تأملى بر استقراى رياضى

ضمیمه	اندازه
8_OP.PDF	213.28 کیلو بایت

 سال يازدهم، شماره دوم، زمستان 1392، 129ـ140

لطف اللّه نبوى *
على بيگدلى **

چكيده
يكى از اصول مهمى كه در اثبات برخى از  قضاياى اساسى منطق جديد و بسيارى از قضاياى رياضيات از آن بهره مى گيرند اصل استقراى رياضى است. پرسش اين است كه آيا اين اصل بديهى است؟ به ظاهر شهودهاى عرفى، بداهت آن را تأييد نمى كنند. لذا وضوح برهان قضاياى مبتنى بر اصل فوق نيز كانون ترديد است و توجيه برهان چنين قضايايى، مشروط به اذعان بر درستى اصل استقراى رياضى خواهد بود. گمان مى كنيم اصل فوق با تكيه بر مفاهيم و اصول اوليه مجموعه اعداد طبيعى اثبات پذير است و بدين ترتيب با اثبات آن، دغدغه احتمالى تشكيك در استحكام منطقى اصل استقراى رياضى و قضاياى مبتنى بر آن در منطق جديد مرتفع خواهد شد.

كليدواژه ها: اعداد طبيعى، مجموعه، استقراى رياضى.

---

*  دانشيار دانشگاه تربيت مدرس.                                                                                               nabavi_l@modares.ac.ir  
**  دانشجوى كارشناسى ارشد فلسفه دانشگاه تربيت مدرس.                                                                 yamohil@yahoo.com
دريافت: 11/3/91               پذيرش: 13/11/92

---

مقدّمه

اصل استقراى رياضى (Mathematical Induction) را پئانو در نظريه اعداد به منزله اصل موضوع پنجم به كار برده است (مصاحب، 1385، ص 491). بدون استفاده از اصل مزبور، بسيارى از قضاياى منطق جديد مانند فراقضاياى سازگارى (Consistency Metatheorem)، تماميت (Completeness) و غيره بى پاسخ مى ماند. ازآنجاكه اين اصل مبتنى بر مفهوم بى نهايت است، به ظاهر شهودهاى عرفى بداهت آن را تأييد نمى كنند. لذا وضوح برهان (Proof) قضاياى مبتنى بر اصل فوق نيز كانون ترديد است و توجيه (Justification) برهان چنين قضايايى، مشروط به اذعان بر درستى اصل استقراى رياضى خواهد بود. به عبارت ديگر، حرف نهايى درباره برهان اين گونه قضايا آن است كه بگوييم: اگر استقراى رياضى درست باشد، آن گاه توجيه برهان قضيه مبتنى بر آن نيز تمام و كامل است. اكنون پرسش اين است كه آيا مى توان اين اصل را با تكيه بر برخى مفاهيمى كه بداهتشان مورد تأييد شهودهاى عرفى است (مانند ترتيب در اعداد طبيعى) اثبات كرد؟ در اين مقاله مى كوشيم اصل استقراى رياضى را با تكيه بر اصل خوش ترتيبى (Well-Ordering) اعداد طبيعى (Natural Number) اثبات كنيم و نشان دهيم كه اصل استقراى رياضى از قوت و استحكام منطقى كافى برخوردار است و ترديد احتمالى درباره بهره گيرى و استفاده از آن در قضايا و فرمول هاى گوناگون واجد شرايط استقرا، بى وجه خواهد بود.

بحث را درباره استقراى رياضى به گونه اى پيش خواهيم برد كه موارد ذيل مدنظر باشند:

1. از رهزنى احتمالى شهود (Intuition) عرفى جلوگيرى شود؛

2. در عين حال، شهودهاى عرفى نيز مطالب و قضاياى مورد بحث را تأييد كنند؛

3. طرح بحث به زبان مجموعه ها (Set) آسان تر و دقيق تر است. ازاين رو به مفاهيم و تعاريف نظريه مجموعه ها به صورت اجمالى اشاره مى شود.

4. بدون توجه به مفاهيم نظريه مجموعه ها نيز برهانى ديگر براى اثبات استقراى رياضى ارائه خواهد شد.

مجموعه و اصطلاحات آن

اگرچه فرض بر اين است كه خواننده با زبان مجموعه ها آشنايى دارد، براى وضوح بيشتر و بى ابهام بودن مطالب پيش رو به كمترين اطلاعات لازم در اين باب اشاره مى كنيم.

در اصطلاح رياضى، هر گروه از اشياى دوبه دو متمايز و مشخص را مجموعه و هريك از آن اشيا را عضو (Member) يا عنصر (Element) اين مجموعه مى نامند. مقصود از مشخص بودن گروهى از اشيا آن است كه به ازاى هر شى ء، آن شى ء درواقع عضو آن گروه است يا عضو آن گروه نيست. هر مجموعه با اعضاى خود مشخص مى شود و امورى مانند ترتيب اعضا و غيره خارج از مفهوم مجموعه است. اگر شمار اعضاى مجموعه محدود و شمارش پذير باشد، مجموعه متناهى و در غير اين صورت، مجموعه نامتناهى خواهد بود.

به طور معمول مجموعه هاى دلخواه را با حروف بزرگ الفباى لاتينى و اعضاى دلخواه مجموعه ها را با حروف كوچك همان مجموعه ها نشان مى دهند، و براى برخى مجموعه ها نام هاى ويژه اى به كار مى برند. ازجمله آنها، Nبراى مجموعه اعداد طبيعى و Zبراى مجموعه اعداد صحيح است. از روش هاى ديگر نام گذارى مجموعه ها، نام گذارى به وسيله درج اسامى اعضاى مجموعه درون ابرو يا آكولاد است. براى مثال }9، 5، 2، 1{ و }...، 3، 2،1{= N كه هر دو نمايانگر مجموعه اند؛ با اين تفاوت كه اولى متناهى و ديگرى نامتناهى مى باشد.

عضويت aدر مجموعه A را به صورت a A و نقيض آن را به شكل a Aمى نويسيم و به ترتيب چنين مى خوانيم: a عضو A است و a عضو Aنيست.

تساوى دو مجموعه A و B به اين معناست كه هر دو مجموعه اعضاى يكسانى داشته باشند. به عبارت ديگر A=B هرگاه A و B اسامى يك مجموعه باشند. براى نمونه اگر

={1,a,b,c} A و ={a,1,c,b} B، آن گاه A=B.

اگر هر عضو مجموعه A عضو مجموعه B باشد، گوييم A جزء B يا زيرمجموعه (Subset) B است و اگر در اين حال، B عضوى غيرمتعلق به A داشته باشد، A را زيرمجموعه حقيقى يا سره B مى گويند. گزاره نماى A جزء B يا زيرمجموعه B است را به صورت B A و گزاره نماى زيرمجموعه حقيقى B است را به صورت B A مى نويسند. مثلاً اگر ={1,a,b,c} A و ={a,1,c,b,d} B در اين صورت A B.

مفهوم عادى مجموعه متضمن اين است كه بيش از يك عضو داشته باشد. از اين لحاظ مجموعه اعداد زوج اول، مجموعه اعداد طبيعى منفى، مجموعه پادشاهان فرانسه در قرن بيستم بى معنا خواهد بود؛ زيرا به جز 2 عدد اول زوجى وجود ندارد. همه اعداد طبيعى مثبت اند و نيز فرانسه در قرن بيستم پادشاه نداشته است. براى تعميم، به خاطر بامعنا بودن مفاهيمى چون مثال هاى مزبور، مجموعه داراى يك عضو و مجموعه خالى را به منزله مجموعه مى پذيريم، و بدين ترتيب مفهوم عرفى مجموعه را توسعه مى دهيم.

تلقى مجموعه عمومى به منزله مجموعه جميع اشيا، متضمن مشكلات جدى است، كه در جاى خود، در نظريه مجموعه ها، كانون بحث قرار مى گيرد. در هر نظريه علمى، اشياى اوليه مورد بحث، به منزله مجموعه عمومى يا عالم سخن آن نظريه لحاظ مى شود. در اين بحث هم براى دورى جستن از مشكلات (مانند مشكل پارادوكس راسل)، اعداد طبيعى را به منزله عالم سخن در نظر مى گيريم و در ضمن چهار عمل اصلى جمع، تفريق، ضرب و تقسيم بين دو عدد را واضح پنداشته، موارد زير را به همراه علامت > موسوم به نسبت كوچك ترى، كه براى مقايسه دو عدد از مجموعه اعداد طبيعى N است، به منزله اصول موضوعه به صورت زير در نظر مى گيريم.

1. < متعدى است؛ يعنى به ازاى اعداد طبيعى، b ,a و c اگر a>b و b>c، آن گاه a>c.

2. <تابع اصل تثليث (قوى) است.

اصل اخير مقايسه پذير بودن هر دو عدد را مى رساند؛ به اين معنا كه براى هر عدد a و b فقط يكى از روابط زير درست است: a < bيا b < a يا a = b.

اگر a يك عدد باشد آن گاه a...aaa=an يعنى عدد a به تعداد nبار در خودش ضرب شده است و 1 b b بدين معناست كه a < bيا a = b.

3. اگر b > a، آن گاه b + c a + c.

يعنى به دو طرف نسبت كوچك ترى مى توان عددى دلخواه مانند cرا افزود.

4. اگر b > a و c > 0 آن گاه bc > ac.

به عبارت ديگر در دو طرف نسبت كوچك ترى، عدد مثبت دلخواه مانند c را مى توان ضرب كرد.

5. هر مجموعه غيرخالى از اعداد طبيعى، عضو ابتدا دارد.

اين اصل موسوم به اصل خوش ترتيبى است و بيانگر آن است كه كوچك ترين عضو در هر زيرمجموعه از اعداد طبيعى موجود است.

 

اعداد طبيعى

مجموعه اعداد طبيعى بنيادى ترين مجموعه هاى اعداد و بسيارى از مفاهيم اساسى رياضى ـ از قبيل مفاهيم شمردن، مجموعه هاى متناهى و نامتناهى ـ ناشى از آن است. براى آماده كردن ذهن، قبلاً اعداد طبيعى را چنان كه با آنها مأنوس هستيم بررسى مى كنيم و بعضى خواصى را كه از اين بررسى سطحى مى توان استنباط كرد، يادآور مى شويم.

اعداد طبيعى بدان گونه كه آنها را مى شناسيم عبارت اند از اعداد:

1، (1+1)، (1+1+1)، (1+1+1+1)،...

كه مجموعه آنها مجموعه اعداد طبيعى خوانده مى شوند. چنان كه از طرح فوق مشهود است، مجموعه يادشده داراى اين دو خاصيت است: اولاً يكدار است؛ يعنى 1 بدان تعلق دارد و ثانيا موروثى است؛ بدين معنا كه همواره اگر xبدان تعلق داشته باشد، x+1نيز بدان تعلق دارد. اين طرح و شرح چنين مى نماياند كه اگر عدد يك و مفهوم جمع را بدانيم، آن گاه مى توانيم مجموعه اعداد طبيعى را بسازيم؛ به اين صورت كه نام هاى ديگر 1+1، 1+1+1، 1+1+1+1 و غيره را به ترتيب 2،3،4 و... مى گذاريم. توضيح واضحات نخواهد بود اگر توجه مضاعف به اين مطلب كنيم كه هم مفهوم واحد و هم مفهوم جمع را ارتكازا درمى يابيم و نيازى به واسطه قرار دادن مفاهيم ديگر براى دريافت مفهوم آنها نداريم؛ لذا با توجه به اين توضيح و تحليل، شايسته و بايسته است كه مجموعه اعداد طبيعى را به صورت }...، 3، 2، 1{ = N تعريف كنيم.

از ساختمان اعداد طبيعى به شرح مذكور معلوم است كه اگر n يك عدد طبيعى باشد، بين n و 1+n عددى طبيعى وجود ندارد. بدين مناسبت 1+n را تالى بلافصل n مى نامند. همچنين معلوم است كه هر عدد طبيعى غير از 1، تالى بلافصل يك عدد طبيعى است و نيز مى توان گفت فاصله هر دو عدد طبيعى متوالى يك واحد است.

همان گونه كه پيش تر بيان شد به شكل شهودى مى توان گفت مجموعه اى متناهى است كه تعداد اعضاى آن را بتوان شمرد، و در غير اين صورت نامتناهى است؛ اما اين تعريف را مى توان به گونه اى دقيق تر، با تكيه بر مفهوم تناظر يك به يك ميان اعضاى دو مجموعه تعريف كرد.

تعريف: مجموعه X نامتناهى است اگر زيرمجموعه اى سره مانند Y داشته باشد؛ به گونه اى كه تناظرى يك به يك ميان X و Y وجود داشته باشد. نيز مجموعه متناهى است اگر نامتناهى نباشد (لين، 1368، ص 117). به عبارت ديگر، مجموعه X نامتناهى است، اگر و تنها اگر يك تابع يك به يك Y X : f به قسمى كه (X)f زيرمجموعه سره X باشد.

واضح است كه {2,4,6,8,...}= Eزيرمجموعه اعداد طبيعى N است، تابع f(x) = 2xازN به E يك به يك است. به صورت روشن تر تناظر يك به يك E و N بدين معناست كه متناظر با هر عضو E، فقط يك عضو از N موجود است و برعكس متناظر با هر عضو N، فقط يك عضو از E وجود دارد. براى مثال عدد 55 از مجموعه N، با توجه به ضابطه تابع فوق، با عدد 110 (دو برابر 55) از مجموعه E و عدد 68 از مجموعه E، با عدد 34 (نصف 68) از N متناظرند. با همين قياس معلوم مى شود كه اعضاى دو مجموعه E و Nتناظر يك به يك دارند. لذا بنا به تعريف فوق چون اعضاى E و N تناظر يك به يك دارند N E است، پس N نامتناهى است.

 

تعريف استقراى رياضى

استقراى رياضى براى اثبات اين امر به كار مى رود كه هر جمله از يك دنباله (tail) نامحدود، از امرى معين تبعيت مى كند. اين كار در دو مرحله انجام مى شود:

ـ اثبات اينكه عبارت اول در دنباله نامحدود مذكور از آن تبعيت مى كند؛

ـ اثبات اينكه چنانچه جمله اى در دنباله نامحدود نيز از آن پيروى كند، جمله بعدى نيز از آن تبعيت خواهد كرد.

تعريف ساده و عمومى از استقراى رياضى عبارت است از: اثبات اينكه يك جمله براى تمام اعداد طبيعى صادق باشد و شامل دو مرحله است:

ـ مرحله اصلى نشان دادن اينكه جمله به ازاى 1 = n صادق است؛

ـ مرحله استقرايى نشان دادن اينكه اگر جمله به ازاى m = n صادق باشد، به ازاى m+1 = n نيز صادق خواهد بود.

در استقراى رياضى، جمله اى كه پس از كلمه اگر آمده است (جمله به ازاى m = nصادق باشد) اصطلاحا فرض استقرا يا گام استقرا ناميده مى شود، و نيز مرحله اصلى (جمله به ازاى n=1 صادق است) را گام بنيادين استقرا يا فرض ابتداى استقرا مى خوانند.

بدين ترتيب نخست فرض مى شود كه گام بنيادين استقرا و فرض استقرا صادق است (جمله به ازاى n=m صادق است) و سپس از اين مقدمات براى اثبات صدق جمله به ازاى n=m+1 استفاده مى شود. البته گاه از استقراى رياضى با دو قيد ضعيف و قوى نيز ياد مى شود كه دليل اين قيود به ترتيب به خاطر كمى و زيادى تعداد مقدمات يا فرضيات استقراست و ربطى به استحكام آن ندارد. اگر مجموعه اى از اشيا در اختيار داشته باشيم و بتوانيم آن اشيا را متناظر با اعداد طبيعى مرتب كنيم، سپس بخواهيم براى همه اين مجموعه شمارش پذير صفت معينى مانند j را اثبات كنيم، به دو صورت زير از روش استقراى رياضى بهره مى گيريم:

1. استقراى ضعيف: استقراى ضعيف داراى سه مرحله به شرح زير است:

الف) گام بنيادين استقرا: در اين مرحله اثبات مى كنيم كه عنصر شماره صفر (حد صفر) داراى صفت j است (j0)؛

ب) گام استقرا: در اين مرحله اثبات مى كنيم: jn+1 jn. براى اثبات حكم مذكور كافى است jn را فرض كرده (فرض استقراى)، با استفاده از j0 و jn، jn+1 را اثبات مى كنيم؛

ج) نتيجه استقرا: در اين مرحله با اثبات j0 و jn+1 jn مى توان نتيجه گرفت كه همه مجموعه اعداد طبيعى و در نتيجه همه عناصر مورد اشاره آنها ويژگى j را دارند.

بنابراين استقراى رياضى ضعيف از دو مقدمه و يك نتيجه تشكيل شده است:

گام بنيادى:j0

گام استقرا:jn+1 jn

ـــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ

نتيجه استقرا:...&jn&...\j0&j1&j2&

2. استقراى رياضى قوى: استقراى رياضى قوى داراى سه مرحله بدين شرح است:

الف) گام بنيادى: در اين مرحله اثبات مى كنيم كه عنصر شماره صفر (حد صفر) داراى صفت j است (j0)؛

ب) گام استقرا: در اين مرحله اثبات مى كنيم كه اگر همه اعداد طبيعى پيش از n+1صفت j را داشته باشند (فرض استقراى)، عدد n+1 نيز اين صفت را خواهد داشت؛ يعنى jn+1 jn &...& j2 & j1 & j0 ؛

ج) نتيجه استقرا: در اين مرحله مى توان نتيجه گرفت كه همه اعداد طبيعى داراى صفت j هستند (نبوى، 1377، ص 64).

مثال: ثابت مى كنيم به ازاى هر عدد طبيعى n،2n 2 .

برهان: فرض كنيد (n)f بيانگر تابع گزاره اى به ازاى هر عدد طبيعى n، 2n 2 باشد، (1)f برقرار است؛ زيرا 21 2 يعنى يا 2 > 2يا 2 = 2 كه به وضوح درست است. حال فرض مى كنيم (n)f برقرار باشد (فرض استقرا). به دو طرف 22 2 عدد را 2 ضرب مى كنيم. لذا 2n+1 4 . با توجه به اصل متعدى بودن نسبت كوچك ترى و اينكه 4 2 داريم: 2n+1 2 و اين يعنى (n+1)f و لذا بنا به اصل استقراى رياضى، حكم براى هر عدد طبيعى n برقرار است.

همان گونه كه گفته شد از اصل استقراى براى اثبات احكامى درباره اعداد طبيعى استفاده مى شود. حال روش اثبات را به وسيله اين اصل بيان مى كنيم:

اگر (n)P حكمى درباره اعداد طبيعى باشد، به گونه اى كه:

الف) (1)P درست باشد (اين مرحله را فرض ابتداى استقرا يا گام بنيادى استقرا مى نامند)؛

ب) به ازاى هر عدد طبيعى k، از درستى (k)P، درستى (k+1)P نتيجه شود. در اين صورت مى توان نتيجه گرفت كه (n)P به ازاى هر عدد طبيعى N درست است. به ديگر سخن:

P [P (1) " k (P (k( P(k + 1)] " n N, P (n)] "كه در آن pنشان دهنده گزاره نما، " نشان دهنده سور عمومى به معناى به ازاى هر، به معناى و N مجموعه اعداد طبيعى و k,nهر دو اعداد طبيعى اند.

قضيه 1:

I.N I. يعنى I عدد طبيعى است.

II. همواره اگر N n آن گاه n+I N.

برهان: Iنتيجه تعريف N و براى اثبات IIفرض كنيم براى nاى خاص، N n و N n+1و و اين بدان معناست كه با افزودن يك واحد به يك عدد طبيعى خاص، عددى طبيعى به دست نيامد كه به وضوح با تعريف مجموعه اعداد طبيعى در تناقض باشد؛ لذا N n+1 .

قضيه 2 (اصل استقراى رياضى): اگر خاصيت f، تابع شرايط دوگانه زير باشد، جميع اعداد طبيعى واجد اين خاصيت خواهند بود:

I. 1 خاصيت fدارد؛

II. به ازاى هر عدد طبيعى n، اگر n خاصيت fداشته باشد n+1 نيز خاصيت fدارد.

برهان: فرض كنيم A مجموعه جميع اعداد طبيعى واجد خاصيت fباشد كه N A(فرض خلف). حال مجموعه N - A T = (اعضاى N به غير از اعضاى A) را در نظر مى گيريم. به دليل اينكه N A پس T تهى نيست؛ و نيز با توجه به T تعريف داريم: N T و لذا طبق اصل خوش ترتيبى عضو ابتدايى چون to دارد. با عنايت به تعريف T و A داريم: A 1. بنابراين to از عدد يك بيشتر است. لذا N -1 to. واضح است كه to -1 <-to پس T -1 to (چون كوچك ترين عضو T بود)؛ و اين يعنى A -1 to و طبق A II to = -1+1 to پس T to و اين متناقض با تعريف to به منزله عضو ابتدا براى T است. پس فرض خلف (N A) باطل و حكم A=N ثابت است.

چنان كه مى دانيم، گزاره نماى pn به معناى n خاصيت P دارد است؛ و لذا قضيه 2 را مى توان چنين بيان كرد:

قضيه 3 (اصل استقراى رياضى): اگر خاصيت P، تابع شرايط دوگانه ذيل باشد، جميع اعداد طبيعى خاصيت p دارند:

p1 .I؛

.I1به ازاى هر n، اگر pn، آن گاه pn+1.

در ارائه برهان براى قضيه استقراى رياضى، به صورتى كه گذشت، به اعداد طبيعى و نظريه مجموعه ها متوسل شديم. به زبان نزديك به عرف و بدون توسل به مفاهيم فوق، به صورت ساده تر نيز مى توان بر قضيه استقراى رياضى به قرار زير ارائه برهان كرد؛ به گونه اى كه هم با شهود و دريافت اوليه عرفى سازگارى داشته باشد و هم فهم برهان آن آسان تر از فهم برهان قضيه قبل باشد.

برهان: فرض كنيد n عدد طبيعى باشد كه خاصيت p دارد (اين مطلب را به شكل pnنشان مى دهيم). طبق فرض، دو مقدمه زير را داريم:

الف) p1 (يعنى 1 خاصيت p دارد)؛

ب) به ازاى هر عدد طبيعى n، اگر pn آن گاه pn+1.

ادعا مى كنيم همه اعداد طبيعى خاصيت p دارند (يعنى"n، pn)؛ در غير اين صورت نقيض آن براى بعضى اعداد طبيعى ~pn، كه فرض خلف است، برقرار خواهد بود (1) (براى اشاره آسان، اسم جمله اخير را (1) در نظر مى گيريم). از ميان اين اعداد طبيعى، كوچك ترين آن را برمى گزينيم و آن را k مى ناميم. چون ~pkبرقرار است (2)، با نظر به تعريف k، آشكار است كه pk-1 و درنتيجه با توجه به فرض ب، pk برقرار است و اين مطلب با (2) و درنتيجه با (1) در تناقض است. پس نشان داديم كه ~pn، براى بعضى اعداد طبيعى مانند k برقرار نيست. لذا فرض خلف، يعنى~ pn باطل و حكم يعنى "n، pn برقرار است.

 

نتيجه گيرى و ارزيابى

همان گونه كه ملاحظه شد، استقراى رياضى قضيه اى است كه نتيجه آن با پذيرش دو مقدمه ضرورى است؛ يعنى پذيرفتن مقدمات و رد نتيجه به تناقض مى انجامد. بنابراين استقراى رياضى نوعى قياس منطقى است و بر خلاف استقراى متداول در دانش هاى تجربى، صدق نتيجه آن قطعى است. اعتبار استقراى رياضى بر ترتيب عددهاى طبيعى استوار است. ازاين رو هرجا اشيايى داشته باشيم كه بتوان آنها را به شكلى متناظر با اعداد طبيعى مرتب و شماره گذارى كرد، آن گاه مى توانيم استقراى رياضى را براى آنها به كار ببريم. براى مثال، در منطق گزاره ها مى توان فراقضيه بهنجارى (صحت) را با استفاده از استقراى رياضى بر روى تعداد سطور برهان، كه عددى طبيعى است، اثبات كرد. اين فراقضيه بيان مى كرد هر استدلال درست، استدلالى معتبر است.

گاه پيش مى آيد كه شخص مى پندارد محاسباتى را كه در حالات خاص انجام داده است، مى تواند تحت قاعده اى كلى درآورد، و چه بسا اين قاعده را حدس مى زند. چنين حدسى، اگر صحتش با دليل ثابت نشود، اعتمادپذير نيست، و نبايد آن را به منزله يك قضيه عرضه كرد. براى نمونه، در سه جمله اى n2-n+41 اگر به جاى n اعداد 1،2، و... و 9 قرار دهيد، ملاحظه خواهيد كرد كه اعداد حاصل، جملگى عدد اول اند؛ يعنى به غير از عدد يك و خود بر عدد طبيعى ديگرى بخش پذير نيستند. از اينجا ممكن است به ذهن برسد كه حاصل مقادير سه جمله اى مزبور، به ازاى اعداد 10، 11، ...، 30 و 31 به جاى nباز هم اعدادِ اول اند و اين نتيجه مؤيد حدس ماست. حال اگر محاسبه را ادامه دهيم، به ازاى n=41 عدد 412-41+41 حاصل مى شود كه بالبداهه اول نيست. اين دليل گمراه كننده و ناپذيرفتنى، و حاكى از تميز نگذاشتن ميان حدس و حكم ثابت شده است.

اما محدوديت استقراى رياضى در اين است كه تنها براى مسائلى به كار مى رود كه با اعداد طبيعى سروكار دارند. لذا اين روش اساسا يك روش تحقيق است، و نيز تنها در اثبات قضايايى كه درستى آنها را حدس زده ايم، به كار مى رود. براى مثال در اثبات قضيه اگر n عددى طبيعى باشد، آن گاه p1+3+5+7+... + (2n-1)=n2 از استقراى رياضى بهره مى گيريم؛ ولى استقراى رياضى درباره اينكه اين قضيه چگونه و از چه مقدمه يا مقدماتى حاصل شد و نيز درستى آن چگونه حدس زده شد، هيچ كمكى به ما نمى كند. به عبارت ديگر، استقراى رياضى توانايى آشكار كردن نادرستى فرمول يا قضيه اى را ندارد، بلكه نخست بايد درستى فرمول يا قضيه اى را حدس بزنيم و سپس با بهره گيرى از استقراى رياضى صدق حدسى را استحكام بخشيم.

---

منابع

لين، شووينگ تى، 1368، نظريه مجموعه ها و كاربردهاى آن، چ دوازدهم، تهران، مركز نشر دانشگاهى.
مصاحب، غلامحسين، 1368، آناليز رياضى، چ پنجم، تهران، فرانكلين.
نبوى، لطف اللّه، 1377، مبانى منطق جديد، تهران، سمت.

··· ساير منابع

افضلى، جمعه خان، 1386، روش استقرائى از ديدگاه تطبيقى، معرفت فلسفى، ش 19، ص 117ـ144.
ايان، استيوارت و ديويد، تال، 1365، مبانى رياضيات، تهران، مركز نشر دانشگاهى.
بت داود، جمس، 1381، مبانى رياضيات، چ دوازدهم، تهران، دانشگاه پيام نور.
بهزاد، مهدى و همكاران، 1375، رياضيات گسسته، چ پانزدهم، تهران، شركت چاپ و نشر كتاب هاى درسى ايران.
بيگدلى، على، 1389، استقرا رياضى و احتمال استقرايى ـ منطقى، پايان نامه كارشناسى ارشد فلسفه، تهران، دانشگاه تربيت مدرس.
پوليا، جورج، 1369، چگونه مسئله را حل كنيم، چ دوم، تهران، كيهان.
موحد، ضياء، 1368، درآمدى به منطق جديد، تهران، سازمان انتشارات و آموزش انقلاب اسلامى.