تفاوت در ترجیح پاسخ‏ها، معدل پاسخ‏ها را محاسبه می‏کنیم. پاسخ درست در این فرض عبارت است از 32/25.

3. فرض سوم این است که درباره تغییرات هیچ‏یک از دو نسبت مزبور هیچ معرفتی بیش از دیگری نداشته باشیم. به عبارت دیگر، آنچه درباره تغییرات نسبت «آب/سرکه» می‏دانیم با آنچه درباره تغییرات نسبت «سرکه/آب» می‏دانیم مساوی باشد و هیچ معرفت دیگری نیز بجز آنچه در صورت مسئله آمده است، درباره این مخلوط نداشته باشیم. در این صورت، اصل عدم تفاوت می‏گوید هر احتمالی درباره یکی از دو نسبت دقیقا برای دیگری نیز وجود دارد. اگر یکی از دو نسبت مذکور را X بنامیم، نسبت دیگر x/1، خواهد بود. بدین جهت، صرف‏نظر از اینکه هریک از دو نسبت چگونه تغییر می‏کنند، باید نحوه تغییرات این دو نسبت را یکسان فرض کنیم. برای این کار کافی است به ازای هر نقطه از نقاط فاصله اعداد 3 و 3/1، بجای آنکه عدد خاصی را برای یکی از دو نسبت مزبور به طور معین، فرض کنیم، معدل دو نسبت مزبور را به ازای آن نقطه محاسبه کنیم و تغییرات را در فاصله این نقاط یکسان فرض کنیم. برای مثال، اگر نسبت «آب/سرکه» برابر با 3 باشد، نسبت «سرکه/آب» برابر با 3/1 است و معدل این دو نسبت برابر است با 3/5=2(3/1+3). پس بجای آنکه تغییرات یکی از دو نسبت را به طور معین با X و تغییرات دیگری را با x/1 نشان دهیم باید میانگین این دو، یعنی 2(x/1+x) را برای تغییرات هر دو به کار ببریم. هنگامی که هریک از دو نسبت مزبور در فاصله اعداد 3 و 3/1 تغییر می‏کنند، معدل این دو نسبت در فاصله اعداد 3/5 و 1 دو بار تغییر می‏کند. اگر تغییرات معدل دو نسبت را که بر حسب تغییرات دو نسب مزبور تغییر می‏کند با f(x)نشان دهیم می‏توانیم تغییرات f(x) را متناظر با تغییرات X (یا x/1) به صورت زیر نشان دهیم:

اکنون می‏توانیم احتمال آنکه نسبت «آب/سرکه» کمتر یا مساوی 2 باشد، را برحسب تابع جدید که تغییرات یکسان دارد، محاسبه کنیم. از آنجا که به ازای 2=x، 4/5 = f(x)این احتمال برحسب تابع جدید برابر است با 16/11= (3/4)/[1ـ4/5)+ (1ـ3/5)].

این احتمال را می‏توان از این طریق نیز به دست آورد: احتمال آنکه نسبت «آب/سرکه» بیشتر یا مساوی 2 باشد، برحسب تابع جدید برابر است با 16/5= (3/4)/(4/5ـ 3/5). در نتیجه، احتمال آنکه این نسبت کمتر یا مساوی با 2 باشد برابر است با 16/11= 16/5ـ1.

همچنین می‏توان از همین راه، احتمال آنکه نسبت «سرکه/آب» بیشتر یا مساوی 2/1 باشد را نیز محاسبه کرد که پاسخ همین مقدار خواهد بود.

4. فرض دیگر این است که بدانیم تغییرات نسبت «مخلوط/سرکه» یا «مخلوط/آب» یکسان است. در این صورت، اصل عدم تفاوت تنها درباره قضایای مربوط به این نسبت‏ها جاری است. این همان فرضی است که میکلسون پاسخ مسئله را بر آن مبتنی ساخته است و پاسخ وی در این فرض درست است.

5. فرض دیگری که می‏توان در نظر گرفت این است که این احتمالْ خود ناشی از احتمال دیگری درباره مقدار آب و سرکه باشد. مثلاً می‏دانیم مقداری آب و مقداری سرکه، هریک بین 1 تا 3 لیتر داشته‏ایم. می‏خواهیم بدانیم پس از مخلوط کردن آنها احتمال آنکه نسبت «آب/سرکه» کمتر یا مساوی 2 باشد چقدر است. فرض اخیر با تمام فرض‏های پیشین متفاوت است؛ زیرا در این صورت، اصل عدم تفاوت در مقادیر سرکه و آب جاری است و تغییر احتمال، درباره نسبت «آب/سرکه»، «سرکه/آب»، «مخلوط/سرکه» و «مخلوط/آب» در این فرض، تابع تغییرات یکسان احتمال درباره دو متغیر دیگر است. برای تعیین احتمال مزبور از نمودار زیر کمک می‏گیریم:

چنان‏که مشاهده می‏شود هریک از نقاط سطح مربع، نشان‏دهنده یکی از فرض‏های محتملی است که تابع تغییرات یکسان مقدار آب روی یک خط مستقیم، و تغییرات یکسان مقدار سرکه روی خط مستقیم دیگر است. مجموعه همه این فرض‏ها که به طور مساوی محتمل هستند، مساحت مربع را تشکیل می‏دهند. اما مجموعه همه فرض‏هایی که در آنها نسبت «آب/سرکه» کمتر یا مساوی با 2 است، مساحت قسمت هاشور خورده را تشکیل می‏دهند. در نتیجه، احتمال مزبور برابر است با نسبت مساحت قسمت هاشور خورده به مساحت کل مربع و برابر است با 16/15.[240]

اما از میان پنج فرضی که بیان کردیم، به نظر می‏رسد فرض سوم با ظاهر صورت مسئله سازگارتر است. به عبارت دیگر، ممکن است از نحوه طرح سؤال چنین استظهار شود که مفروضات مسئله همان است که در فرض سوم آوردیم و بنابراین، پاسخ صحیح مسئله مزبور به صورتی که طرح کردیم، 16/11 است. اما چنانچه درباره اینکه صورت مسئله کدام فرض را بیان می‏کند معرفت ما میان چند فرض یکسان باشد، بنابر اصل عدم تفاوت باید معدل پاسخ آن فرض‏ها را محاسبه و به عنوان پاسخ مسئله در نظر بگیریم.

ز. راه‏حل پارادوکس تعیین عدد

در این پارادوکس، ظاهر صورت مسئله این است که معرفت‏های ما درباره اینکه خود عدد مزبور به کدام عدد در فاصله مزبور نزدیک‏تر است یکسان است و بنابراین، تغییر احتمال قضایا درباره فاصله اعداد 2 تا 5 یکسان است. در این صورت، تنها پاسخ 3/1 درست است؛ هرچند از آن به گونه‏ای دیگر تعبیر کنیم. اما پاسخ دیگر مربوط به مسئله دیگری است که مفروض آن یکسانی تغییر احتمال قضایا درباره فاصله 5/1 و 2/1 است، و همان‏گونه که گفتیم تغییر در هر دو فاصله نمی‏تواند هم زمان یکسان باشد و بنابراین، مقدار این دو احتمال مساوی نیستند.

ح. راه‏حل پارادوکس نسبت سرعت

ظاهر صورت مسئله در این پارادوکس، مشابه فرض پنجم در پارادوکس سرکه و آب است و براساس نمودار، مقدار احتمال آنکه نسبت سرعت متحرک دوم به سرعت متحرک اول، بین 1 و 2 باشد، برابر است با 8/5.

نتیجه‏گیری

چنان‏که دیدیم، در همه پارادوکس‏های مزبور، مسائلی طرح شده‏اند که در حل هر یک، باید پاسخ را نسبت به مفروضات مسئله به دست آوریم. بدین‏ترتیب، بنابر تفسیر منطقی احتمال، حل هریک از این مسائل، عبارت است از به دست آوردن یک احتمال منطقی نسبت به مفروضات خاص آن مسئله به عنوان قضایایی که معرفت بدانها یقینی فرض شده است. و بنابر احتمال معرفت‏شناختی، حل هریک از این مسائل عبارت است از به دست آوردن یک احتمال معرفت‏شناختی نسبت به مفروضات خاص آن مسئله به عنوان معرفت‏هایی که به صورت معرفت یقینی معتبر فرض شده‏اند و نسبت به معرفت‏های معتبر لازم دیگر. در نتیجه، برای حل این مسائل، تحلیل مفروضات مسئله و یافتن اینکه بنابراین مفروضات، معرفت‏های ما درباره کدام قضایا دقیقا با یکدیگر مساوی فرض شده‏اند، بخش مهمی از کار محاسبه‏گر است.

اما اگر مفروضات خاص مسئله نتوانند نشان دهند که معرفت‏های ما درباره کدام قضایا با یکدیگر مساوی فرض شده‏اند، با فرض‏های مختلف می‏توان به پاسخ‏های مختلف دست یافت. این دقیقا مانند آن است که در سایر مسائل، مفروضات مسئله برای تعیین یک پاسخ یقینی کافی نباشند. به مثال زیر توجه کنید: فرض کنید متحرکی در هر ثانیه یک متر راه می‏پیماید. مطلوب است تعیین مسافت پیموده شده توسط این متحرک.

روشن است که به این مسئله نمی‏توان یک پاسخ معین داد. ممکن است کسی در پاسخ این مسئله بگوید فرض می‏کنیم متحرک مزبور یک ثانیه راه رفته است و بنابراین، نتیجه بگیرد که مسافت پیموده شده توسط او یک متر است؛ بار دیگر فرض بگیرد که او دو ثانیه راه پیموده و نتیجه بگیرد که مسافت پیموده شده توسط او دو متر است و... . اما نمی‏توان نتیجه گرفت که به کارگیری اصول ریاضی برای حل مسئله، با این اصل که هر مسئله یک پاسخ درست دارد، منافات دارد و بنابراین، اصول ریاضی نادرست و غیرقابل قبول‏اند.

به همین صورت هستند، پارادوکس‏هایی که به ظاهر یک مسئله هستند؛ اما مفروضات کاملی برای حل آن ارائه نمی‏دهند و با افزودن مفروضات مختلف می‏توان پاسخ‏های متفاوتی برای مسئله یافت. با یافتن پاسخ‏های متفاوت بر اساس افزودن مفروضات مختلف و غیرقابل جمع، نمی‏توان نتیجه گرفت که اصل عدم تفاوت منجر به تناقض می‏شود. بنابراین، پارادوکس‏های مزبور نمی‏توانند در اعتبار اصل عدم تفاوت خللی وارد کنند، و این اصل، همچنان دارای اعتبار یقین معرفت‏شناختی است.

اما نکته مهمی که در حل این پارادوکس‏ها به آن اشاره شد این است که چنانچه فرض‏های مختلفی بر اساس داده‏های مسئله به طور یکسان قابل قبول باشند، از اصل عدم تفاوت در این معرفت‏ها نیز باید استفاده شود. بنابراین، اگر معرفت‏هایی که صورت مسئله ارائه می‏دهد به طوری مبهم باشد که بتوان چند قضیه معین را به طور موجّه دارای احتمال یکسان دانست، مسئله قابل حل است، البته با این شرط واضح که باید قضیه‏ای که محاسبه احتمال معرفت‏شناختی آن مطلوب است کاملاً معین باشد.

··· پی‏نوشت‏ها

··· منابع

ـ صدر، سید محمّدباقر، الاسس المنطقیة للاستقراء، بیروت، دارالفکر، 1391ق.

ـ مصباح، محمّدتقی، آموزش فلسفه، تهران، شرکت چاپ و نشر بین‏الملل، 1379، چ دوم.

ـ مصباح، مجتبی، «درآمدی بر احتمال معرفت‏شناختی» معرفت فلسفی 15 (بهار 1386)،ص 127ـ166.

- Carnap, Rudolf, Logical Foundations of Probability, Chicago, The University of Chicago Press, 1967.

- Gillies, Donald, Philosophical Theories of Probability, London & New York, Routledge, 2003.

- Jaynes, E. T., "The Well-Posed Problem", Foundations of Physics 4 (1973), pp. 477-492.

- Keynes, John Maynard, A Treatise on Probability, London, Macmillan & Co., Limited, 1943.

- Mikkelson, Jeffery M., "Dissloving Wine/Water Paradox", British Journal for the Philosophy of Science 55 (2004), pp. 137-145.

- Schlesinger, George N., The Sweep of Probability, University of Notre Dame Press, 1991.