پارادوكس‏هاي اصل عدم تفاوت

سال ششم، شماره اول، پاييز 1387، 135ـ179

مجتبي مصباح[215]

چكيده

در برخي تفاسير فلسفي از احتمال، مانند تفسير كلاسيك، تفسير منطقي و تفسير معرفت‏شناختي، رجوع به مجموعه‏اي به نام فضاي نمونه يا فضاي وصفي براي محاسبه احتمال لازم است. در اين محاسبات، بر اساس اصل عدم تفاوت، احتمال عناصر اوليه يكسان فرض مي‏شود. اما درباره خود اين اصل، كه اساس حساب احتمالات در تفاسير مزبور است، دو مسئله اساسي وجود دارد كه در مباحث فلسفي احتمال قابل طرح است. اول، اعتبار معرفت‏شناختي خود اين اصل است، و دوم، پارادوكس‏هايي است كه از به كارگيري اين اصل ناشي مي‏شوند. اما تاكنون پاسخي درخور به هيچ‏يك از اين دو مسئله داده نشده است.

در اين مقاله، ابتدا با اشاره به تفاسير مختلف احتمال، نشان داده مي‏شود كه كدام تفاسير نيازمند اين اصل هستند. همچنين اصل عدم تفاوت به طور كلي و نيز در احتمال معرفت‏شناختي، بر اساس اصل عليت و با ارجاع به علم حضوري توجيه مي‏شود. مهم‏ترين بخش اين مقاله، طرح هشت پارادوكس همراه با پاسخ‏هايي است كه براي حل آنها ارائه شده و با ناتمام دانستن اين پاسخ‏ها، راه‏حل جديدي بر اساس تفسير احتمال معرفت‏شناختي ارائه مي‏شود.

كليدواژه‏ها: احتمال معرفت‏شناختي، اصل عدم تفاوت، پارادوكس‏هاي احتمال، پارادوكس‏هاي اصل عدم تفاوت.

 

مقدّمه

در بسياري از روش‏هاي محاسبه احتمال، بايد به مجموعه‏اي رجوع كنيم و با اين پيش‏فرض كه احتمال وقوع هريك از اعضا يا احتمال صدق هر يك از گزاره‏هاي عضو اين مجموعه با بقيه مساوي است، به محاسبه احتمال وقوع پديده موردنظر يا احتمال صدق گزاره‏اي خاص بپردازيم. اما در اينجا دو مسئله وجود دارد: اول آنكه خود اين اصل به چه دليل معتبر است؟ دوم آنكه مساوي دانستن احتمال اعضاي مجموعه مزبور، بسته به اينكه اعضاي اين مجموعه چگونه انتخاب شوند، گاه به نتايج متفاوتي مي‏انجامد كه از نقطه‏نظر حساب احتمالات غيرقابل قبول است؛ زيرا احتمال وقوع هر پديده يا احتمال صدق هر گزاره در هر شرايط ويژه، مقدار واحدي است. اين امر از ديرباز تفاسيري از احتمال را كه مبتني بر اصل عدم تفاوت هستند، با پارادوكس‏هايي مواجه ساخته است كه تاكنون پاسخي قاطع نيافته‏اند.

براي پاسخ به دو مسئله مزبور، ابتدا نظري اجمالي به تفاسير مختلف احتمال مي‏اندازيم، و تفسيرهايي را كه به اين اصل نياز دارند معرفي مي‏كنيم. سپس توضيحي اجمالي درباره اعتبار معرفت‏شناختي خود اين اصل مي‏آوريم. آن‏گاه اصول حساب احتمالات را به اجمال معرفي مي‏كنيم و سپس به طرح پارادوكس‏ها مي‏پردازيم، و راه‏حل‏هايي كه تاكنون براي آنها ارائه شده از نظر مي‏گذرانيم و در پايان ديدگاه خود را درباره حل اين پارادوكس‏ها بيان مي‏كنيم.

تفاسير ناظر به باور و ناظر به واقع درباره احتمال

فرض كنيد سكّه‏اي در اختيار داريم كه مي‏دانيم كاملاً همگن نيست و به يك طرف متمايل‏تر است؛ اما درباره اينكه سكّه به كدام طرف متمايل‏تر است چيزي نمي‏دانيم. احتمال اينكه اين سكّه شير بيايد بيشتر است يا احتمال آنكه خط بيايد، يا احتمال هر دو مساوي است؟

نظريه‏هاي فلسفي احتمال كه براي تبيين مباني محاسبه احتمال پديد آمدند درصدد آن بودند كه نشان دهند در محاسبات رياضي احتمال، دقيقا چه چيزي را اندازه مي‏گيريم و اين اندازه‏گيري چه اعتباري دارد. برخي، همچون لاپلاس (P. S. Laplace)، با توجه به اين حقيقت كه جهان عيني، جهاني است كه روابط ضروري علّي ـ معلولي بر آن حاكم است و هر پديده‏اي با وجود تمام شرايط خود ضرورتا اتفاق مي‏افتد و بدون حتي يكي از آنها ضرورتا اتفاق نمي‏افتد، احتمال را مربوط به باور و معرفت ما دانستند. برخي نيز، همچون ون ميزز (R. Von Mises)، بر اين اعتقاد بودند كه محاسبه احتمالْ محاسبه امري عيني است، و بدين جهت به باورها و معرفت‏هاي ما وابسته نيست، و محاسبات احتمال درصددند ميزان وقوع عيني يك پديده را اندازه‏گيري كنند، نه صرفا انتظارات ما را از وقوع پديده‏ها.

برخي ديگر از گروه نخست، همچون رمزي (F.P. Ramsey) و دفينتي (B. de Finetti)، باور را امري روان‏شناختي و شخصي، و برخي، مانند گيليس (D. Gillies)، بين‏الاذهاني و گروهي تلقّي كردند و برخي ديگر، نظير شهيد صدر، كينس (J.M. Keynes)، جانسون (W.F. Johnson) و جفريز (H. Jeffreys)، كوشيدند نشان دهند كه درجه باور به يك قضيه در صورتي معقول است كه آن درجه از باور، نتيجه منطقي باور به قضاياي ديگر باشد. به عقيده ما، تفسير ديگري از احتمال ناظر به باور براي توجيه درجه باور لازم است. بنابراين تفسير، احتمال موجّه يك قضيه كه آن را «احتمال معرفت‏شناختي» آن قضيه مي‏ناميم احتمالي است كه بر پايه قضايايي كه فرد بدانها باور موجّه دارد و درجه باور موجّه به آنها نهايتا بر اساس علم حضوري تعيين مي‏شود محاسبه‏پذير است.[216]

برخي از گروه دوم، يعني برخي از كساني كه تفسيري ناظر به واقع را براي احتمال برگزيده بودند، همچون اليس (L. Ellis)، ون (J. Venn)، رايشنباخ (H. Reichenbach) و ون ميزز، فراواني نسبي وقوع يك پديده را از ميان پديده‏هاي بديل ممكن، ملاك احتمال وقوع عيني آن پديده قرار دادند و برخي، مانند پوپر (K.R. Popper)، ميلر (Miller) و فتزر (Fetzer)، به وجود نوعي ميل و گرايش دروني در پديده‏ها معتقد شدند كه شرايط توليد آن پديده را تأمين مي‏كنند.

بدين صورت، مي‏توان نظريه‏ها و تفاسير فلسفي در باب احتمال را به دو گروه ناظر به باور و ناظر به واقع تقسيم كرد؛ يعني تفسيرهايي كه احتمال را به باور نسبت مي‏دهند، و تفاسيري كه آن را به امري عيني و واقعي تفسير مي‏كنند. اما بايد توجه داشته باشيم كه ممكن است احتمال ناظر به باور نيز با واقع، و احتمال ناظر به واقع نيز با باور، ارتباط داشته باشند. براي مثال، كساني كه به تفسيري از احتمال كه ناظر به باور است معتقدند ممكن است بپذيرند كه احتمال، گرچه نشان‏دهنده درجه باور ذهني فرد يا باور معقول و مانند آن است، منشأ اين درجه باور مي‏تواند خودْ دانش و معرفتي درباره امور عيني باشد. براي مثال، ممكن است بگوييم اين سخن كه احتمال شير آمدن اين سكه 5/0 است بدان معناست كه درجه باور ما نسبت به وقوع اين پديده عيني 5/0 است و با اين حال، بپذيريم كه ممكن است اين درجه باور ما خودْ ناشي از معرفت ما به اين حقيقت باشد كه در نيمي از موارد پرتاب قبلي همين سكّه، نتيجه شير آمده است. همچنين كساني كه به تفسيري ناظر به واقع معتقدند ممكن است بپذيرند كه احتمال، گرچه نشان‏دهنده نسبت يا گرايشي واقعي در پديده‏هاست، مي‏تواند در درجه باور ما تأثير داشته باشد. براي مثال، ممكن است بگوييم اين سخن كه احتمال شير آمدن اين سكه 5/0 است بدان معناست كه در زنجيره‏اي طولاني از پرتاب اين سكّه، حدودا در نيمي از موارد، نتيجه شير آمده، و با اين حال، بپذيريم كه به همين سبب است كه درجه باور ما نسبت به وقوع اين حادثه 5/0 است. به هر حال، ممكن است در تفسير احتمال، رابطه باور و واقع را بپذيريم؛ اما آنچه وجه تمايز اين تفاسير است اين است كه اصالتا احتمال را بر باور اطلاق مي‏كنيم يا واقع، و در هر صورت، آن را دقيقا چگونه توصيف مي‏كنيم.

همچنين تفاسيرناظربه‏باور،ممكن‏است احتمال را به‏صورت سابجكتيو و روان‏شناختي تفسير كنند؛ مانند تفسيرهاي ذهني و بين‏الاذهاني، و ممكن است آن را امري منطقي يا موجّه بدانند كه داراي ملاك‏هاي عيني است، مانند تفسير منطقي و نيز تفسير معرفت‏شناختي مورد قبول ما.

ممكن است با پذيرفتن ارتباط باور و واقع، اختلاف تفاسير ناظر به باور و ناظر به واقع، امري مهم به نظر نيايد، از آن‏روي كه گويا مقدار احتمال از هر دو منظر يكسان است؛ اما بايد توجه داشت كه اين امر كليت ندارد. مثال سكّه نامتعادل لاپلاس كه در ابتداي تقسيم‏بندي تفاسير بدان اشاره كرديم، روشن مي‏كند كه امر عيني مفروض و درجه باور، در يك مثال مي‏توانند متفاوت باشند؛ زيرا احتمال منطقي شير آمدن سكّه ناهمگني كه گفتيم، همچون سكّه معمولي، 5/0 است، در حالي كه اگر براي آن، احتمالي واقعي را بپذيريم كه قابل اندازه‏گيري نيز باشد، اين احتمال يقينا عددي غير از 5/0 است. نيز درجه باورهاي ذهني افراد ممكن است از هر طريق پديد آيد و با امور عيني مطابقت نداشته باشد.

فضاي نمونه يا وصفي

بنابر تفاسير فلسفي ناظر به باور از احتمال، بجز تفاسير ناظر به باوري كه احتمال را سابجكتيو تفسير مي‏كنند؛ يعني تفسير ذهني و بين‏الاذهاني، براي تعيين احتمال، رجوع به يك مجموعه خاص لازم است. اين مجموعه كه عموما فضاي نمونه[217] يا فضاي وصفي[218] ناميده مي‏شود،متشكل از اعضايي است كه احتمال آنها برابر است و احتمال پديده يا قضيه موردنظر را مي‏توان بر اساس آنها محاسبه كرد. مثال ساده براي فضاي نمونه يا فضاي وصفي، مجموعه دو عضوي شير و خط است كه شامل همه حالات ممكني است كه يك سكّه پس از يك بار پرتاب بدان حالت روي زمين قرار مي‏گيرد.

اگر بخواهيم مطابق نظريه كلاسيك احتمال، درباره احتمال شير آمدن سكّه‏اي كه هنوز پرتاب نشده است قضاوت كنيم، مي‏گوييم احتمال حالت مطلوب برابر است با نيمي از احتمال وقوع يك حالت از همه حالات‏ممكن. وقوع يكي از دو حالت‏ممكن (شير و خط) يقيني است و مقدار آن را عدد «يك» قرارداد مي‏كنند. بدين‏ترتيب، احتمال شير آمدن سكّه مزبور برابر با 5/0 است.

نظريه منطقي، احتمال را به قضايا نسبت مي‏دهد و بر آن است كه احتمال يك قضيه، درجه نسبي استلزام منطقي ميان آن قضيه با قضاياي ديگر است، يا به عبارت دقيق‏تر، احتمال منطقي يك قضيه، درجه خاصي از باور به آن قضيه است كه لازمه منطقي درجه خاصي از باور به مقدّمات است. اين درجه نيز بر حسب تعداد اعضاي فضاي نمونه كه شامل همه قضاياي ممكن بديل است تعيين مي‏شود.[219] در مثال سكّه، فضاي نمونه عبارت است از مجموعه‏اي شامل دو قضيه «سكّه در پرتاب بعدي شير مي‏آيد» و «سكّه در پرتاب بعدي خط مي‏آيد» و بدين ترتيب احتمال صدق قضيه نخست برابر با 5/0 است.

احتمال معرفت‏شناختي نيز احتمال را به قضايا نسبت مي‏دهد و آن را با مراجعه به مجموعه‏اي از قضاياي موجهي كه صاحب معرفت بدانها باور دارد، محاسبه مي‏كند. اين مجموعه ممكن است يقين معرفت‏شناختي به قضيه «سكّه در پرتاب بعدي يا شير مي‏آيد يا خط»، و يقين معرفت‏شناختي به مجموعه همه قواعد منطقي و رياضي لازم براي استنتاج درجه احتمال قضيه «سكّه در پرتاب بعدي شير مي‏آيد» از قضيه مزبور باشد. چنان‏كه مي‏بينيم قضيه نخست در اين مجموعه، قضيه‏اي از نوع منفصله حقيقيه و ناظر به همه حالات ممكن است.

اصل عدم تفاوت

ديديم كه بنابر تفسير كلاسيك از احتمال و نيز تفسير منطقي و معرفت‏شناختي، براي محاسبه احتمال، رجوع به مجموعه‏اي به نام فضاي نمونه يا وصفي لازم است. محاسبه احتمال يك پديده يا قضيه، با ارجاع آن به چنين مجموعه‏اي، تنها در صورتي ممكن است كه براي همه عناصر اين مجموعه، ارزشي يكسان قائل باشيم. براي مثال، بايد از پيش پذيرفته باشيم كه در پرتاب سكّه، احتمال هر يك از شير و خط آمدن، دقيقا مساوي ديگري است. اين را اصطلاحا «اصل عدم تفاوت» مي‏نامند.

تعبير «اصل عدم تفاوت»[220] را ابتدا كينس در سال 1921 در كتاب خود[221] به كار برد. البتهپيش از وي و در سال 1871، ون كريز (J. Von Kries) تعبير قديمي‏تري از همين اصل را با نام «اصل دليل ناكافي»[222] در كتاب احتمال خود به كار برده بود، و پيش از هر دو، لايب نيتز(1646ـ1716) از اصل ديگري با نام «اصل دليل كافي» در متافيزيك خود زياد استفاده كرده بود.

كينس با اين ادعا كه همه احتمال‏گرايان[223] محاسبه عددي احتمال را در مواردي ممكنمي‏دانند كه تعدادي جايگزين (مجموعه‏اي از گزينه‏هاي جامع و مانع) با احتمال برابر در اختيار باشند،[224] معتقد است براي تعيين احتمال برابر اين گزينه‏ها به اصلي پيشيني به نام اصل عدمتفاوت نياز است. وي اين اصل را ابتدائا چنين بيان مي‏كند: «اصل عدم تفاوت مي‏گويد اگر دليل معلومي براي ترجيح حمل يكي از چند محمول جايگزين بر موضوع خاص وجود نداشته باشد، نسبت به چنين علم و معرفتي، بيان هريك از آن امور جايگزين، احتمالي برابر دارد.»[225]

البته روشن است كه تعريف دقيق اين اصل بسته به رويكرد تفسيري ما از احتمال متفاوت خواهد بود. اما مي‏توان گفت در همه تفاسيري كه رجوع به مجموعه‏اي مانند فضاي نمونه را براي محاسبه احتمال لازم مي‏دانند، احتمال اعضاي خود اين مجموعه، يكسان تلقّي مي‏شود و اصل عدم تفاوت، بيان‏كننده يكسان بودن احتمال همين اعضا است.

بدين ترتيب، مي‏توان اصل عدم تفاوت را اساس حساب احتمالات دانست. از نظر ما، بدون اعتبار اين اصل، هيچ درجه‏اي از معرفت بجز يقين، موجّه نيست.

يكي از مسائلي كه درباره اين اصل مطرح است، توجيه معرفت‏شناختي خود اين اصل است؛ يعني اين مسئله كه با چه توجيهي، احتمال اين اعضا (عناصر اوليه) برابر دانسته مي‏شوند. آيا صدق اصل عدم تفاوت، يقيني است يا احتمالي، و اين يقين يا احتمال، صرفا ذهني يا بين‏الاذهاني است، يا امري عيني و ناظر به واقع است، يا به لحاظ معرفت‏شناختي در درجه يقين، و موجّه است؟

اصل عدم تفاوت مطابق تفسير احتمال معرفت‏شناختي

ما اصطلاح «احتمال معرفت‏شناختي» را براي درجه‏اي از معرفت به P كه تنها ناشي از دسته‏اي از احتمال‏هاي معتبر باشد، به كار مي‏بريم. در اين تفسير از احتمال، اصل عدم تفاوت به صورت زير قابل بيان است:

اگر مجموعه احتمال‏هاي معتبري كه احتمال معرفت‏شناختي دو قضيه را نسبت به آنها مي‏سنجيم، به طور مساوي موجب احتمالي براي دو قضيه مزبور باشند، احتمال معرفت‏شناختي آن دو قضيه نسبت به آن احتمال‏هاي معتبر مساوي است.

اعتبار معرفت‏شناختي اصل عدم تفاوت

در اين بخش مي‏خواهيم نشان دهيم اصل عدم تفاوت به لحاظ معرفت‏شناختي كاملاً موجّه است. از نظر ما، معرفت كاملاً موجّه بايد مبتني بر علم حضوري باشد.[226] بنابراين، بايد نشان دهيم كه اين اصل مبتني بر علم حضوري است. براي اين كار، از اصل عليت آغاز مي‏كنيم و نشان مي‏دهيم اصل عليت به تقريري كه مي‏آوريم بديهي اولي و مبتني بر علم حضوري به رابطه مفاهيم است. سپس اعتبار اصل كلي عدم تفاوت و پس از آن، اعتبار اصل عدم تفاوت در مبحث احتمال را مطابق تقريري كه از آن ارائه داديم، اثبات مي‏كنيم.

اصل علّيت

چيزي كه به خودي خود ويژگي خاصي را ندارد، براي داشتن آن ويژگي نيازمند غير خود (علّت) است.

توضيح: اصل علّيت به تقرير فوق، از جمله قضاياي بديهي اولي است. هرگاه چيزي به خودي خود ويژگي خاصي مانند a را داشته باشد و به عبارت ديگر، a ذاتي يا مقتضاي ذات آن باشد، خود آن چيز براي آنكه آن ويژگي را داشته باشد كافي است. اما چنانچه a ذاتي يا مقتضاي ذات آن چيز نباشد، بدين معناست كه خود آن چيز براي آنكه آن ويژگي را داشته باشد كافي نيست. با توجه به معناي عدم كفايت خود، جمله مزبور دقيقا بدان معناست كه آن چيز براي داشتن آن ويژگي، نيازمند غير خود است، كه آن را «علّت» مي‏نامند.

چنان‏كه ديده مي‏شود علم حضوري به مفاهيم به كار رفته در اين اصل، براي تصديق به آن كافي است و بنابراين، اصل علّيت به تقرير فوق، بديهي اولي است.

مقصود از «علّت» در اين تقرير از اصل علّيت، چيزي غير از خود شي‏ء است كه براي آنكه آن شي‏ء ويژگي مزبور را داشته باشد لازم و كافي است. علت به معناي مذكور را «علّت تامه» نيز مي‏نامند. معلول نيز عبارت است از «اينكه آن شي‏ء ويژگي مزبور را داشته باشد.»

اصل كلي عدم تفاوت

علّت‏هاي مشابه معلول‏هاي مشابه دارند. اين قضيه را اصل كلي عدم تفاوت مي‏ناميم.

توضيح: علّت (علّت تامه) بنابر تعريف، چيزي است كه براي تحقق معلول، لازم و كافي است. پس مشابه بودن علت‏ها به معناي مشابه بودن تأثير آنها در تحقق معلول‏هايشان است. از سوي ديگر، چنان‏كه گفتيم، آنچه در تحقق معلول مؤثر است صرفا علّت است. بدين‏ترتيب، مشابه بودن علّت‏ها مستلزم مشابه بودن معلول‏هاست. ممكن است فرض كنيم چند علّت از وجوهي مشابه يكديگر باشند و از وجوهي متفاوت. در اين صورت، اگر معلول‏هاي آنها مشابه باشند، در واقع تنها وجوه مشابهي از آنچه علّت ناميده‏ايم در تحقق معلول‏ها مؤثر بوده است و در واقع، همان وجوه مشابه، علّت هستند نه ساير ويژگي‏ها. پس به طور كلي، مشابه بودن علّت‏ها مستلزم مشابه بودن معلول‏ها است. بدين‏ترتيب، معرفت حضوري به استلزام ميان صدق مفهوم «مشابه بودن علّت‏ها» و صدق مفهوم «مشابه بودن معلول‏هاي آنها»، نشان مي‏دهد كه اصل كلي عدم تفاوت بديهي است.

اصل عدم تفاوت در احتمال معرفت‏شناختي

همان‏گونه كه گفتيم اصل عدم تفاوت در احتمال معرفت‏شناختي به معناي آن است كه چنانچه مجموعه احتمال‏هاي معتبري كه احتمال معرفت‏شناختي دو قضيه را نسبت به آنها مي‏سنجيم، به طور مساوي موجب احتمالي براي دو قضيه مزبور باشند، احتمال معرفت‏شناختي آن دو قضيه نسبت به آن احتمال‏هاي معتبر مساوي است.

با توجه به تعريف مزبور، احتمال‏هاي معتبري كه احتمال معرفت‏شناختي P را نسبت به آنها مي‏سنجيم، علت احتمال معرفت‏شناختي P هستند. بنابراين، اصل عدم تفاوت در احتمال معرفت‏شناختي، نمونه‏اي است از اصل كلي عدم تفاوت، و بداهت اين اصل نيز، به جهت معرفت حضوري است به استلزام صدق مفهوم تساوي ايجاب احتمال‏هاي معتبر، با صدق مفهوم تساوي احتمال‏هاي معرفت‏شناختي. به بيان ساده، از آنجا كه احتمال معرفت‏شناختي تنها ناشي از معرفت‏هاي معتبري است كه با آن سنجيده مي‏شود، هرگاه اين معرفت‏ها نسبت به دو قضيه مساوي باشند، احتمال معرفت‏شناختي آن دو قضيه مساوي است.

بدين‏ترتيب، اصل عدم تفاوت در احتمال معرفت‏شناختي با بازگشت به معرفت حضوري، داراي ارزش يقين معرفت‏شناختي و كاملاً موجّه است. اما پارادوكس‏هاي مطرح شده در برابر اين اصل، ناسازگاري ظاهري اين اصل را با اصول حساب احتمالات نشان مي‏دهند. براي اينكه اين پارادوكس‏ها را مطرح كنيم، ابتدا به معرفي اصول حساب احتمالات مي‏پردازيم.

اصول حساب احتمالات

چنان‏كه گفتيم، همه تفاسير احتمال، اصول مشتركي را براي محاسبه احتمال به كار مي‏برند و همه اين تفاسير، درستي و موجّه بودن اين اصول را مي‏پذيرند. از آنجا كه پارادوكس‏هاي اصل عدم تفاوت بر اساس ناسازگاري ظاهري اين اصل با اصول حساب احتمالات پديد مي‏آيند، در اينجا تنها اشاره‏اي اجمالي به اين اصول خواهيم داشت. البته اين اصول، در منابع متفاوت، با تعداد و تقريرهاي مختلف و در بسياري موارد به صورت پراكنده آمده است. ما براي رعايت اختصار، از بحث تفصيلي درباره اختلاف منابع در معرفي اين اصول خودداري مي‏كنيم و اين اصول را بر اساس آنچه گيليس آورده است[227] بيان مي‏كنيم.

فرض مي‏كنيم A، B،... A1،... فرامتغيرهاي قضيه‏اي هستند و به جاي آنها قضاياي دلخواه قرار مي‏گيرند كه هريك مي‏توانند داراي درجه‏اي از احتمال باشند. احتمال معرفت‏شناختي يك قضيه را كه تابعي از آن قضيه است[228] با نماد عمومي ( )P نشان مي‏دهيم. در صورتي كه به جاي نماد قضيه، از فرامتغير قضيه‏اي استفاده كنيم، احتمال آن به معناي احتمال هر قضيه‏اي است كه به جاي فرامتغير قرار گيرد. سه اصل زير اصول حساب احتمالات ناميده مي‏شوند:

اصل اول:0P(A)1, P(t)=1

به بيان ديگر، اين اصل مي‏گويد هر قضيه، احتمال واحدي ميان 0 و 1 دارد و احتمال قضيه يقينا صادق، يك است.

اصل دوم (قانون ضرب):P(AB)=P(A|B)P(B)

اين اصل بدين معناست كه احتمال صدق هم‏زمان دو قضيه، برابر است با حاصل ضرب احتمال صدق يكي از آنها مشروط به صدق ديگري در احتمال صدق ديگري.

اصل سوم (قانون جمع)P(A1)+...+P(An)=1

اگر به جاي A1،...، An قضيه‏هاي مانعه‏الجمع و مانعه‏الخلو قرار گيرند، آن‏گاه با استفاده از نمادهاي معروف مي‏توان اصل سوم را اين‏گونه بيان كرد:

اين اصل بدين معناست كه مجموع احتمال همه قضاياي مانعه‏الجمع و مانعه‏الخلو (كه بيانگر همه حالات ممكن هستند) برابر با يك است.

پارادوكس‏ها

گفتيم درباره اصل عدم تفاوت دو مسئله مهم وجود دارد: اولين مسئله، توجيه معرفت‏شناختي خود اين اصل بود كه توضيح اجمالي آن گذشت. مسئله دوم، پارادوكس‏هايي است كه درباره اين اصل مطرح شده‏اند.

اين مسئله عبارت است از اينكه به كارگيري اصل عدم تفاوت، گرچه ممكن است ابتدائا موجّه به نظر برسد، ما را با تناقض‏هايي مواجه مي‏سازد. اين تناقض‏ها كه آنها را «پارادوكس‏هاي اصل عدم تفاوت» نام نهاده‏اند، در قالب مثال‏هاي مختلف عرضه شده‏اند تا بدين وسيله در برابر درستي يا كارآمدي اين اصل قرار گيرند.

از اين مثال‏ها ممكن است چنين برداشت شود كه پذيرفتن اصل عدم تفاوت منجر به پذيرفتن تناقض مي‏شود. اين تناقض، از پذيرفتن اين اصل همراه با اصول حساب احتمالات ناشي مي‏شود كه در هر تفسيري از احتمال پذيرفته شده است. بدين ترتيب، اين مثال‏ها درصددند نشان دهند كه يا اصل عدم تفاوت درست نيست، يا اصول حساب احتمالات، يا دست‏كم در اين مثال‏ها تناقضْ درست و قابل قبول است. اما از آنجا كه دو شق اخير قابل قبول نيستند؛ يعني نه مي‏توان از درستي اصول حساب احتمالات چشم پوشيد و نه مي‏توان تناقض را ـ هرچند در يك مورد ـ موجّه دانست، ناگزير بايد بپذيريم كه اصل عدم تفاوت نادرست است و اعتباري ندارد. از اين‏رو، اين مثال‏ها، به پارادوكس‏هاي اصل عدم تفاوت يا پارادوكس‏هاي نظريه احتمال معروف شده‏اند. البته اين مثال‏ها به آنچه بيان خواهيم كرد محدود نيستند و پارادوكس‏هاي بي‏شماري مشابه آنچه تاكنون مطرح شده نيز قابل طرح هستند. هدف ما آن است كه با اشاره به برخي از اين پارادوكس‏ها، راه‏حل كلي آنها را بيابيم و نشان دهيم كه بر خلاف آنچه اين پارادوكس‏ها القا مي‏كنند، پذيرفتن اصل عدم تفاوت منجر به تناقض نمي‏شود. البته در برابر برخي از اين پارادوكس‏ها پاسخ‏هايي نيز ارائه شده است كه هيچ‏كدام تمام به نظر نمي‏رسند. در اين مقاله، به طرح چند پارادوكس و راه‏حل‏هاي ارائه شده و نقد آنها مي‏پردازيم و سپس راه‏حل مورد قبول خود را توضيح مي‏دهيم.

در ضمن، خاطرنشان مي‏كنيم كه اين پارادوكس‏ها بر اساس تفاسير مختلف احتمال، به صوري متفاوت قابل طرح هستند و ما در اينجا، اين پارادوكس‏ها را بر اساس تفسير معرفت‏شناختي احتمال به تقريري كه اشاره كرديم طرح و بررسي مي‏كنيم.

الف. پارادوكس كتاب

فرض كنيد كتابي در جاي خاصي از كتابخانه است و ما هيچ نسخه‏اي از آن كتاب را تاكنون نديده‏ايم و بنابراين هيچ چيز درباره رنگ جلد آن كتاب نمي‏دانيم. پس معرفت‏هاي موجّه ما درباره قرمز بودن رنگ جلد آن كتاب با معرفت‏هاي موجّه ما درباره قرمز نبودنش يكسان است و مطابق اصل عدم تفاوت، احتمال معرفت‏شناختي قرمز بودن رنگ جلد اين كتاب با احتمال معرفت‏شناختي قرمز نبودن آن برابر است و بر اين اساس، محاسبات احتمال نشان مي‏دهد كه احتمال قرمز بودن رنگ جلد كتاب مزبور 5/0 است. اما همين امر درباره رنگ آبي، سبز و زرد و نيز ساير رنگ‏ها صادق است. يعني اگر اصل عدم تفاوت معتبر باشد، احتمال معرفت‏شناختي آبي بودن رنگ جلد اين كتاب نيز با احتمال آبي نبودنش برابر است و محاسبات احتمال، احتمال آبي بودن رنگ جلد كتاب مزبور را نيز مساوي 5/0 تعيين مي‏كند؛ و... . بنابراين، احتمال معرفت‏شناختي صدق هريك از قضاياي ناسازگار «رنگ جلد كتاب مزبور، قرمز است»، «رنگ جلد كتاب مزبور، آبي است» «رنگ جلد كتاب مزبور، سبز است» و... برابر است با 5/0. فرض كنيم رنگ جلد كتاب مزبور هريك از n رنگ مي‏تواند باشد. از سوي ديگر، بنابر اصل سوم از اصول حساب احتمالات، مجموع همه احتمالات ناسازگار برابر است با 1، اما اگر n بزرگتر از 2 باشد، مجموع n تا 5/0 از 1 بيشتر است. بنابراين، اصل عدم تفاوت با اصل سوم از اصول حساب احتمالات كه مجموع‏احتمالات همه قضاياي ناسازگار را برابر با 1 مي‏داند در تناقض خواهد بود.

همين پارادوكس را مي‏توان به گونه‏اي ديگر نيز تقرير كرد: براي تعيين احتمال صدق اين قضيه كه «رنگ جلد كتاب مزبور قرمز است»، دو راه‏حل مختلف وجود دارد: از يك‏سو، مي‏توان دو قضيه ناسازگار زير را در نظر گرفت كه معرفت ما درباره صدق آنها يكسان است: «جلد كتاب مزبور قرمز است»، «جلد كتاب مزبور قرمز نيست.» اصل عدم تفاوت مي‏گويد احتمال اين دو قضيه مساوي است و با توجه به اصل سوم از اصول حساب احتمالات كه مجموع احتمال‏هاي دو قضيه مزبور را برابر با 1 مي‏داند، احتمال قضيه اول برابر خواهد بود با 5/0. از سوي ديگر، مي‏توان n قضيه ناسازگار زير را در نظر گرفت كه معرفت ما درباره صدق آنها نيز يكسان است: «جلد كتاب مزبور قرمز است»، «جلد كتاب مزبور، آبي است»، و... . اصل عدم تفاوت احتمال n قضيه مزبور را نيز مساوي مي‏داند و بنابر اصل سوم حساب احتمالات، مجموع احتمالات اين قضايا نيز مساوي 1 است، و بنابراين، احتمال صدق قضيه «جلد كتاب مزبور قرمز است» برابر است با /n1. روشن است كه اگر n بزرگتر از 2 باشد، پاسخ مسئله از طريق راه‏حل دوم متفاوت با پاسخ از طريق راه‏حل اول خواهد بود. اما اصل اول از اصول حساب احتمالات مي‏گويد هر قضيه نسبت به معرفت‏هاي موجّه خاص، يك احتمال دارد. بنابراين، به كارگيري اصل عدم تفاوت در تعيين احتمال صدق قضيه مزبور با اصل اول از اصول حساب احتمالات منافات دارد و منجر به تناقض مي‏شود.

ب. پارادوكس دسته‏بندي[229]

فرض كنيد صرفا مي‏دانيم يكي و فقط يكي از سه نفر با نام‏هاي محمّد، حسن پسر علي، و حسين پسر علي مي‏آيند. احتمال آنكه محمّد بيايد چقدر است؟

اين مسئله نيز راه‏حل‏هاي مختلفي دارد: قضاياي ناسازگار را مي‏توان اين دو قضيه در نظر گرفت: «محمّد مي‏آيد»، «يكي از دو پسر علي مي‏آيد». بنابر اصل عدم تفاوت، احتمال صدق اين دو قضيه با توجه به آنكه معرفت ما درباره صدق آنها يكسان است، مساوي است، و در نتيجه، احتمال آنكه محمّد بيايد برابر خواهد بود با 5/0. همچنين مي‏توان قضاياي ناسازگار را چنين در نظر گرفت: «محمّد مي‏آيد»، «كسي كه ابتداي نامش "ح" است مي‏آيد.» بنابر اصل عدم تفاوت، احتمال اين دو قضيه مساوي است و مطابق اين راه‏حل، باز هم احتمال آنكه محمّد بيايد برابر است با 5/0. از سوي ديگر، قضاياي ناسازگار را مي‏توان سه قضيه زير در نظر گرفت: «محمّد مي‏آيد»، «حسن مي‏آيد»، «حسين مي‏آيد.» بنابر اصل عدم تفاوت، احتمال اين سه قضيه نيز مساوي است و بنابراين، احتمال آنكه محمّد بيايد مطابق اين راه‏حل 3/1 است. اما پذيرفتن دو احتمال مختلف براي يك قضيه نسبت به معرفت‏هاي خاص، با اصل اول حساب احتمالات ناسازگار است.

ج. پارادوكس لباس

فرض كنيد مي‏دانيم محمّد دو لباس دارد، اما حسن و حسين، هريك يك لباس دارند و نيز مي‏دانيم يا محمّد با يكي از دو لباسش مي‏آيد يا حسن با همان يك لباسش، يا حسين با همان يك لباسش. احتمال آنكه محمّد بيايد چقدر است؟

از يك‏سو، ممكن است قضاياي ناسازگار را اين سه قضيه در نظر بگيريم: «محمّد مي‏آيد»، «حسن مي‏آيد»، «حسين مي‏آيد». بدين‏ترتيب و بنابر اصل عدم تفاوت كه احتمال اين سه قضيه را مساوي مي‏داند، احتمال آنكه محمّد بيايد 3/1 است. از سوي ديگر، ممكن است قضاياي ناسازگار را اين چهار قضيه در نظر بگيريم: «محمّد با لباس اول مي‏آيد»، «محمّد با لباس دوم مي‏آيد»، «حسن مي‏آيد»، «حسين مي‏آيد». بنابر اصل عدم تفاوت، احتمال اين چهار قضيه نيز مساوي است و احتمال آنكه محمّد بيايد با احتمال صدق دو قضيه از اين چهار قضيه مساوي است و بنابراين، مطابق اين راه‏حل، احتمال آنكه محمّد بيايد برابر است با 5/0.

د. پارادوكس پرتاب مكرر سكّه[230]

فرض كنيد آزمون خاصي، مانند پرتاب سكه را n بار تكرار مي‏كنيم. مي‏دانيم كه در هر بار ممكن است حادثه M (مثلاً شير آمدن سكّه) اتفاق بيفتد يا نيفتد. احتمال آنكه حادثه M در r بار از n بار آزمون اتفاق بيفتد چيست؟

از سويي، ما هيچ دليلي نداريم كه تكرار حادثهM از ميان اعداد 0 تا n كدام عدد را مي‏پذيرد و اصل عدم تفاوت مي‏گويد احتمال صدق اين قضيه كه اين عدد، عدد خاص r باشد، نسبت يك عدد به 1+n عدد، يعني 1n+/1 است. مثلاً در دو بار پرتاب سكّه، سه قضيه ناسازگار داريم كه هريك ممكن است صادق باشد و معرفت ما درباره صدق آنها مساوي است: «هيچ بار شير نمي‏آيد»، «يك بار شير مي‏آيد»، «دو بار شير مي‏آيد». بنابراين، مطابق اين تفسير و با پذيرفتن اصل عدم تفاوت، احتمال آنكه يك بار شير بيايد، 3/1 است.

از سوي ديگر، همين مسئله را مي‏توان به گونه‏اي متفاوت تفسير كرد. مثلاً در دو بار پرتاب سكّه، قضاياي ناسازگار را مي‏توان چنين در نظر گرفت: «هر دو شير مي‏آيد»، «هر دو خط مي‏آيد»، «اولي شير و دومي خط مي‏آيد»، «اولي خط و دومي شير مي‏آيد». بدين ترتيب، چهار قضيه ناسازگار داريم كه معرفت ما درباره صدق آنها مساوي است. اما احتمال صدق قضيه «يك بار شير مي‏آيد» با احتمال صدق دو قضيه از چهار قضيه مزبور برابر است. پس احتمال آنكه يك بار شير بيايد، مطابق اين تفسير و با پذيرفتن اصل عدم تفاوت، 5/0 است. چنان‏كه مي‏بينيم به كارگيري اصل عدم تفاوت در تعيين احتمال معرفت‏شناختي در اين مسئله نيز، با اصل اول از اصول حساب احتمالات ناسازگار است.

ه . پارادوكس برتراند

دايره كاملي فرض كرده، وتري از اين دايره را به طور تصادفي در نظر مي‏گيريم. مطلوب است محاسبه احتمال آنكه طول اين وتر بيش از طول ضلع مثلث متساوي‏الاضلاع محاط در آن دايره باشد.

اين قضيه را كه طول وتر مزبور از طول ضلع مثلث متساوي‏الاضلاع محاط در دايره بيشتر است،M مي‏ناميم. با استفاده از اصل عدم تفاوت سه مقدار مختلف براي P(M) مي‏توان يافت كه اين امر چنان‏كه گفتيم با اصل اول از اصول حساب احتمالات در تنافي است.

ابتدا شكل (1) را در نظر مي‏گيريم:

مثلث ZXY متساوي‏الاضلاع و محاط در دايره‏اي است به مركز Oو شعاع R. خط YO را امتداد مي‏دهيم تا XZ را در W قطع كند. زاويه OWZ قائمه است و XW=WZ و 2/OW=Rsin=R.

در شكل 2، AB وتر تصادفي ما و OW خط قائم بر آن است كه دايره را در C قطع مي‏كند. AB در صورتي بزرگتر از ضلع مثلث متساوي‏الاضلاع محاط در دايره است كه 2/OW<R باشد. از آنجا كه هيچ دليلي نداريم كه W كدام نقطه OC باشد، اصل عدم تفاوت مي‏گويد به ازاي همه نقاط X1، X2، و... روي OC، احتمال صدق قضاياي W=X1، W=X2، و... با يكديگر مساوي است؛ و در نتيجه به ازاي همه اعداد Y1، Y2، و ... در فاصله 0 و R، احتمال صدق قضاياي OW=Y1، OW=Y2، و... با يكديگر مساوي است و در نتيجه، فشردگي احتمال صدق قضيه OW=Y در دامنه R]،0] يكسان است. پس 2/1)=2P(M)=P(OW<R/

اما در شكل 3، مثلث AAA متساوي‏الاضلاع محاط در دايره و AB وتر تصادفي است. خطي را در A بر دايره مماس كرده زاويه ميان آن و AB را q مي‏ناميم. AB در صورتي از ضلع مثلث محاط بزرگتر است كه q بين 60 و 120 درجه باشد. از آنجا كه هيچ دليلي نداريم كه q كدام مقدار بين 0 و 180 درجه باشد، اصل عدم تفاوت مي‏گويد به ازاي همه زاويه‏هاي w1، w2، و... بين 0 و 180 درجه، احتمال صدق قضاياي q=w1، q=w2، و... با يكديگر مساوي است؛ و در نتيجه فشردگي احتمال صدق قضيه q=w در فاصله 0 و 180 درجه يكسان است. پس

P(M)=P(021>q>06)=3/1

ما در شكل 4، دايره‏اي به شعاع نصف دايره اصلي و به همان مركز رسم مي‏كنيم. وتر تصادفي ABدر صورتي بزرگتر از ضلع مثلث متساوي‏الاضلاع محاط است كه وسط آن وتر (W) درون دايره كوچك قرار بگيرد. اما چون هيچ دليلي نداريم كه Wاز ميان نقاط دايره بزرگ، كدام نقطه خواهد بود، اصل عدم تفاوت مي‏گويد به ازاي همه نقاط X1، X2، و... از دايره اصلي، احتمال صدق قضايايW=X1 ، W=X2، و... با يكديگر مساوي است؛ و در نتيجه، فشردگي احتمال صدق قضيه W=X در دامنه مساحت دايره بزرگ يكسان است. پس

4/1=pR2pR2/4=(مساحت دايره بزرگ / مساحت دايره كوچك)P(M)=P

بدين‏ترتيب، اصل‏عدم‏تفاوت‏احتمال‏مذكورراباسه‏مقدارمختلف 2/1، 3/1و4/1ارزيابي مي‏كند.

و. پارادوكس سركه و آب[231]

فرض كنيد مخلوطي از سركه و آب در اختيار داريم و تنها مي‏دانيم كه حداكثر نسبت يكي به ديگري 3 است. مي‏خواهيم بدانيم احتمال آنكه نسبت «آب/سركه» (سركه به آب) كمتر يا مساوي 2 باشد چقدر است. چنانچه براي حل اين مسئله، به اصل عدم تفاوت متوسل شويم، ممكن است پاسخ‏هاي مختلفي بيابيم كه به تناقض مي‏انجامد.

با توجه به آنچه درباره نسبت اجزاي مخلوط مي‏دانيم،

3«آب/سركه» 3/1 و در نتيجه، به ازاي همه اعداد X1، X2، و... در دامنه [3و3/1] احتمال صدق قضاياي "X1=«آب/سركه»"، "X2=«آب/سركه»"، و... با يكديگر مساوي است. بدين‏ترتيب، بنابر اصل عدم تفاوت، فشردگي احتمال صدق قضيه "X=«آب/سركه»" در فاصله مزبور يكسان است. بدين‏ترتيب، احتمال آنكه اين نسبت، از كل اين فاصله به فاصله كمتر از 2 محدود باشد از تقسيم اين محدوده به كل فاصله مزبور به دست مي‏آيد:

8/5=(3/1ـ3)(3/1ـ2)=(2«آب/سركه»)P

از سوي ديگر، مي‏دانيم مطلوب مسئله، يعني تعيين احتمال آنكه نسبت «آب/سركه» كمتر يا مساوي 2 باشد، دقيقا به معناي تعيين اين احتمال است كه نسبت «سركه/آب» بيشتر يا مساوي 2/1 باشد. با توجه به معرفت‏هايي كه درباره همين مخلوط داريم مي‏دانيم كه

3 «سركه/آب» 3/1 و بنابر اصل عدم تفاوت و بنابر همان توضيحاتي كه درباره نسبت «آب/سركه» گفتيم، احتمال آنكه اين نسبت بيشتر يا مساوي 2/1 باشد از تقسيم اين محدوده بر كل فاصله مزبور به دست مي‏آيد و داريم:

16/15=(3/1ـ3)(2/1ـ3)=(2/1 «سركه/آب»)P

از آنجا كه مي‏دانيم مفاد جملات "2 «آب/سركه»" و"2/1 «سركه/آب»" يكي است، و به عبارت ديگر، آنها يك قضيه هستند، نتيجه مي‏گيريم كه اصل عدم تفاوت موجب مي‏شود كه يك قضيه نسبت به معرفت‏هاي موجّه واحد داراي احتمال‏هاي معرفت‏شناختي مختلف باشد و اين امر با اصل اول از اصول حساب احتمالات كه هر قضيه را با توجه به معرفت‏هاي موجّه خاص، تنها داراي يك احتمال در فاصله 0 و 1 مي‏داند، منافات دارد.

چنان‏كه گفتيم، پارادوكس‏هاي مربوط به اصل عدم تفاوت بي‏شمارند و پارادوكس‏هاي بي‏شماري مشابه آنها مي‏توان ايجاد كرد. به دو نمونه ديگر از اين پارادوكس‏ها كه آنها را بر اساس پارادوكس سركه و آب ساخته‏ايم توجه كنيد.

ز. پارادوكس تعيين عدد

عددي حقيقي بين 2 و 5 انتخاب شده است. احتمال آنكه اين عدد بين 3 و 4 باشد، چقدر است؟

از آنجا كه معرفت ما درباره وقوع اين عدد كه آن را I مي‏ناميم، در هيچ محدوده‏اي در فاصله مزبور بر معرفت ما درباره وقوع آن در محدوده‏اي ديگر ترجيح ندارد، به موجب اصل عدم تفاوت، به ازاي همه اعداد حقيقي X1، X2، و... بين 2 و 5 احتمال صدق قضاياي I=X1، I=X2، و... با يكديگر مساوي است؛ يعني قضيه I=X در فاصله مزبور فشردگي احتمال يكساني دارد. بنابراين، احتمال وقوع عدد موردنظر در محدوده اعداد 3 و 4، برابر خواهد بود با تقسيم اين محدوده بر كل فاصله اعداد 2 و 5 كه عبارت است از 3/1.

از سوي ديگر، مي‏توان همين مسئله را چنين تفسير كرد كه عكس عدد مزبور در فاصله 5/1 و 2/1 است و مطلوب است احتمال آنكه عكس اين عدد در فاصله 4/1 و 3/1 باشد. اما به دليل آنكه معرفت ما درباره وقوع عكس عدد مزبور در هر محدوده‏اي در فاصله 5/1 و 2/1 نيز يكسان است، اصل عدم تفاوت، فشردگي يكساني را براي احتمال صدق قضيه x/1I=/1 در همان دامنه تعيين مي‏كند و در نتيجه، احتمال مزبور برابر خواهد بود با 18/15 كه با پاسخ نخست متفاوت، و در نتيجه با اصل اول از اصول حساب احتمالات در تناقض است.

ح. پارادوكس نسبت سرعت

سرعت متحرك اول بين 1 تا 3 s/ mاست و سرعت متحرك دوم بين 2 تا 4 s/m. احتمال آنكه نسبت سرعت متحرك دوم به سرعت متحرك اول، بين 1 و 2 باشد، چقدر است؟

در اين مسئله نسبت مزبور مي‏تواند از 3/2 تا 4 تغيير كند. اما با توجه به معرفت ما و با پذيرفتن اصل عدم تفاوت، فشردگي احتمال صدق قضيه‏اي كه اين نسبت را عدد معيني مي‏داند، در دامنه اعداد بين 3/2 تا 4 يكسان است، و در نتيجه، احتمال مزبور برابر است با 3/0.

از سوي ديگر، مي‏توان همين مسئله را چنين تفسير كرد كه نسبت سرعت متحرك اول به سرعت متحرك دوم در فاصله 4/1 و 5/1 تغيير مي‏كند و مطلوب است احتمال اينكه اين نسبت ميان 5/0 و 1 باشد. اما اصل عدم تفاوت، با تعيين فشردگي احتمال يكسان براي صدق قضيه‏اي كه عكس اين نسبت را عدد معيني در اين فاصله مي‏داند، اين احتمال را برابر با 4/0 تعيين مي‏كند، و اين يعني تعيين دو مقدار متفاوت براي احتمال يك قضيه نسبت به معرفت‏هاي يكسان، كه با اصل اول حساب احتمالات ناسازگار است.

پاسخ مدافعان به پارادوكس‏ها

برخي مدافعان اصل عدم تفاوت و كساني كه از نظريه كلاسيك يا منطقي احتمال دفاع مي‏كنند، كوشيده‏اند به برخي از اين پارادوكس‏ها پاسخ گويند. گرچه در اينجا درصدد نقل و نقد همه اين پاسخ‏ها نيستيم تنها براي نمونه به برخي از آنها اشاره مي‏كنيم. قابل ذكر است كه هيچ‏يك از اين پاسخ‏ها به فرض درست بودن، نمي‏تواند همه اين پارادوكس‏ها را حل كند. همچنين بايد متذكر شويم كه اصل عدم تفاوت در ديدگاه ديگران گرچه معنايي نزديك به آنچه گفتيم دارد، دقيقا با آن يكسان نيست و بنابراين، در پاسخ‏هاي ارائه شده، عموما اين اصل بر روي قضايا اعمال نشده است.

الف. پارادوكس‏هاي اول تا چهارم

كينس معتقد است اصل عدم تفاوت در صورتي جاري است كه بديل‏هاي ممكن تعدادشان محدود بوده، خودشان تقسيم‏ناپذير باشند.[232] بنابر ديدگاه كينس، در پارادوكس كتاب، از آنجاكه «غير قرمز»، به رنگ‏هاي ديگري نظير آبي، سبز، زرد و... قابل تقسيم است، اصل عدم تفاوت در «قرمز و غير قرمز» جاري نيست، و همين‏طور در «آبي و غير آبي»، و... . اگر تعداد رنگ‏هاي جلد كتاب محدود باشد، بايد «غير قرمز» يا «غير آبي» به بقيه رنگ‏ها تقسيم شود و سپس اصل مزبور ميان همه آن رنگ‏ها جاري شود. در نتيجه، پاسخ درست برابر خواهد بود با عدد يك تقسيم بر تعداد رنگ‏هاي حاصل پس از تقسيم مزبور.

بر اين اساس، بايد گفت در پارادوكس دسته‏بندي نيز از آنجا كه «پسر علي» و نيز «اسمي كه با "ح" شروع مي‏شود» به «حسن» و «حسين» قابل تقسيم هستند، بايد اين تقسيم صورت گيرد و سپس اصل عدم تفاوت درباره سه بديل حاصل، جاري گردد. در نتيجه، پاسخ درست مسئله تنها 3/1 خواهد بود.

با پذيرفتن شرط كينس براي اجراي اصل عدم تفاوت، به نظر مي‏رسد پاسخ مسئله لباس، 4/1 خواهد بود؛ زيرا «آمدن محمّد» به دو صورت «آمدن وي با لباس اول» و «آمدن وي با لباس دوم» قابل تقسيم است؛ پاسخي كه به نظر نادرست مي‏آيد.

همچنين در پارادوكس پرتاب مكرر سكّه، از طرفي ممكن است بگوييم «يك شير»، به دو حالت مختلف «اولي شير، دومي خط» و «اولي خط، دومي شير» قابل تقسيم است، و بنابراين، اصل عدم تفاوت تنها پس از اين تقسيم قابل اجراست و در نتيجه در اين مسئله، پاسخ 5/0 درست است؛ اما از سوي ديگر، ممكن است بگوييم تعداد شير آمدن يا صفر است، يا يك، يا دو، و اين تعداد به چيز ديگري قابل تقسيم نيست، و بنابراين، پاسخ درست 3/1 است. بدين‏ترتيب، معلوم نيست تقسيم‏پذيري و تقسيم‏ناپذيري در اين مثال چگونه بايد تشخيص داده شود و با وجود اين ابهام، پارادوكس در اين مسئله حل نخواهد شد.

به علاوه، كينس خود كوشيده است از اصل عدم تفاوت در مقادير پيوسته كه تعداد حالت‏هايشان نامحدود است نيز استفاده كند، در حالي كه شرط اجراي اين اصل را محدود بودن تعداد حالت‏ها قرار داده است. همچنين اين پاسخ به فرض درستي، نمي‏تواند ساير پارادوكس‏ها را حل كند؛ علاوه بر آنكه وي دليلي براي اثبات درستي شرط تقسيم‏ناپذيري در اجراي اصل عدم تفاوت نيز ارائه نكرده است.

شهيد صدر نيز در يكي از دو پاسخ خود به اين نوع پارادوكس‏ها، شبيه اين راه‏حل را ارائه نموده، اما درباره مواردي كه در آنها بايد تقسيم صورت گيرد تفصيل داده است.[233] وي در اين راه‏حل پيشنهاد مي‏كند كه:

1. اگر يك طرف قابل تقسيم است و تقسيم مشابه را مي‏توان در ساير اطراف اجرا كرد، يا بايد آن را در اطراف ديگر نيز اجرا كرد يا در هيچ طرف اجرا نكرد.

2. اگر يكي از اطراف قابل تقسيم است و تقسيم مشابه در ساير اطراف ممكن نيست، بايد تقسيم را در طرفي كه قابل تقسيم است اجرا كرد.

بر اساس ديدگاه وي، پارادوكس كتاب را بدين صورت مي‏توان حل كرد: از آنجا كه «غير قرمز» به رنگ‏هاي ديگر بجز قرمز قابل تقسيم است و نيز «غير آبي» به رنگ‏هاي ديگر بجز آبي، و...، ابتدا بايد تقسيم‏هاي مزبور صورت گيرد و در نتيجه مسئله يك پاسخ درست دارد و آن عبارت است از تقسيم يك بر مجموع تعداد رنگ‏هاي حاصل پس از تقسيم‏هاي مزبور.

شهيد صدر بر همين اساس، پارادوكس دسته‏بندي را پاسخ مي‏گويد. در اين پارادوكس، براساس شرط دوم در راه‏حلي كه بيان شد، «پسر علي» قابل تقسيم به «حسن» و «حسين» است و نيز «اسمي كه با "ح" شروع مي‏شود» قابل تقسيم است به «حسن» و «حسين». پس اين مسئله نيز يك راه‏حل درست دارد و آن 3/1 است.

همچنين ايشان بر اساس همين راه‏حل، پارادوكس لباس را پاسخ مي‏دهد. همان‏گونه كه «آمدن بالفعل محمّد» به دو صورت قابل تقسيم است، «آمدن بالقوّه او» نيز به دو صورت قابل تقسيم است و در نتيجه، هر يك از آمدن حسن و حسين نيز به تقسيم مشابه قابل تقسيم‏اند و بنابر شرط اول راه‏حل، يا بايد همه اطراف را تقسيم كرد يا هيچ‏يك را: (آمدن محمّد با لباس اول، آمدن محمّد با لباس دوم، آمدن حسن با اين قضيه شرطيه كه اگر محمّد مي‏آمد با لباس اول مي‏آمد، آمدن حسين با اين قضيه شرطيه كه اگر محمّد مي‏آمد با لباس اول مي‏آمد، آمدن حسن با اين قضيه شرطيه كه اگر محمّد مي‏آمد با لباس دوم مي‏آمد، آمدن حسين با اين قضيه شرطيه كه اگر محمّد مي‏آمد با لباس دوم مي‏آمد) يا (آمدن محمّد، آمدن حسن، آمدن حسين). بنابراين، پاسخ درست اين مسئله نيز تنها 3/1 است.

اما اولاً در پارادوكس لباس، تقسيم «آمدن حسن» و «آمدن حسين» درست به نظر نمي‏رسد؛ چه اگر اين‏گونه تقسيم را بپذيريم در پارادوكس كتاب نيز ممكن است «قرمز» را بدين صورت تقسيم كنيم: «قرمز با اين قضيه شرطيه كه اگر غير قرمز بود، آبي بود»، «قرمز با اين قضيه شرطيه كه اگر غير قرمز بود، سبز بود»، و... . روشن است كه نتيجه اين تقسيمات فرضي اين است كه احتمال قرمز بودن 5/0 باشد كه با پاسخ اول متفاوت است. ثانيا، چنان‏كه گفتيم، بر اين اساس، پارادوكس پرتاب مكرر سكّه پاسخ روشني نمي‏يابد؛ و مهم‏تر آنكه دليلي بر درستي اين شرايط ذكر نشده است.

شهيد صدر براي حل اين‏گونه پارادوكس‏ها راه‏حل ديگري نيز ارائه كرده است.[234] وي مي‏گويد: اگر تقسيم يكي از اطراف ممكن باشد و اطراف ديگر قابل تقسيم مشابه نباشند، چنانچه اين اقسام اصلي باشند، هر قسم عضوي از مجموعه اطراف است، و اگر فرعي باشند، تقسيم معتبر نيست و كل آن طرف يك عضو از مجموعه اطراف است. اما تقسيم اصلي، از ديدگاه ايشان، تقسيمي است كه اقسامْ حالت‏هايي هستند كه در تقرير وجود و تحقق يافتن آن طرفي كه تقسيم مي‏شود تأثير دارند و تقسيم فرعي تقسيمي است كه اقسامْ حالت‏هايي هستند كه متفرع بر وجود آن طرف هستند و در وجود و تحقق يافتن آن تأثيري ندارند.

با تطبيق اين شرايط در پارادوكس كتاب، بايد گفت تقسيم «غير قرمز» به رنگ‏هاي ديگر اصلي است، چون كتاب بدان رنگ‏ها تحقق مي‏يابد و از آنجا كه «قرمز» به آنها تقسيم نمي‏شود بايد تقسيم مزبور صورت گيرد. بنابراين، تنها پاسخ درست همان است كه از تقسيم عدد يك بر تعداد رنگ‏هاي حاصل پس از تقسيم به دست مي‏آيد. در پارادوكس دسته‏بندي نيز، هريك از حسن و حسين، انگيزه خاص خود را براي آمدن دارند و هريك در تحققِ آمدن «پسر علي» تأثير دارند. پس اين تقسيم اصلي است و چون اين تقسيم در طرف ديگر مشابه ندارد لزوما بايد تقسيم صورت گيرد و بنابراين، تنها پاسخ 3/1 درست است. اما در پارادوكس لباس، لباس‏هاي محمّد در تحققِ آمدن وي تأثيري ندارند. پس اين تقسيم فرعي است و محمّد يكي از اطراف است و تنها پاسخ 3/1 درست است. بر همين اساس، ممكن است در پارادوكس پرتاب مكرر سكّه بگوييم چون «يك شير» قابل تقسيم است به «اولي شير، دومي خط» و «اولي خط، دومي شير» و اين تقسيم در تحقق اينكه كدام وجه سكّه رو مي‏آيد مؤثر است، اين تقسيم اصلي است و بايد صورت گيرد و بنابراين، تنها پاسخ 5/0 براي اين مسئله درست است. شهيد صدر شرط مذكور در اين راه‏حل را بديهي در نظر گرفته است.

اما اين پاسخ نيز قابل قبول نيست؛ زيرا، علاوه بر آنكه نمي‏توان بدون ارجاع اين شرط به علم حضوري، بداهت معرفت‏شناختي آن را پذيرفت، با مثال‏هايي مي‏توان نشان داد كه اين شرط درست نيست: به دو مثال زير توجه كنيد:

مثال اول. فرض كنيد مي‏دانيم آنچه از دور مي‏بينيم يا انسان است يا اسب يا درخت و هيچ چيزي كه موجب ترجيح يكي از آنها بر ديگري باشد نمي‏دانيم؛ اما مي‏دانيم اگر آنچه مي‏بينيم انسان باشد، يا محمّد است يا علي. روشن است كه احتمال آنچه مي‏بينيم انسان باشد 3/1 است، با اينكه محمّد يا علي بودن در تحقق و وجود انسان مؤثرند و مطابق شرط مزبور بايد اين تقسيم صورت گيرد و در اين صورت، احتمال آنكه آنچه مي‏بينيم انسان باشد 5/0 خواهد بود.

مثال دوم. در حالي كه مي‏دانيم قاتل «الف»، يكي از دو فرد «ب» و «ج» است، هيچ چيز در اين‏باره نمي‏دانيم جز اينكه دو نفر از سه نفري كه مدعي حضور در صحنه قتل هستند و معرفت ما درباره صادق بودن آنها كاملاً مساوي است، «ب» را و يك نفر «ج» را قاتل معرفي مي‏كند. با اينكه شهادت اين سه نفر در قاتل بودن «ب» يا «ج» و تحقق قتل به دست آنها تأثيري ندارد، روشن است كه بايد «قاتل بودن "ب" را به «قاتل بودن "ب" به شهادت نفر اول» و «قاتل بودن "ب" به شهادت نفر دوم» تقسيم كرد، و بر اين اساس، احتمال قاتل بودن «ب» به واسطه شهادت دو نفر از سه نفر، برابر است با 3/2.

ب. پارادوكس برتراند

جينس درباره پارادوكس برتراند مقاله‏اي نگاشت[235] و گفت تنها راه‏حل اول و پاسخ 2/1 برايآن درست است. دليل وي اين بود كه راه‏حل مسئله بايد اصول يكنواختي[236] را تأمين كند، ويكنواختي از جهات مختلف، مقتضي آن است كه تنها راه‏حل اول را معتبر بدانيم. وي بر اين اساس، توزيع احتمال مطلق طول‏هاي وتر دايره را محاسبه كرد. سپس وي و دكتر چارلز تايلِر (Charles E. Tyler) آزموني ترتيب دادند كه در آن پوشال‏هاي جارو از جايگاه خاصي روي دايره‏اي به قطر 5 اينچ كه در كف ترسيم شده بود پرتاب مي‏شدند. نتايج 129 پرتاب، محاسبه توزيع وي را تا حدود زيادي تأييد كرد.

اما آيا اصل يكنواختي اگر قابل قبول باشد، مي‏تواند همه پارادوكس‏ها را حل كند؟ خود جينس معتقد است[237] در پارادوكس سركه و آب، اين اصل ترجيحي براي هيچ‏يك از دو نسبت«آب/سركه» و «سركه/آب» قائل نمي‏شود و بنابراين، اين پارادوكس را نمي‏توان از اين راه، حل كرد.

ج. پارادوكس سركه و آب

اشلسينگر از جانب لاپلاسي‏ها كه مدافع اصل عدم تفاوت‏اند، پاسخ‏هاي متفاوت مسئله سركه و آب را نشانه آن مي‏گيرد كه اطلاعات ما در فاصله نسبت‏هاي قابل فرض براي «آب/سركه» و نيز «سركه/آب» يكسان نيست و نتيجه مي‏گيرد كه براي پاسخ به اين مسئله به اطلاعات بيشتري نياز است.[238]

ممكن است سخن وي را بدين معنا بگيريم كه صورت مسئله گوياي آن نيست كه اطلاعات ما در فاصله تغييرات كدام نسبت يكسان است و براي اجراي اصل عدم تفاوت، به اطلاعاتي در اين‏باره نيازمنديم. اما اين پرسش در سخن وي بي‏پاسخ مي‏ماند كه آيا با اطلاعات موجود، نمي‏توان هيچ مقداري براي احتمال مورد سؤال يافت؟ به عبارت ديگر، آيا قضيه «نسبت "آب/سركه" كمتر يا مساوي 2 است» با توجه به معرفت‏هاي موجود، هيچ مقداري از احتمال صدق ندارد؟

ميكلسون اخيرا در مقاله‏اي كوشيده است به اين پارادوكس پاسخ گويد.[239] وي پيشنهادمي‏كند به جاي آنكه نسبت سركه و آب به يكديگر را بسنجيم، مقدار آنها را در مخلوط در نظر بگيريم. با توجه به اينكه مقدار هر كدام از سركه و آب در مخلوط بين 4/1 و 4/3 مخلوط است، مطلوب مسئله برابر است با تعيين احتمال آنكه نسبت سركه به مخلوط كمتر يا مساوي با 3/2 باشد يا نسبت آب به مخلوط بيشتر يا مساوي با 3/1 باشد كه در نتيجه احتمال مزبور برابر خواهد بود با 6/5.

وي اين راه‏حل را «روش تقارن» مي‏نامد و معتقد است در اين روش، اصل عدم تفاوت به جاي نسب بر روي مقادير اجرا مي‏شود و دلايل زير را براي دفاع از اين پاسخ ذكر مي‏كند:

1. پاسخي كه از اين راه‏حل به دست مي‏آيد، به نحوه طرح سؤال بستگي ندارد، در حالي كه پاسخ‏هاي دو راه‏حلي كه منجر به پارادوكس مي‏شوند بستگي به نحوه طرح سؤال دارند.

2. دو راه‏حلي كه منجر به پارادوكس مي‏شوند، برخلاف راه‏حل روش تقارن، نيازمند پيش‏فرض‏هايي غيرموجّه هستند. براي مثال، راه‏حل اول مبتني بر اين پيش‏فرض است كه احتمال آنكه سركه از آب بيشتر باشد بيشتر است، و راه‏حل دوم بر اين پيش‏فرض مبتني است كه احتمال آنكه آب از سركه بيشتر باشد بيشتر است. نيز اگر محدوده نسبت سركه به آب (يا بر عكس) را به جاي 3 و 3/1 به صفر و بي‏نهايت افزايش دهيم به اين نتيجه نامعقول مي‏رسيم كه مخلوط تنها حاوي سركه (يا تنها حاوي آب) است! (زيرا، در اين فرض كه بدانيم نسبت يكي به ديگري از صفر تا بي‏نهايت است، دامنه تغيير نسبت‏ها از عدد صفر تا بي‏نهايت است و بنابر اصل عدم تفاوت در نسبت سركه به آب، كه احتمال وقوع هريك از اين نسبت‏ها را مساوي مي‏داند، احتمال آنكه اين نسبت، عدد بسيار بزرگي باشد بسيار بيشتر است و بنابراين بايد بپذيريم كه مخلوط تنها حاوي سركه است، و چنانچه اين اصل را در نسبت آب به سركه جاري كنيم، بايد نتيجه بگيريم كه مخلوط تنها حاوي آب است).

3. به جاي اين راه‏حل، راه‏حل ديگري نيز مي‏توان در نظر گرفت و آن استفاده مجدد از اصل عدم تفاوت در نتايج حاصل از دو راه‏حل منجر به پارادوكس است. اما بايد توجه داشت كه اگر بخواهيم اين راه‏حل را به كار ببريم، بايد مقدار انحراف‏هاي توزيع احتمال را هم متعادل كنيم و از آنجا كه تعداد و نوع انحراف‏هاي قابل فرض، بي‏نهايت است، بايد معدل همه آنها را محاسبه كنيم كه اگر چنين كاري انجام شود، پاسخ همان خواهد بود كه با روش تقارن به دست مي‏آيد. اما روش تقارن عملي‏تر است.

4. علاوه بر دلايل «سطحي» فوق، دليل «عميقي» كه موجب ترجيح روش تقارن مي‏شود اين است كه در اين روش، بر «واقعيت‏هاي اوليه» براي اجراي اصل عدم تفاوت تكيه شده است، نه بر «واقعيت‏هاي استنتاجي»؛ زيرا، آنچه مستقيما از واقعيت به دست مي‏آيد، مقدار خاص سركه و آب در تركيب است؛ اما نسبت خاص ميان اين دو مقدار، واقعيتي استنتاجي است كه بر حسب آن مقادير تعيين مي‏شود. بدين‏ترتيب، اين راه‏حل، شكلي عادي و متعادل از واقع‏گرايي است.

اما در پاسح ميكلسون مواردي قابل مناقشه به نظر مي‏رسد:

1. در روش وي (روش تقارن) نيز اصل عدم تفاوت بر روي نسب جاري شده است، نه مقادير. اين نسب يا نسب «مخلوط/سركه» است يا نسب «مخلوط/آب».

2. پاسخ وي با ظاهر صورت مسئله ناسازگار است؛ زيرا ظاهر صورت مسئله اين است كه معرفت ما درباره نحوه تغييرات نسب «آب/سركه» يا بالعكس يكسان است. اما وي اين تغييرات را در نسب ديگري يكسان انگاشته است كه لازمه آن، هم يكسان نبودن تغييرات نسب «آب/سركه» است، هم يكسان نبودن تغييرات «سركه/آب»، و چنان‏كه در پاسخ خود به اين پارادوكس نشان خواهيم داد، پاسخ وي با پاسخ مبتني بر يكسان كردن تغييرات نسبت‏هاي مزبور نسبت به هم (يعني اجراي اصل عدم تفاوت بر روي تغييرات هم‏زمان دو نسبت مزبور) نيز هماهنگ نيست. بنابراين، نه تنها پاسخ وي نيز به نحوه طرح سؤال بستگي دارد، بلكه با ظاهر سؤال نيز ناسازگار است. به علاوه، به فرض آنكه اين پاسخ به نحوه طرح سؤال بستگي نداشته باشد، آيا ممكن نيست پاسخ يا پاسخ‏هاي ديگري براي مسئله يافت كه آنها نيز به نحوه طرح سؤال بستگي نداشته باشند؟

3. گرچه دو راه‏حلي كه منجر به پارادوكس مي‏شوند مبتني بر برخي پيش‏فرض‏هايي هستند كه ممكن است بنابر ظاهر، صورت مسئله درصدد بيان آنها نباشد، و بنابراين، اين پيش‏فرض‏ها غيرموجّه باشند، روش تقارن نيز مبتني بر اين پيش‏فرض به ظاهر غيرموجّه است كه درباره نسبت هريك از سركه و آب به مخلوط در تمام فاصله بين 4/1 و 4/3 معرفت ما كاملاً يكسان است.

4. در صورتي كه مفروضات مسئله اين امكان را بدهد كه از اصل عدم تفاوت در نسبت «آب/سركه» استفاده كنيم، حتي با توسعه دامنه تغييرات اين نسبت به صفر و بي‏نهايت، نتيجه‏اي نامعقول به دست نمي‏آيد. فرض كنيد ابتدا عددي از بين اعداد صفر تا بي‏نهايت را به طور تصادفي انتخاب مي‏كنيم و عدد مزبور را nمي‏ناميم. آن‏گاه به نسبت n و 1، سركه را با آب مخلوط مي‏كنيم. در اين صورت، مي‏پذيريم كه احتمال آنكه n عدد بسيار بزرگي باشد بيشتر است و بنابراين، احتمال آنكه تقريبا تمامي مخلوط حاوي سركه باشد بيشتر است.

5. چنان‏كه در پاسخ خود به اين پارادوكس توضيح خواهيم داد، با فرض آنكه صورت مسئله به گونه‏اي باشد كه از آن بتوان يكسان بودن تغييرات هم‏زمان نسبت‏هاي «آب/سركه» و بر عكس را فهميد، متعادل كردن نحوه توزيع اين تغييرات، نيازمند فرض گرفتن بي‏نهايت نحوه توزيع تغييرات براي هر يك نيست، و پاسخ حاصل نيز با پاسخ ميكلسون متفاوت است.

6. اشكال ديگري كه در اين پاسخ وجود دارد مربوط به دليل عميقي است كه وي بر درستي اين راه‏حل ارائه كرده است. در اين راه‏حل، مقصود از واقعيت‏هاي اوليه روشن نيست. ميكلسون در ابتداي مقاله خود تأكيد مي‏كند كه احتمال مورد بحث در اين مسئله احتمال معرفتي است، نه احتمال عيني. بدين‏ترتيب، مناسب بود خود وي از اين نكته نتيجه بگيرد كه واقعيت‏هاي اوليه‏اي كه احتمال بايد بر مبناي آنها محاسبه شود بستگي به معرفت‏هاي مستقيمي دارند كه از صورت مسئله برداشت مي‏شوند؛ زيرا آنچه ما در اين مسئله با آن مواجه هستيم، معرفت‏هايي مفروض است، نه واقعيتي عيني. تعبيرهاي «واقعيت اوليه» و «واقعيت استنتاجي» در راه‏حل ميكلسون، شبيه به تعابير «تقسيم اصلي» و «تقسيم فرعي» در راه‏حل شهيد صدر است كه بررسي آن گذشت.

حل پارادوكس‏ها

الف. راه‏حل پارادوكس كتاب

در پارادوكس كتاب، ظاهرا حالتي فرض شده است كه ما هيچ معرفت ديگري درباره رنگ جلد كتاب و نوع انتخاب آن نداريم و نيز گويا فرض شده است كه مي‏دانيم جلد كتاب تنها به يك رنگ است، و مثلاً چنين نيست كه بخشي به رنگ آبي و بخشي به رنگ قرمز باشد. در اين صورت، ممكن است پرسش مسئله، پرسشي باشد كه هر كس از خود مي‏پرسد. براي مثال، من با توجه به مفاهيمي كه از رنگ‏ها در ذهن دارم و انواع رنگي كه براي استفاده در جلد كتاب ممكن مي‏دانم از خود مي‏پرسم: «احتمال آنكه رنگ جلد اين كتاب قرمز باشد چقدر است.» در اين حالت، به تعداد افرادي كه پرسش برايشان مطرح است، سؤال وجود دارد و ممكن است به همان تعداد نيز جواب‏هاي متفاوت داشته باشيم. راه يافتن پاسخ در هر مورد اين است كه پرسش‏كننده به مفاهيمي كه از رنگ‏ها مدّنظر دارد و انواع رنگي كه براي استفاده در جلد كتاب ممكن مي‏داند مراجعه كند و بر اساس آن مسئله خود را حل كند. براي مثال، ممكن است مقصود من از «قرمز»، طيف پيوسته‏اي از رنگ‏ها باشد كه در طيف همه رنگ‏ها، پس از صورتي پررنگ و پيش از قهوه‏اي كم‏رنگ قرار مي‏گيرد. نيز تعداد انواع رنگ‏هايي را كه ممكن است براي جلد كتاب استفاده شوند با توجه به مفاهيمي كه از رنگ‏ها مدّنظر دارم، 10 نوع بدانم. در اين حالت، احتمال آنكه رنگ جلد كتاب به يكي از اين انواع باشد، برابر است با 1/0؛ زيرا اصل عدم تفاوت تنها درباره قضايايي جاري است كه رنگ جلد كتاب را به يكي از انواع 10گانه مزبور مي‏دانند. اما اگر مقصود من از هر رنگ، دقيقا يك مقطع از طيف پيوسته رنگ‏ها باشد، احتمال آنكه رنگ جلد كتاب مزبور يكي از اين رنگ‏ها باشد عبارت است از /1 كه بي‏نهايت به صفر نزديك است، و البته دقيقا مساوي صفر نيست؛ زيرا در طيف پيوسته رنگ‏ها بي‏نهايت مقطع مي‏توان فرض كرد كه رنگ جلد كتاب دقيقا يكي از آنهاست و معرفت من درباره اينكه رنگ جلد كتاب مزبور كدام‏يك از آنهاست كاملاً مساوي است.

اما چنانچه مقصود از پرسش مسئله، پرسشي باشد كه طراح مسئله از ما مي‏پرسد، در اين صورت، بايد با استفاده از استظهارات كلامي، مقصود از «قرمز» و تعداد انواع رنگ را بر اساس تلقّي عرفي از انواع رنگ تعيين كرد و سپس به مسئله پاسخ داد. اين كار، گرچه واقعا بسيار دشوار است، نه اصولاً به لحاظ عقلي غيرممكن است، و نه منجر به پارادوكس مي‏شود.

چنان‏كه گفتيم پاسخ‏هاي مزبور، مطابق ظاهر صورت مسئله، بر اين اساس است كه درباره نحوه انتخاب رنگ براي جلد كتاب هيچ معرفت ديگري نداريم. اما اگر مفروضات ديگري به اين مسئله بيافزاييم، پاسخ متفاوت خواهد بود. براي مثال، فرض كنيد مي‏دانيم رنگ جلد كتاب بدين وسيله تعيين مي‏شود كه با پرتاب يك سكّه، چنانچه شير بيايد رنگ آن را قرمز و در صورتي كه خط بيايد رنگ آن را رنگي غير از قرمز انتخاب مي‏كنند. روشن است كه در صورت اخير، احتمال آنكه رنگ جلد كتاب مزبور قرمز باشد برابر است با آنكه رنگ آن غيرقرمز باشد و هريك برابر است با 5/0؛ زيرا در اين صورت، معرفت‏هاي ما درباره صدق هريك از اين دو قضيه كاملاً با ديگري مساوي است. نيز مي‏توان براي نحوه انتخاب رنگ جلد كتاب يا مقصود از «رنگ» يا تعداد انواع رنگ، مفروضات ديگري در نظر گرفت. اما بايد توجه داشت كه مفروضاتي مانند آنچه گفتيم با يكديگر ناسازگارند و ممكن نيست با هم صادق باشند و بنابراين، ممكن نيست اصل عدم تفاوت هم درباره 10 قضيه جاري شود، هم درباره بي‏نهايت قضيه، و هم دو قضيه، به طوري كه در هر حال، يكي از قضايا اين باشد كه «رنگ جلد كتاب مزبور قرمز است». بنابراين، مسئله در هر فرض تنها يك پاسخ درست دارد، نه چند پاسخ. بلكه بايد گفت مسئله مزبور با احتساب مفروضات مزبور، در واقع يك مسئله نيست؛ بلكه مسائل مختلفي است كه هريك، تنها يك پاسخ درست دارد.

از حل اين پارادوكس نتيجه مي‏گيريم كه يك مسئله، در صورتي يك مسئله است، كه سؤال آن كاملاً روشن باشد؛ زيرا ابهام در سؤال موجب ترديد ميان چند سؤال مي‏شود. اما آيا براي آنكه يك مسئله، يك مسئله باشد لازم است معرفت‏هاي ما درباره آن سؤال نيز كاملاً روشن باشد؟ در اين‏باره، در حل پارادوكس‏هاي بعد نكاتي خواهيم يافت.

ب. راه‏حل پارادوكس دسته‏بندي

در پارادوكس دسته‏بندي، چنان‏كه از صورت مسئله ظاهر است، معرفت ما درباره آمدن هريك از سه نفر با معرفت‏هاي ما درباره آمدن هريك از دو نفر ديگر مساوي است، و بنابراين، اصل عدم تفاوت تنها درباره سه قضيه كه هريك، از آمدن يكي از اين سه نفر خبر مي‏دهند جاري است. البته ممكن است معرفت‏هاي ديگري در اين‏باره داشته باشيم كه به تبع، پاسخ مسئله را تغيير دهند. براي مثال، فرض كنيد با معرفت معتبري مي‏دانيم كه يا محمّد مي‏آيد يا علي و نيز با معرفت معتبري مي‏دانيم كه اگر علي بيايد يكي از دو پسر خود ـ حسن و حسين ـ را با خود مي‏آورد. در اين صورت نيز ما نمي‏دانيم كدام‏يك از محمّد، حسن و حسين مي‏آيند؛ اما معرفت ما درباره آمدن اين سه نفر مساوي نيست، و با توجه به معرفت‏هاي مفروض، تنها پاسخ درست براي احتمال آمدن محمّد 5/0 است. نيز ممكن است بدانيم كه اين سه نفر براي آمدن به اين صورت عمل مي‏كنند: با پرتاب سكّه، اگر شير بيايد كسي مي‏آيد كه حرف اول نامش «م» باشد و اگر خط بيايد كسي مي‏آيد كه حرف اول نامش «ح» باشد. اما درباره اينكه اگر خط بيايد چگونه تعيين مي‏كنند كه حسن بيايد يا حسين هيچ نمي‏دانيم، يا مي‏دانيم كه بار ديگر با پرتاب سكّه اگر شير بيايد، حسن مي‏آيد و اگر خط بيايد، حسين. در اين صورت نيز پاسخ مسئله 5/0 است.

ج. راه‏حل پارادوكس لباس

پاسخ پارادوكس لباس نيز شبيه به پاسخ پارادوكس دسته‏بندي است. ظاهر صورت مسئله اين است كه معرفت ما درباره آمدن هريك از محمّد، حسن و حسين با معرفت‏هاي ما درباره آمدن دو نفر ديگر مساوي است. در اين صورت، اصل عدم تفاوت تنها درباره سه قضيه‏اي كه از آمدن يكي از آنها خبر مي‏دهد جاري است و احتمال 3/1 براي آمدن محمّد درست است. قابل تقسيم بودن «آمدن محمّد» به «آمدن وي با لباس اول» و «آمدن وي با لباس دوم» ارتباطي با حل مسئله ندارد؛ زيرا پس از تقسيم، معرفت ما درباره قضاياي حاصل مساوي نيست تا اصل عدم تفاوت درباره آنها جاري شود.

اما در همين مسئله، اگر بدانيم ابتدا يكي از لباس‏هاي چهارگانه اين سه نفر را انتخاب مي‏كنند ـ به گونه‏اي كه معرفت ما درباره اينكه كدام‏يك از اين چهار لباس ابتدائا انتخاب مي‏شوند دقيقا با آنچه درباره انتخاب ساير لباس‏ها مي‏دانيم مساوي باشد ـ و سپس صاحب لباس با پوشيدن لباس خود مي‏آيد، تنها پاسخ 5/0 درست است.

د. راه‏حل پارادوكس پرتاب مكرر سكّه

با توجه به آنچه گفتيم پارادوكس پرتاب مكرر سكّه نيز راه‏حل درست خود را مي‏يابد. با توجه به آنچه ظاهر صورت مسئله نشان مي‏دهد مقصود آن است كه ما هيچ معرفتي درباره شير يا خط آمدن سكّه در هيچ پرتابي نداريم، جز آنكه مي‏دانيم در هر پرتاب يا شير مي‏آيد يا خط. در اين صورت، تنها پاسخ 5/0 درست است.

ه . راه‏حل پارادوكس برتراند

در پارادوكس برتراند، پارادوكس ناشي از اين است كه سه نحوه مختلف براي انتخاب تصادفي وتر، يكسان انگاشته شده‏اند. پاسخ اول مبتني بر اين است كه از نقاط شعاع مفروضي از دايره، نقطه‏اي به طور تصادفي انتخاب شده، وتر عمود بر آن را در نظر مي‏گيريم، يا از ميان خطوطي از صفحه كه از دايره مي‏گذرند، يكي از آنها را به طور تصادفي انتخاب كرده، قسمتي از آن را كه محدود به دايره است در نظر مي‏گيريم، يا نقطه‏اي در درون يا روي محيط دايره و نقطه‏اي بيرون دايره به طور تصادفي انتخاب كرده با وصل كردن آنها خطي را تشكيل مي‏دهيم و قسمتي از آن را كه محدود به دايره است در نظر مي‏گيريم. راه‏حل دوم مبتني بر اين است، كه با تعيين تصادفي يك نقطه از محيط دايره، يكي از خطوطي را كه از آن مي‏گذرد به طور تصادفي انتخاب مي‏كنيم. راه‏حل سوم مبتني بر اين است كه از نقاط سطح دايره نقطه‏اي را به طور تصادفي در نظر گرفته وتري را كه اين نقطه وسط آن است در نظر مي‏گيريم. طبيعي است كه در اين صورت، مسائل مختلف با پاسخ‏هاي احيانا متفاوت داريم؛ زيرا معرفت‏هاي ما در همه اين فرض‏ها يكسان نيست. اين اختلاف ناشي از اين است كه تغييرات فاصله روي خط مستقيم شعاع و خط منحني محيط دايره نمي‏توانند يكسان باشند.

براي روشن شدن اين مطلب، فرض كنيد متحركي با سرعت ثابت روي شعاع دايره حركت كند و سايه آن روي دايره بيفتد. با اينكه سرعت خود متحرك، ثابت است، سرعت حركت سايه متحرك مفروض روي دايره متغير است، چون شعاع، خط مستقيم است و دايره منحني است.

بنابراين، اگر نحوه انتخاب وتر به صورت انتخاب نقطه‏اي روي شعاعي دلخواه از دايره و در نظر گرفتن خط عمود بر آن باشد، قضاياي مزبور در دامنه شعاع دايره، فشردگي احتمال صدق يكساني دارند، اما فشردگي صدق آنها، در دامنه نقاط محيط دايره يكسان نيست. بنابراين، ممكن نيست اصل عدم تفاوت را درباره اين دو دسته قضيه با هم جاري كنيم.

بدين ترتيب، اگر مفروضات مسئله، نحوه انتخاب تصادفي وتر را نشان دهند، پاسخ معين مسئله معلوم مي‏شود. در غير اين صورت، يعني چنانچه همه احتمالات مذكور درباره نحوه انتخاب تصادفي وتر وجود داشته باشد، بنابر اصل عدم تفاوت، احتمال مزبور برابر با ميانگين احتمال‏هاي حاصل از راه‏هاي مختلف ممكن براي انتخاب وتر خواهد بود. مثلاً اگر سه راه منجر به احتمال 2/1 و يك راه منجر به احتمال 3/1 و يك راه منجر به احتمال 4/1 مي‏شوند و درباره اينكه انتخاب وتر به كدام‏يك از اين پنج راه انجام مي‏شود هيچ نمي‏دانيم، اصل عدم تفاوت مي‏گويد احتمال آنكه وتر به هريك از اين پنج راه انتخاب شود مساوي است، و در نتيجه، احتمال انتخاب وتري با ويژگي مزبور برابر خواهد بود با 12/5 =5/(4/1+3/1+2/3).

اما به نظر مي‏رسد ظاهر صورت مسئله با برخي از اين نحوه‏هاي انتخاب وتر سازگار نيست. آنچه از ظاهر صورت مسئله استفاده مي‏شود آن است كه مستقيما انتخاب خود وتر تصادفي است، نه آنكه انتخاب نقطه‏اي از محيط دايره تصادفي است و به تبع آن، وتري از ميان وترهايي كه از آن نقطه مي‏گذرند به طور تصادفي انتخاب مي‏شود، يا انتخاب نقطه وسط وتر تصادفي است، و انتخاب وتر به تبع آن صورت مي‏گيرد. به علاوه، پارادوكس اصلي در اين مسئله مربوط به احتمال نيست، بلكه مربوط به نحوه دسته‏بندي بي‏نهايت‏هاست. براي آنكه مطلب روشن‏تر شود، ممكن است مسئله را به گونه‏اي ديگر طرح كنيم: فرض مي‏كنيم همه وترهاي بي‏شمار يك دايره را به طور كاملاً تصادفي، و نه به ترتيبي خاص، شماره‏گذاري كرده‏ايم. يك شماره را به طور تصادفي انتخاب مي‏كنيم. احتمال آنكه طول وتري كه شماره آن به طور تصادفي انتخاب شده است، بيش از طول ضلع مثلث محاط در آن دايره باشد چقدر است؟ روشن است كه نسبت مذكور، نسبت دو بي‏نهايت است و با دسته‏بندي اين دو بي‏نهايت مي‏توان مقدار نسبت را محاسبه كرد. اما دسته‏بندي اين دو بي‏نهايت به صور مختلفي ممكن است كه پاسخ آنها مي‏تواند متفاوت باشد. بنابراين، پارادوكس اصلي مربوط به اين است كه نحوه دسته‏بندي‏هاي متفاوت اين دو بي‏نهايت، منجر به پاسخ‏هاي متفاوت براي نسبت آنها مي‏شود. به عبارت ديگر، پارادوكس اين است كه تعيين نسبت وترهايي از يك دايره كه طول آنها بيش از طول ضلع مثلث متساوي‏الاضلاع محاط در آن است به كل وترهاي آن دايره به شيوه‏هاي مختلف، پاسخ‏هاي متفاوت دارد. براي پاسخ به اين مسئله، كافي است به تعريف دقيق وتر مراجعه كنيم و بر اساس آن، آنها را به طور كاملاً يكسان دسته‏بندي كنيم. اگر اين تعريف را براي وتر بپذيريم كه «وتر پاره‏خطي از صفحه دايره است كه دو سر آن، دو نقط روي محيط دايره است»، بنابر آنچه در نحوه انتخاب تصادفي وتر گفتيم، نيمي از خطوطي كه از صفحه دايره مي‏گذرند داراي اين ويژگي هستند. در نتيجه، با اين تعريف از وتر، نسبت وترهايي از يك دايره كه طول آنها بيش از طول ضلع مثلث متساوي‏الاضلاع محاط در آن است به كل وترهاي آن دايره، برابر است با 2/1. شايد بتوان پاسخ جينس را نيز ناظر به مسئله اخير دانست.

و. راه‏حل پارادوكس سركه و آب

در پارادوكس سركه و آب نيز مشابه همان خطايي كه در پارادوكس برتراند اتفاق افتاده، رخ داده است. خطاي اساسي اين است كه اصل عدم تفاوت در يك مسئله براي دو دسته قضيه متفاوت به كار برده شده است كه تغييرات احتمال صدقشان نمي‏تواند يكسان باشد. براي مثال، ما مي‏دانيم اگر تغييرات X يكسان باشد، تغييرات x/1 نمي‏تواند يكسان باشد؛ يعني تغييرات يك نسبت و تغييرات عكس آن نسبت ممكن نيست يكسان باشند. اين امر به سادگي از روي نمودار تابع x/1 y=كه تابعي منحني است، معلوم مي‏شود.

بنابراين، مطابق فرض مسئله كه مي‏دانيم 3 «آب/سركه» 3/1 و 3 «سركه/آب» 3/1، نمي‏توانيم معرفتمان را درباره تغييرات نسبت «آب/سركه» و «سركه/آب» از 3/1 تا 3 هم‏زمان يكسان فرض كنيم؛ زيرا، يكسان فرض كردن معرفت ما درباره تغييرات يكي مستلزم آن است كه بدانيم معرفت ما درباره تغييرات نسبت عكس يكسان نيست.

اكنون درباره مسئله سركه و آب چند فرض قابل تصور است:

1. درباره اينكه تغييرات يكي از دو نسبت معين «آب/سركه» و «سركه/آب» در فاصله 3 و 3/1 يكسان است، به طور معين، معرفتي موجّه داريم. براي مثال، ممكن است اين معرفت موجّه ناشي از آن باشد كه بدانيم ابتدا عددي را به طور تصادفي در فاصله اعداد 3 و 3/1 انتخاب كرده‏اند و سپس، به نسبت همان عدد و يك، سركه را با آب مخلوط كرده‏اند. در اين صورت، اصل عدم تفاوت تنها درباره قضاياي همان دسته معين جاري است؛ يعني در اين مثال، اصل عدم تفاوت تنها درباره قضاياي مربوط به نسبت «آب/سركه» جاري است، و به دليلي كه گفتيم، در نسبت «سركه/آب» جاري نيست و تنها پاسخ نخست درست است. همچنين اگر با معرفتي موجّه بدانيم كه تغييرات نسبت «سركه/آب» يكسان است، اصل عدم تفاوت تنها درباره قضاياي مربوط به اين نسبت جاري است و نه درباره قضاياي مربوط به نسبت «آب/سركه». پس در هر صورت، مسئله تنها يك پاسخ معين درست دارد.

2. فرض دوم آن است كه بدانيم تغييرات يكي از دو نسبت معين فوق يكسان است؛ اما به طور معين ندانيم تغييرات كدام نسبت. دانستن اين امر، ممكن است ناشي از آن باشد كه مي‏دانيم ابتدا عددي را در فاصله اعداد 3 و 3/1 انتخاب كرده‏اند و سپس، به نسبت همان عدد و يك، يكي از دو مايع را با ديگري مخلوط كرده‏اند، اما ندانيم سركه را با آب به اين نسبت مخلوط كرده‏اند، يا آب را با سركه. در اين صورت، اصل عدم تفاوت جداگانه درباره هريك جاري مي‏شود و آن‏گاه با استفاده مجدد از اصل عدم تفاوت در ترجيح پاسخ‏ها، معدل پاسخ‏ها را محاسبه مي‏كنيم. پاسخ درست در اين فرض عبارت است از 32/25.

3. فرض سوم اين است كه درباره تغييرات هيچ‏يك از دو نسبت مزبور هيچ معرفتي بيش از ديگري نداشته باشيم. به عبارت ديگر، آنچه درباره تغييرات نسبت «آب/سركه» مي‏دانيم با آنچه درباره تغييرات نسبت «سركه/آب» مي‏دانيم مساوي باشد و هيچ معرفت ديگري نيز بجز آنچه در صورت مسئله آمده است، درباره اين مخلوط نداشته باشيم. در اين صورت، اصل عدم تفاوت مي‏گويد هر احتمالي درباره يكي از دو نسبت دقيقا براي ديگري نيز وجود دارد. اگر يكي از دو نسبت مذكور را X بناميم، نسبت ديگر x/1، خواهد بود. بدين جهت، صرف‏نظر از اينكه هريك از دو نسبت چگونه تغيير مي‏كنند، بايد نحوه تغييرات اين دو نسبت را يكسان فرض كنيم. براي اين كار كافي است به ازاي هر نقطه از نقاط فاصله اعداد 3 و 3/1، بجاي آنكه عدد خاصي را براي يكي از دو نسبت مزبور به طور معين، فرض كنيم، معدل دو نسبت مزبور را به ازاي آن نقطه محاسبه كنيم و تغييرات را در فاصله اين نقاط يكسان فرض كنيم. براي مثال، اگر نسبت «آب/سركه» برابر با 3 باشد، نسبت «سركه/آب» برابر با 3/1 است و معدل اين دو نسبت برابر است با 3/5=2(3/1+3). پس بجاي آنكه تغييرات يكي از دو نسبت را به طور معين با X و تغييرات ديگري را با x/1 نشان دهيم بايد ميانگين اين دو، يعني 2(x/1+x) را براي تغييرات هر دو به كار ببريم. هنگامي كه هريك از دو نسبت مزبور در فاصله اعداد 3 و 3/1 تغيير مي‏كنند، معدل اين دو نسبت در فاصله اعداد 3/5 و 1 دو بار تغيير مي‏كند. اگر تغييرات معدل دو نسبت را كه بر حسب تغييرات دو نسب مزبور تغيير مي‏كند با f(x)نشان دهيم مي‏توانيم تغييرات f(x) را متناظر با تغييرات X (يا x/1) به صورت زير نشان دهيم:

اكنون مي‏توانيم احتمال آنكه نسبت «آب/سركه» كمتر يا مساوي 2 باشد، را برحسب تابع جديد كه تغييرات يكسان دارد، محاسبه كنيم. از آنجا كه به ازاي 2=x، 4/5 = f(x)اين احتمال برحسب تابع جديد برابر است با 16/11= (3/4)/[1ـ4/5)+ (1ـ3/5)].

اين احتمال را مي‏توان از اين طريق نيز به دست آورد: احتمال آنكه نسبت «آب/سركه» بيشتر يا مساوي 2 باشد، برحسب تابع جديد برابر است با 16/5= (3/4)/(4/5ـ 3/5). در نتيجه، احتمال آنكه اين نسبت كمتر يا مساوي با 2 باشد برابر است با 16/11= 16/5ـ1.

همچنين مي‏توان از همين راه، احتمال آنكه نسبت «سركه/آب» بيشتر يا مساوي 2/1 باشد را نيز محاسبه كرد كه پاسخ همين مقدار خواهد بود.

4. فرض ديگر اين است كه بدانيم تغييرات نسبت «مخلوط/سركه» يا «مخلوط/آب» يكسان است. در اين صورت، اصل عدم تفاوت تنها درباره قضاياي مربوط به اين نسبت‏ها جاري است. اين همان فرضي است كه ميكلسون پاسخ مسئله را بر آن مبتني ساخته است و پاسخ وي در اين فرض درست است.

5. فرض ديگري كه مي‏توان در نظر گرفت اين است كه اين احتمالْ خود ناشي از احتمال ديگري درباره مقدار آب و سركه باشد. مثلاً مي‏دانيم مقداري آب و مقداري سركه، هريك بين 1 تا 3 ليتر داشته‏ايم. مي‏خواهيم بدانيم پس از مخلوط كردن آنها احتمال آنكه نسبت «آب/سركه» كمتر يا مساوي 2 باشد چقدر است. فرض اخير با تمام فرض‏هاي پيشين متفاوت است؛ زيرا در اين صورت، اصل عدم تفاوت در مقادير سركه و آب جاري است و تغيير احتمال، درباره نسبت «آب/سركه»، «سركه/آب»، «مخلوط/سركه» و «مخلوط/آب» در اين فرض، تابع تغييرات يكسان احتمال درباره دو متغير ديگر است. براي تعيين احتمال مزبور از نمودار زير كمك مي‏گيريم:

چنان‏كه مشاهده مي‏شود هريك از نقاط سطح مربع، نشان‏دهنده يكي از فرض‏هاي محتملي است كه تابع تغييرات يكسان مقدار آب روي يك خط مستقيم، و تغييرات يكسان مقدار سركه روي خط مستقيم ديگر است. مجموعه همه اين فرض‏ها كه به طور مساوي محتمل هستند، مساحت مربع را تشكيل مي‏دهند. اما مجموعه همه فرض‏هايي كه در آنها نسبت «آب/سركه» كمتر يا مساوي با 2 است، مساحت قسمت هاشور خورده را تشكيل مي‏دهند. در نتيجه، احتمال مزبور برابر است با نسبت مساحت قسمت هاشور خورده به مساحت كل مربع و برابر است با 16/15.[240]

اما از ميان پنج فرضي كه بيان كرديم، به نظر مي‏رسد فرض سوم با ظاهر صورت مسئله سازگارتر است. به عبارت ديگر، ممكن است از نحوه طرح سؤال چنين استظهار شود كه مفروضات مسئله همان است كه در فرض سوم آورديم و بنابراين، پاسخ صحيح مسئله مزبور به صورتي كه طرح كرديم، 16/11 است. اما چنانچه درباره اينكه صورت مسئله كدام فرض را بيان مي‏كند معرفت ما ميان چند فرض يكسان باشد، بنابر اصل عدم تفاوت بايد معدل پاسخ آن فرض‏ها را محاسبه و به عنوان پاسخ مسئله در نظر بگيريم.

ز. راه‏حل پارادوكس تعيين عدد

در اين پارادوكس، ظاهر صورت مسئله اين است كه معرفت‏هاي ما درباره اينكه خود عدد مزبور به كدام عدد در فاصله مزبور نزديك‏تر است يكسان است و بنابراين، تغيير احتمال قضايا درباره فاصله اعداد 2 تا 5 يكسان است. در اين صورت، تنها پاسخ 3/1 درست است؛ هرچند از آن به گونه‏اي ديگر تعبير كنيم. اما پاسخ ديگر مربوط به مسئله ديگري است كه مفروض آن يكساني تغيير احتمال قضايا درباره فاصله 5/1 و 2/1 است، و همان‏گونه كه گفتيم تغيير در هر دو فاصله نمي‏تواند هم زمان يكسان باشد و بنابراين، مقدار اين دو احتمال مساوي نيستند.

ح. راه‏حل پارادوكس نسبت سرعت

ظاهر صورت مسئله در اين پارادوكس، مشابه فرض پنجم در پارادوكس سركه و آب است و براساس نمودار، مقدار احتمال آنكه نسبت سرعت متحرك دوم به سرعت متحرك اول، بين 1 و 2 باشد، برابر است با 8/5.

نتيجه‏گيري

چنان‏كه ديديم، در همه پارادوكس‏هاي مزبور، مسائلي طرح شده‏اند كه در حل هر يك، بايد پاسخ را نسبت به مفروضات مسئله به دست آوريم. بدين‏ترتيب، بنابر تفسير منطقي احتمال، حل هريك از اين مسائل، عبارت است از به دست آوردن يك احتمال منطقي نسبت به مفروضات خاص آن مسئله به عنوان قضايايي كه معرفت بدانها يقيني فرض شده است. و بنابر احتمال معرفت‏شناختي، حل هريك از اين مسائل عبارت است از به دست آوردن يك احتمال معرفت‏شناختي نسبت به مفروضات خاص آن مسئله به عنوان معرفت‏هايي كه به صورت معرفت يقيني معتبر فرض شده‏اند و نسبت به معرفت‏هاي معتبر لازم ديگر. در نتيجه، براي حل اين مسائل، تحليل مفروضات مسئله و يافتن اينكه بنابراين مفروضات، معرفت‏هاي ما درباره كدام قضايا دقيقا با يكديگر مساوي فرض شده‏اند، بخش مهمي از كار محاسبه‏گر است.

اما اگر مفروضات خاص مسئله نتوانند نشان دهند كه معرفت‏هاي ما درباره كدام قضايا با يكديگر مساوي فرض شده‏اند، با فرض‏هاي مختلف مي‏توان به پاسخ‏هاي مختلف دست يافت. اين دقيقا مانند آن است كه در ساير مسائل، مفروضات مسئله براي تعيين يك پاسخ يقيني كافي نباشند. به مثال زير توجه كنيد: فرض كنيد متحركي در هر ثانيه يك متر راه مي‏پيمايد. مطلوب است تعيين مسافت پيموده شده توسط اين متحرك.

روشن است كه به اين مسئله نمي‏توان يك پاسخ معين داد. ممكن است كسي در پاسخ اين مسئله بگويد فرض مي‏كنيم متحرك مزبور يك ثانيه راه رفته است و بنابراين، نتيجه بگيرد كه مسافت پيموده شده توسط او يك متر است؛ بار ديگر فرض بگيرد كه او دو ثانيه راه پيموده و نتيجه بگيرد كه مسافت پيموده شده توسط او دو متر است و... . اما نمي‏توان نتيجه گرفت كه به كارگيري اصول رياضي براي حل مسئله، با اين اصل كه هر مسئله يك پاسخ درست دارد، منافات دارد و بنابراين، اصول رياضي نادرست و غيرقابل قبول‏اند.

به همين صورت هستند، پارادوكس‏هايي كه به ظاهر يك مسئله هستند؛ اما مفروضات كاملي براي حل آن ارائه نمي‏دهند و با افزودن مفروضات مختلف مي‏توان پاسخ‏هاي متفاوتي براي مسئله يافت. با يافتن پاسخ‏هاي متفاوت بر اساس افزودن مفروضات مختلف و غيرقابل جمع، نمي‏توان نتيجه گرفت كه اصل عدم تفاوت منجر به تناقض مي‏شود. بنابراين، پارادوكس‏هاي مزبور نمي‏توانند در اعتبار اصل عدم تفاوت خللي وارد كنند، و اين اصل، همچنان داراي اعتبار يقين معرفت‏شناختي است.

اما نكته مهمي كه در حل اين پارادوكس‏ها به آن اشاره شد اين است كه چنانچه فرض‏هاي مختلفي بر اساس داده‏هاي مسئله به طور يكسان قابل قبول باشند، از اصل عدم تفاوت در اين معرفت‏ها نيز بايد استفاده شود. بنابراين، اگر معرفت‏هايي كه صورت مسئله ارائه مي‏دهد به طوري مبهم باشد كه بتوان چند قضيه معين را به طور موجّه داراي احتمال يكسان دانست، مسئله قابل حل است، البته با اين شرط واضح كه بايد قضيه‏اي كه محاسبه احتمال معرفت‏شناختي آن مطلوب است كاملاً معين باشد.

··· پي‏نوشت‏ها

··· منابع

ـ صدر، سيد محمّدباقر، الاسس المنطقية للاستقراء، بيروت، دارالفكر، 1391ق.

ـ مصباح، محمّدتقي، آموزش فلسفه، تهران، شركت چاپ و نشر بين‏الملل، 1379، چ دوم.

ـ مصباح، مجتبي، «درآمدي بر احتمال معرفت‏شناختي» معرفت فلسفي 15 (بهار 1386)،ص 127ـ166.

- Carnap, Rudolf, Logical Foundations of Probability, Chicago, The University of Chicago Press, 1967.

- Gillies, Donald, Philosophical Theories of Probability, London & New York, Routledge, 2003.

- Jaynes, E. T., "The Well-Posed Problem", Foundations of Physics 4 (1973), pp. 477-492.

- Keynes, John Maynard, A Treatise on Probability, London, Macmillan & Co., Limited, 1943.

- Mikkelson, Jeffery M., "Dissloving Wine/Water Paradox", British Journal for the Philosophy of Science 55 (2004), pp. 137-145.

- Schlesinger, George N., The Sweep of Probability, University of Notre Dame Press, 1991.