قضیه خارجیه در منطق حذف اینهمانى و منطق مرتبه دوم هنکین
Article data in English (انگلیسی)
مقدّمه
قضایاى حقیقیه و خارجیه را به روشهاى گوناگونى به زبان منطق جدید صورتبندى کردهاند. جدیدترین صورتبندى از قضایاى حقیقیه را نگارنده در دو مقاله اخیر خود در منطق وجهى و منطق محمولها و وجود ارائه کرده است. تحلیل نگارنده از قضایاى حقیقیه و خارجیه در منطق وجهى بدینگونه است:1
|
خارجیه |
حقیقیه |
|
|
هر الف ب است |
$x Ax Ù "x ( Ax → Bx ) |
¸ $x Ax Ù £ "x ( Ax → Bx ) |
|
هیچ الف ب نیست |
"x ( Ax → ~Bx ) |
£ "x ( Ax → ~Bx ) |
|
بعضی الف ب است |
$x ( Ax Ù Bx ) |
¸ $x ( Ax Ù Bx ) |
|
بعضی الف ب نیست |
~ $x Ax Ú $x (Ax Ù ~Bx ( |
~ ¸ $x Ax Ú ¸ $x ( Ax Ù ~Bx ) |
تحلیل نگارنده از همین قضایا در منطق محمولها و وجود نیز به قرار زیر است:2
|
خارجیه |
حقیقیه |
||
|
هر الف ب است |
$x ( E!x ÙAx ) Ù "x [ E!x → ( Ax → Bx ) ] |
$x Ax Ù "x ( Ax → Bx ) |
|
|
هیچ الف ب نیست |
"x [ E!x → ( Ax → ~Bx ) ] |
"x ( Ax → ~Bx ) |
|
|
بعضی الف ب است |
$x [ E!x Ù ( Ax Ù Bx ) ] |
$x ( Ax Ù Bx ) |
|
|
بعضی الف ب نیست |
~ $x ( E!x ÙAx ) Ú $x [ E!x Ù ( Ax Ù ~Bx ) ] |
~ $x Ax Ú $x ( Ax Ù ~Bx ) |
نگارنده در مقاله اخیر خود، چهار تعریف زیر براى وجود محمولى (یعنى براى E!x) از منطق آزاد و منطق مرتبه دوم نقل مىکند:3
|
وجود |
1. اتحاد با یک شیء |
منطق آزاد |
$y ( x = y ) |
|
محمولی |
2. اتحاد با خود |
منطق آزاد |
x = x |
|
در منطق |
3. داشتن صفت |
منطق مرتبه دوم |
$F Fx |
|
جدید |
4. داشتن صفت امکانی |
منطق مرتبه دوم |
$F ( Fx Ù ~ £ Fx ) |
به نظر مىرسد که هریک از این تعاریف را مىتوان در صورتبندى قضایاى خارجیه جایگزین E!xکرد؛ امّا به دلیل اینکه سه تعریف نخست، قضیهاند و بنابراین در ترکیب عطفى و در مقدّم شرطى، حذف مىشوند، جایگزین کردن سه تعریف نخست، سبب مىشود فرمولهاى قضایاى خارجیه، معادل و همارزِ فرمولهاى قضایاى حقیقیه شود و همین مسئله، تمایز میان این قضایا را نابود مىسازد. تعریف چهارم نیز چندان مقبول به نظر نمىرسد؛ زیرا مدعى است «وجود داشتن» به معناى «داشتن صفت غیرضرورى» است. اگر این تعریف درست باشد، الحاد و نفى خداوند لازم خواهد آمد؛ زیرا چنانکه فلاسفه متألّه نشان دادهاند، خداوند از همه جهات، ضرورى و واجبالوجود است و هیچ صفت امکانىاى ندارد.
در این مقاله مىخواهیم نشان دهیم که سه تعریف نخست را مىتوان جایگزین E!xکرد، بدون اینکه قضایاى حقیقیه و خارجیه به یکدیگر فرو کاسته شوند. لازمه این کار، طراحى نظامى منطقى است که این سه تعریف در آنها قضیه و قابل اثباتپذیر نباشد. براى این کار، دو منطق به نامهاى «منطق حذف اینهمانى» و «منطق مرتبه دوم هنکین» را معرفى خواهیم کرد که منطق اول براى نخستین بار ارائه مىشود، امّا منطق هنکین در ادبیات منطق مرتبه دوم، کاملاً شناختهشده است.4
منطق حذف اینهمانى
1. نظام استنتاجى
منطق محمولها و اینهمانى شامل دو قاعده اختصاصى به نامهاى «معرفى اینهمانى» و «حذف اینهمانى» است:
|
حذف این همانی |
||
|
——— ∴ a = a |
Fa a = b ——— ∴ Fb |
از میان این دو قاعده، «معرفى اینهمانى» قاعدهاى بسیار معروف است که غالبا با نام «اصل اینهمانى» به ارسطو نسبت داده مىشود و همطراز «اصل تناقض» (و گاهى بالاتر از آن) به شمار مىآید. با وجود این، باید توجه کرد که این اصل و قانون، تنها در عالم وجود و جهان واقعى برقرار است و در جهانهاى ممکنِ فرضى و عالم معدومات. دلیل این مسئله، قاعدهاى دیگر به نام «قاعده فرعیه» است که بر اصل اینهمانى تسلط دارد و صورتبندى عمومى آن بدینگونه است: «ثبوت شىء لشىء فرع ثبوت المثبت له». بنا به این قاعده جدید، حمل محمول بر موضوع، در قضایاى موجبه، فرع بر وجود موضوع است؛ در نتیجه اگر موضوع موجود نباشد، هیچ چیزى را نمىتوان بر آن حمل کرد، حتى خود آن شىء را. بنابراین، معدومات هیچ حکمایجابىاى ندارند و براى نمونه، نمىتوان گفت «سندباد ماجراجوست» و یا حتى «سندباد، سندباد است».
از اینجا معلوم مىشود که اگر بخواهیم منطقى بسازیم که نه تنها قواعد حاکم بر موجودات، بلکه قواعد معدومات را نیز بیان کند، چارهاى نداریم جز اینکه قاعده «معرفى اینهمانى» را از قواعد استنتاجى کنار بگذاریم؛ امّا کنار گذاشتن این قاعده به اثباتناپذیرى بسیارى از قوانین مطلوب اینهمانى مانند تقارن مىانجامد. توضیح اینکه با رها کردن قاعده معرفى اینهمانى، نه تنها قوانین نامطلوب زیر اثباتپذیر نخواهند بود:
|
انعکاس |
a = a |
|
انعکاس کلی |
"x ( x = x ) |
|
وجود برای نام های خاص |
$x ( x = a ) |
|
وجود همگانی 1 |
"x $y ( x = y ) |
|
وجود همگانی 2 |
"x $y ( y = x ) |
بلکه قوانین مطلوب زیر نیز از دست خواهند رفت:
|
تقارن |
"x "y ( x = y → y = x ) |
|
خودهمانی این همان ها 1 |
"x "y ( x = y → x = x ) |
|
اصل اقلیدس 1 |
"x "y "z ( x = z Ù y = z → x = y ) |
مقصود از «اصل اقلیدس» این قانون معروف است که «دو شىء برابر با شىء سوم، خود با یکدیگر برابرند». این اصل، تقریرهاى دیگرى نیز دارد که تقریر بالا تقریر نخست آن است و از اینرو، با شماره یک نشان داده شده است.
با وجود این، نباید گمان کنیم که همه قضایاى مطلوب اینهمانى از دست رفتهاند؛ زیرا قضایاى زیر، تنها به کمک قاعده حذف اینهمانى اثباتپذیرند:
|
تعدی |
"x "y "z ( x = y Ù y = z → x = z ) |
|
اصل اقلیدس 2 |
"x "y "z ( x = y Ù x = z → y = z ) |
|
اصل اقلیدس 3 |
"x "y "z ( x = y Ù x = z → z = y ) |
|
خودهمانی این همان ها 2 |
"x "y ( x = y → y = y ) |
|
هم ارزی دو تعریف وجود |
( a = a ) ↔ $x ( x = a ) |
|
هم ارزی انعکاس کلی با وجود همگانی 2 |
"x ( x = x ) ↔ "x $y ( y = x ) |
براى جبران قضایاى مطلوب از دست رفته چه مىتوان کرد؟ براى جبران این کاستى، ناگزیریم هر دو صورت قاعده حذف اینهمانى را به منزله قاعده اصلى داشته باشیم. با این اصلاح، «منطق حذف اینهمانى» برابر است با منطق محمولها به همراه دو قاعده زیر:
|
حذف این همانی راست |
حذف این همانی چپ |
|
Fa a = b ——— ∴ Fb |
Fa b = a ——— ∴ Fb |
2. سمانتیک منطق حذف اینهمانى
هر تغییرى در قواعد استنتاجى، باید با تغییرى در سمانتیک همراه باشد تا صحت و تمامیت نظام برجا بماند. براى این کار، باید به سمانتیک «منطق محمولها و اینهمانى» نظر بیفکنیم و ببینیم کدام ویژگى اساسى است که باید تعدیل شود.
در سمانتیک استاندارد، به هر محمولنشانه nـ موضعى، زیرمجموعهاى دلخواه از توان nام دامنه سخن را اسناد مىدهند؛ امّا به محمولنشانه دوموضعى اینهمانى، زیرمجموعه قطرى از توان دوم دامنه سخن را نسبت دادهاند. این بدان معناست که مجموعه همه زوج مرتبهایى که دو عضوشان یکى است به محمول «اینهمانى» نسبت داده مىشود. بر پایه این قرارداد، هر عضوى از دامنه سخن، اینهمان با خود خواهد بود.
اگر بخواهیم دامنه سخن، معدومات نیز دربر گیرد، بنا به قاعده فرعیه، آن معدومات نباید هیچ حکمى داشته باشند و مهمتر از همه اینکه نباید اینهمان با خود باشند. بنابراین دیگر لازم نیست که مجموعه همه زوج مرتبهایى که دو عضوشان یکى است، به محمول «اینهمانى» نسبت داده شود؛ بلکه کافى است مجموعهاى از زوج مرتبهایى که دو عضوشان یکى است، به محمول «اینهمانى» نسبت دهیم؛ و به عبارت سوم، زیرمجموعهاى از قطر توان دوم دامنه سخن را.
تا اینجا معادل سمانتیکى کنار گذاشتن قاعده «معرفى اینهمانى» را به دست آوردیم؛ امّا درباره «قاعده فرعیه» چطور؟ آنچه تاکنون انجام دادیم، رعایت قاعده فرعیه درباره محمولنشانه اینهمانى بود. اینکه بخواهیم قاعده فرعیه را به دیگر محمولنشانهها نیز تعمیم دهیم، امرى اختیارى است و تنها تفاوت این است که اگر به این تعمیم پایبند باشیم، منطق حاصل، به منطق قدیم وفادارتر خواهد بود. از آنجا که مقصود این مقاله وفادارى صددرصد به منطق قدیم نیست، بر خود بایسته نمىبینیم که تعمیم قاعده فرعیه به همه محمولنشانهها و پیامدهاى استنتاجى آن را بررسى کنیم؛ امّا چون به نظر مىرسد بیشتر خوانندگان، وفادارى هر چه بیشتر به منطق قدیم خوشایندتر است، به صورت گذرا به این تعمیم و پیامدهاى آن مىپردازیم تا خواننده هرجا که نیاز باشد خود بتواند به این تعمیم دست یازد؛ با وجود این، این تعمیم، در کلّیت این مقاله، جایگاه تعیینکنندهاى ندارد.
براى تعمیم قاعده فرعیه به سایر محمولنشانهها کافى است به هر محمولنشانه nـ موضعى، زیرمجموعهاى دلخواه از توان nام مجموعه موجودات دامنه سخن را اسناد دهیم. در این صورت، قاعده استنتاجى زیر باید به نظام استنتاجى افزوده شود:
اگر F محمولنشانهاى nـ موضعى باشد آنگاه:
|
Fa1 … an ————————— ∴ a1 = a1 Ù … Ù an = an |
3. منطق حذف اینهمانى و منطق محمولها و وجود
در منطق حذف اینهمانى، مشابه آنچه از مقاله «تحلیل قضایاى خارجیه با محمول وجود» نقل کردیم، مىتوان وجود را تعریف کرد؛ براى نمونه به دو صورت زیر:
|
E!a |
=تع |
a = a |
|
E!a |
=تع |
$x ( a = x ) |
قضیه «همارزى دو تعریف وجود»، که در بخش نظام استنتاجى ارائه شد، نشان مىدهد که افزودن هریک از این دو تعریف به منطق حذف اینهمانى، دیگرى را نتیجه مىدهد و ما را به منطق استاندارد اینهمانى مىرساند. توجه کنید که عکس این کار شدنى نیست؛ یعنى نمىتوانیم اینهمانى را در منطق محمولها و وجود تعریف کنیم. شاید به نظر برسد که عکس تعریف بالا کاملاً معقول است:
|
a = a |
=تع |
E!a |
با این حال به این تعریف جدید، ایرادى وارد است: اگر اینهمانى را در منطق محمولها و وجود تعریف کنیم، نمىتوانیم قاعده «حذف اینهمانى» را اثبات کنیم؛ زیرا محمول E!در منطق محمولها و وجود، هیچ قاعده استنتاجى ویژهاى ندارد؛ برخلاف محمول اینهمانى که در منطق حذف اینهمانى، قاعده ویژه دارد.
منطق مرتبه دوم هنکین
در مقدّمه دیدیم که تعریف وجود در منطق مرتبه دوم استاندارد (یعنى تعریف E!xبه $F Fx ، و به عبارت دیگر، تعریف «وجود داشتن» به «داشتن یک صفت») به این ایراد دچار است که این تعریف در این منطق، قضیه است و از اینرو، قضایاى خارجیه را به قضایاى حقیقیه فرو مىکاهد. براى اینکه دلیل این مسئله را به دست بیاوریم، لازم است برهان این قضیه را بررسى کنیم و ببینیم چه قواعدى سبب اثبات این قضیه مىشود و از میان این قواعد، کدامیک، منشأ اشکال است. برهان بدین قرار است:
|
1. |
Ax Ú ~ Ax |
معرفی قضیه |
|
2. |
$F Fx |
معرفی سور جزئی (1) |
در این برهان، مىبینیم قضیهاى از منطق مرتبه اول که مىگوید «x یا صفت Aرا دارد یا ندارد» ارائه شده است؛ امّا مىتوان «داشتن یا نداشتن صفت A» را یک صفت در نظر گرفت که x متصف به آن است. بنابراین، مىتوان گفت که xصفتى دارد. این همان چیزى است که قاعده «معرفى سور جزئى» انجام داده و به سطر 2 رسیده است.
بدون شک، xیا صفت Aرا دارد یا ندارد؛ از این رو، سطر 1 برهان یادشده بىاشکال مىنماید. بنابراین، اگر اشکال و ایرادى هست، باید در سطر دوم، و مربوط به قاعده «معرفى سور جزئى» در منطق مرتبه دوم باشد: مىتوان در این مقدّمه که «داشتن یا نداشتن صفت A» خود یک صفت براى xاست تردید کرد. آیا صفات مرکب که از ترکیب صفات اولیه و ادات منطقى مانند ناقض، عاطف، فاصل، شرطى، دوشرطى ساخته مىشوند، صفات حقیقى شىء به شمار مىآیند؟ براى پاسخ به این پرسش، باید مقصود خود را از «صفت حقیقى» بیان کنیم. اگر مقصود ما از «صفت حقیقى» مفاهیم ماهوى و معقولات اولى باشد، بدون شک، صفاتى را که دربردارنده ادات منطقىاند نمىتوانیم «صفت حقیقى» بنامیم؛ زیرا اداتهاى منطقى، حاصلِ «تأمّلات» و «تعملات» ذهنىاند و از عمل مقایسهاى که ذهن میان مفاهیم پیشین خود انجام مىدهد به دست مىآیند؛ امّا اگر مقصود از «صفت حقیقى»، دربرگیرنده معقولات اولى و ثانیه باشد، بدون شک این صفات صفات حقیقى خواهند بود.
در منطق مرتبه دوم استاندارد، وقتى مىگوییم، "F و $Fمرادمان از «همه صفات» و «برخى صفات» اعم از معقول اولى و معقول ثانى است و صفاتى مانند «داشتن یا نداشتن A» را نیز مشمول این سورها مىدانیم. در این صورت چنانکه دیدیم، به آسانى مىتوانیم $F Fxرا به منزله قضیه اثبات کنیم. اکنون اگر بخواهیم این فرمول قضیه نباشد، ناگزیریم مقصود خویش از سورهاى "F و $Fرا به معقولات اولى و مفاهیم ماهوى محدود سازیم. در این صورت، فرمول $F Fx، دیگر قضیه نخواهد بود؛ زیرا براى نمونه، خداوند متعال، هیچ صفت ماهوىاى ندارد.
1. نظام استنتاجى منطق هنکین
منطق مرتبه دومى که سورهاى خود را به معقولات اولى و ماهیات اختصاص مىدهد، چگونه منطقى است؟ لئون هنکین (1921ـ2007) در سال 1950 منطق مرتبه دومى معرفى کرده است که با آنچه ما مىخواهیم مطابقت تام دارد و ما مىتوانیم این منطق را براى مقصود خود برگزینیم. قواعد این منطق، دقیقا شبیه قواعد منطق مرتبه اولاند؛ با این تفاوت که سورها روى محمولها تغییر مىکنند:
براى بیان این قواعد، X را متغیر محمولى nـ موضعى، Y را محمولنشانه nـ موضعى، (X)A را فرمولى شامل متغیر X و (X)A را حاصل جایگزینى Y به جاى همه موارد X در (X) Aبگیرید. اکنون بیان قواعد:
|
حذف سور کلی |
|||||||||||||||||||||
|
معرفی سور جزئی |
|||||||||||||||||||||
|
به شرط اینکه Y در فرض های باز و A(x) مورد نداشته باشد |
|
معرفی سور کلی |
||||||||||||||||||||
|
به شرط اینکه Y در فرض های باز Cمورد نداشته باشد |
|
حذف سور جزئی |
||||||||||||||||||||
تفاوت قواعد منطق مرتبه دوم هنکین، با قواعد منطق مرتبه دوم استاندارد این است که دو قاعده نخست در منطق مرتبه دوم استاندارد به صورت زیر است: براى بیان این دو قاعده، X را متغیر محمولى nـ موضعى، B را فرمولى با n متغیر آزاد محمولى، (X)A را فرمولى شامل متغیر X و (Y)A را حاصل جایگزینى B به جاى همه موارد X در (X)A بگیرید به طورى که این جایگزینى هیچ متغیر آزاد را پابند نکند. در این صورت داریم:
|
حذف سور کلی |
|||
|
معرفی سور جزئی |
همانگونه که دیده مىشود، در این دو قاعده به جاى (Y)A، داریم: (B)A. معناى این تفاوت چیست؟ براى بیان این تفاوت، ناگزیریم تفاوت Yو Bرا مورد ملاحظه قرار دهیم: در اینجا، حروف بزرگ آغازین الفباى لاتین را براى فرمولها به کار بردهایم؛ در حالى که حروف بزرگ پایانى را براى متغیرهاى محمولى.
با این قرارداد، در منطق هنکین، براى حذف سور کلى، به جاى همه موارد متغیر محمولى X، تنها مىتوانیم محمولنشانه (مانند Y) را قرار دهیم؛ امّا در منطق مرتبه دوم استاندارد، هم مىتوانیم محمولنشانه (مانند Y) را قرار دهیم و هم مىتوانیم فرمول باز (مانند B) بگذاریم.
تفاوت محمولنشانه و فرمول باز این است که محمولنشانه، بسیط است و هیچ ادات منطقىاى در آن حضور ندارد؛ برخلاف فرمول باز که ممکن است در آن، اداتهاى منطقى حضور داشته باشد (این همان تفاوت مفاهیم ماهوى و معقولات اولى با مفاهیم انتزاعى و معقولات ثانیه است. بنابراین مىتوان گفت که منطق مرتبه دوم هنکین، منطق معقولات اولى و منطق مرتبه دوم استاندارد، منطق معقولات ثانیه است).
2. سمانتیک منطق هنکین
پیشتر گفتیم که در سمانتیک استاندارد، به هر محمولنشانه nـ موضعى، زیرمجموعهاى دلخواه از توان nام دامنه سخن را اسناد مىدهند. در سمانتیک منطق هنکین، به هر محمولنشانه nـ موضعى، زیرمجموعهاى دلخواه از توان nام دامنه سخن را اسناد مىدهند؛ مشروط به اینکه آن زیرمجموعه، یکى از زیرمجموعههاى برگزیده باشد. به عبارت دیگر، به هر محمولنشانه nـ موضعى، عضوى دلخواه از زیرمجموعهاى برگزیده از مجموعه توانى توان nام دامنه سخن را اسناد مىدهند.
مقصود از این عبارتها چیست؟ براى تسهیل در بیان مقصود، سخن خود را به محمولنشانههاى یک موضعى محدود مىکنیم. پس از درک اصل مطلب، مىتوان مسئله را به محمولهاى nـ موضعى تعمیم داد.
در سمانتیک استاندارد، به هر محمول (یکموضعى) «زیرمجموعهاى از دامنه سخن» را اسناد مىدادیم. در سمانتیک هنکین، در هر تعبیر، ابتدا، «زیرمجموعههایى از دامنه سخن» را برمىگزینیم و ثابت نگاه مىداریم و آنگاه به هر محمول (یکموضعى)، یکى از آنها را نسبت مىدهیم.
فرض کنید Dدامنه سخن باشد؛ مىدانیم که هر زیرمجموعه از Dعضوى از مجموعه توانى Dاست (مجموعه توانى Dرا غالبا با (D) Pنشان مىدهند). بنابراین، در سمانتیک استاندارد، به هر محمولنشانه یکموضعى، عضوى از (D) Pرا نسبت مىدهیم، همانگونه که به هر نام، عضوى از Dرا نشان مىدادیم. رابطه محمولهاى یکموضعى نسبت به (D) Pمانند رابطه نامها نسبت به خود Dاست. امّا در سمانتیک هنکین، این رابطه تغییر مىکند. در این سمانتیک، در هر تعبیر، نخست زیرمجموعهاى از (D) Pبرگزیده، و به هر محمولنشانه یکموضعى، عضوى از آن نسبت داده مىشود. بنابراین، در این سمانتیک، در هر تعبیر، رابطه نامها با Dهمانند رابطه محمولنشانهها با زیرمجموعهاى خاص از (D) Pاست. (توجه کنید که در تعبیرهاى متفاوت، مىتوان زیرمجموعههاى جداگانهاى را برگزید و احتمال برگزیدن مجموعه تهى و یا حتى خود Dنیز وجود دارد).
اکنون مىتوان دید که چرا قواعد استنتاجى هنکین معادل این سمانتیک است. مىدانیم که هر فرمول باز با یک متغیر فردى آزاد، درباره بعضى (یا همه یا هیچیک) از اعضاى دامنه صادق و براى دیگر (یا هیچ یا همه) اعضاى دامنه کاذب است. اعضایى که یک فرمول باز را صادق مىگردانند «مجموعه صدق آن فرمول» نامیده مىشوند. این مجموعه، آشکارا، زیرمجموعهاى از دامنه سخن است که احتمال دارد تهى یا ناتهى، و یا حتى معادل کل دامنه سخن باشد.
اکنون، اگر (x) Bفرمولى با متغیر فردى xو مجموعه صدقى مانند B(که زیرمجموعه D
است) باشد و داشته باشیم: (X)"X A، آنگاه فرمول اخیر در سمانتیک استاندارد به این معناست که همه زیرمجموعههاى Dداراى حکم Aهستند. در این صورت، Bمشمول حکم A خواهد بود و بنابراین، خواهیم داشت: (B)A. اما فرمول (X)"X A در سمانتیک هنکین، در تعبیرى که زیرمجموعهاى از (D) Pمانند Q در آن انتخاب شده است، به این معناست که همه اعضاى Qداراى حکم Aهستند؛ امّا احتمال دارد که مجموعه Bعضو Qو در نتیجه مشمول حکم Aنباشد و بنابراین، نمىتوان فرمول (B) Aرا استنتاج کرد. این در حالى است که فرمول (X) Aقابل استنتاج است؛ زیرا به محمولنشانه Xیکى از اعضاى Qنسبت داده شده و بنابراین، آن عضو مشمول حکم Aاست و بنابراین، فرمول (X) Aصادق است.
به همین صورت، مىتوان درباره قاعده معرفى سور جزئى سخن گفت. تعمیم بحث به محمولهاى چندموضعى نیز آسان است. کافى است همهجا به جاى دامنه سخن، یعنى D، توان nام دامنه سخن، Dnرا جایگزین کنیم.
3. منطق هنکین و تعریف وجود
اکنون، به برهانى بازگردیم که تعریف وجود، یعنى فرمول $FFx را اثبات مىکرد:
|
1. |
Ax Ú ~ Ax |
معرفی قضیه |
|
2. |
$F Fx |
معرفی سور جزئی (1) |
آشکار است که قاعده معرفى سور جزئى که بر سطر اول اعمال شده و سطر دوم را نتیجه داده، قاعدهاى است در منطق مرتبه دوم استاندارد و نه در منطق مرتبه دوم هنکین؛ زیرا سطر 1 حاصل جانشینى محمولنشانه به جاى متغیر محمولى نیست، بلکه حاصل جانشینى فرمول باز به جاى متغیر محمولى است.
تاکنون، نشان دادیم که برهان ارائه شده براى تعریف وجود، در منطق هنکین، برهان نیست؛ امّا این پرسش همچنان باقى است که آیا در منطق هنکین، برهان دیگرى، هرچند بسیار پیچیده، براى این تعریف وجود ندارد؟ براى اثبات عدم وجود چنین برهانى، ناگزیریم تعبیرى سمانتیکى ارائه کنیم که این تعریف در آن کاذب باشد. براى این کار، کافى است Qرا مجموعه تهى بگیریم؛ در این صورت، به xو F هر چه نسبت دهیم، Fx کاذب و بنابراین فرمول $F Fx نیز کاذب خواهد شد.
اکنون، که تعریف وجود، $F Fx ، در منطق هنکین، اثبات نمىشود و قضیه آن نیست، مىتوانیم آن را آزادانه در تحلیل قضایاى خارجى جایگزین E!xکنیم و نگران فروکاهى آنها به قضایاى حقیقیه نباشیم.
4. قضایاى منطق هنکین
قضایاى منطق مرتبه دوم هنکین، کاملاً مانند قواعد منطق مرتبه اول است؛ جز اینکه سور روى محمولها وارد شده است. بنابراین، کافى است به قضایایى از منطق مرتبه دوم استاندارد توجه کنیم که در منطق هنکین، دیگر قضیه نیستند:
|
x صفتی دارد |
$F Fx |
|
هر چیزی صفتی دارد |
"x $F Fx |
|
اگر چیزی فاقد صفتی باشد دارای صفتی است! |
$F ~ Fx → $F Fx |
|
اگر چیزی فاقد هر صفتی باشد دارای هر صفتی است! |
"F ~ Fx → "F Fx |
|
فقدان یک صفت معادل داشتن یک صفت است!! |
$F ~ Fx ↔ $F Fx |
|
فقدان همه صفات معادل داشتن همه صفات است!! |
"F ~ Fx ↔ "F Fx |
|
اگر چیزی با خود رابطه ای داشته باشد دارای صفتی است! |
Gxx → $F Fx |
|
اگر چیزی با چیزی رابطه ای داشته باشد دارای صفتی است! |
Gxy → $F Fx |
کاذب بودن دو فرمول نخست، به دلیل قاعده فرعیه است؛ زیرا بنا به این قاعده، اشیاى معدوم، هیچ صفتى ندارند. شاید قضیه بودن فرمولهاى بالا در منطق مرتبه دوم استاندارد، به جز دو فرمول نخست، پیش پاافتاده به نظر برسد؛ زیرا تالىِ بیشترِ آنها قضیه است و بنا به تابعارزشى بودن شرطى، آنها نیز قضیه خواهند بود. این سخن درست است؛ امّا توجه کنید که حتى اگر شرطى را شرطى ربطى در نظر بگیریم، دوباره خواهیم دید که این فرمولها قضیه هستند و قضیه بودن آنها به سبب صدق تالى نیست؛ بلکه با اعمال قواعد منطق مرتبه دوم استاندارد، مىتوان از مقدّم آنها به تالى رسید!
منطق هنکین و منطق حذف اینهمانى
پرسشى که اکنون خود را به ذهن تحمیل مىکند، این است که دو منطق معرفى شده در این مقاله (منطق حذف اینهمانى و منطق هنکین) چه نسبتى با هم دارد؟ این پرسش، از اینرو، رواست که نخست این دو منطق، برخلاف منطق اینهمانى استاندارد و منطق مرتبه دوم استاندارد، قابلیت تعریف وجود و تفکیک قضایاى حقیقیه و خارجیه را دارند؛ و دوم، در منطق مرتبه دوم استاندارد، ادات اینهمانى تعریفپذیر است:
|
a = b |
=تع |
"F (Fa → Fb) |
اگر این تعریف در منطق مرتبه دوم هنکین نیز پذیرفته شود، خواهیم داشت:
|
a = a |
=تع |
"F (Fa → Fa) |
و از آنجا که سمت راست تعریف اخیر، قضیه است، بنابراین، «a=a» نیز قضیه خواهد بود. در این صورت فرمول اخیر، معادل تعریف وجود در منطق هنکین، یعنى معادل $F Fx نخواهد بود؛ زیرا تعریف وجود در منطق هنکین قضیه نیست؛ امّا از آنجا که a=a، در منطق حذف اینهمانى، معادل تعریف وجود است، نتیجه مىگیریم که اگر تعریف اینهمانى در منطق هنکین پذیرفته شود، تعریفى که از وجود در منطق حذف اینهمانى داریم، دیگر در منطق هنکین، تعریف وجود نخواهد بود. بنابراین، در منطق هنکین، این سه تعریف (یعنى تعریف اینهمانى و دو تعریف وجود) ناسازگارند و باید یکى از آنها را کنار نهاد. از اینجا مىتوان دریافت که این دو منطق، نمىتوانند در طول یکدیگر باشند (مگر اینکه تعریف دیگرى براى اینهمانى در منطق هنکین بیابیم).
فروکاستن قضایاى حقیقیه و خارجیه به یکدیگر
تفکیک قضایاى حقیقیه و خارجیه، تاکنون، در چهار منطق تحلیل شده است: 1. منطق وجهى؛ 2. منطق محمولها و وجود؛ 3. منطق حذف اینهمانى و 4. منطق مرتبه دوم هنکین. در اینجا شایسته است نحوه فروکاهى قضایاى حقیقیه و خارجیه را در هریک از این چهار منطق جداگانه بررسى، و سپس آنها را با هم مقایسه کنیم.
در میان منطقهاى وجهى، هریک از نظامهاى K، T، S4 و S5نظامهاى پرطرفدارند و تفکیک قضایاى حقیقیه و خارجیه در همه آنها به یکسان برقرار است. با افزودن قاعده Trivبه هریک از این نظامها (یا افزودن قاعده Tc، عکس قاعده T، به سه نظام اخیر) سبب مىشود که تفاوت میان £A، àA و A از میان برود و در نتیجه، فرمولهاى قضایاى حقیقیه و خارجیه معادل و همارز شوند.
در منطق محمولها و وجود، افزودن هریک از E!aو "x E!xبه منزله اصل موضوع، سبب مىشود که فرمول E!xقضیه شود و از ترکیبهاى عطفى و مقدّم شرطى در فرمولبندى قضایاى خارجیه قابل حذف باشد. در این صورت، آشکار است که تفکیک میان قضایاى حقیقیه و خارجیه از میان برداشته مىشود.
در منطق حذف اینهمانى، افزودن هریک از a=aو "x x=x به منزله اصل موضوع، سبب مىشود که فرمول x=xقضیه گردد و از ترکیبهاى عطفى و مقدّم شرطى قابل حذف باشد. در این صورت، آشکار است که تفکیک میان قضایاى حقیقیه و خارجیه از میان برداشته مىشود.
در منطق مرتبه دوم هنکین نیز افزودن قواعد منطق مرتبه دوم استاندارد، سبب قضیه شدن تعریف وجود، $F Fxو حذف آن از تحلیل قضایاى خارجیه و فروکاهى آنها به قضایاى خارجیه مىشود. افزودن اصل فراگیرى (یا جامعیت) همین نقش را دارد. این اصل موضوع به صورت زیر است:5 (↔ Fx (x)A) "x $F
امّا توجه به این نکته بایسته است که براى فروکاهى، نیازى نیست که منطق هنکین را تا حد منطق استاندارد تقویت کنیم. افزودن $F Fxیا "x? $F Fx به منطق هنکین مىتواند به فروکاهى بینجامد؛ بدون اینکه منطق استاندارد از آن نتیجه شود.
این نکات را در جدول زیر مىتوان جمعبندى کرد:
|
منطق ها |
فرمول های فروکاهنده |
|
|
منطق وجهی |
A → £ A |
A ↔ £ A |
|
منطق محمول ها و وجود |
E!a |
"xE!x |
|
منطق حذف این همانی |
a=a |
"xx=x |
|
منطق مرتبه دوم هنکین |
$FFx |
"x$FFx |
|
منطق مرتبه دوم هنکین |
$F "x ( A(x) ↔ Fx ) |
|
براى مقایسه این چهار منطق، مىتوان به چند نکته اشاره کرد:
1. نظامهاى کلاسیک و متداول در منطق وجهى (مانند نظامهاى Kتا S5)، امکان تفکیک قضایاى حقیقیه و خارجیه را فراهم مىآورند؛ امّا نظام غیرکلاسیک و نامتداول Triv، تفکیک را نابود مىسازد و به فروکاهى قضایاى حقیقیه و خارجیه مىانجامد. این در حالى است که در منطقهاى غیروجهى، نظامهاى استاندارد و متداول به فروکاهى مىانجامند؛ امّا نظامهاى نااستاندارد توان تفکیک دو نوع قضایا را دارند.
2. اصولاً تحلیل قضایاى خارجیه و حقیقیه در منطق وجهى و تحلیل همان قضایا در سه منطق دیگر، متفاوت است. تحلیل قضایا در این سه منطق از ساختارى که در مقدّمه این مقاله از مقاله «تحلیل قضایاى خارجیه با محمول وجود» نقل کردیم پیروى مىکند.
3. از میان این منطقها، منطق محمولها و وجود، در منطق حذف اینهمانى و منطق هنکین تعریفپذیر است؛ امّا این تعریفپذیرى در جهت عکس و نیز در سایر منطقها برقرار نیست.
نتیجهگیرى
دیدیم که تفاوت میان قضایاى حقیقیه و خارجیه را نه تنها مىتوان به کمک «منطقهاى وجهى» و «منطق محمولها و وجود»، بلکه با «منطق محمولها و حذف اینهمانى» و «منطق مرتبه دوم هنکین» مىتوان نشان داد. منطق حذف اینهمانى، که از کنار گذاشتن قاعده معرفى اینهمانى از منطق محمولها و اینهمانى به دست مىآید، داراى دامنهاى شامل موجودات و معدومات است. مانع عمده در رسیدن به این منطق، بداهت فوقالعاده قاعده معرفى اینهمانى است که اجازه عبور از آن را به ذهن نمىدهد. ما با توجه به قاعده فرعیه و اینکه گزارههاى موجبه، به ویژه گزارههاى اینهمانى، با معدوم بودن موضوع، کاذباند، این مانع را پشت سر گذاشتیم.
منطق مرتبه دوم هنکین نیز از تضعیف دو قاعده از قواعد سور در منطق مرتبه دوم استاندارد به دست مىآید. این منطق، برخلاف منطق حذف اینهمانى، پیشتر شناسایى شده و مورد بحث و بررسى قرار گرفته است. به نظر مىرسد که مانع اصلى در توجه به این منطق براى تفکیک قضایاى حقیقیه و خارجیه، شهرت بیش از حد منطق مرتبه دوم استاندارد بوده است (تا حدى که در ادبیات منطق مرتبه دوم، منطق هنکین را تنها به صورت یک منطق فرعى و کماهمیت مورد بحث قرار دادهاند).
مانع دیگر در توجه به این منطق در تفکیک قضایاى حقیقیه و خارجیه، عدم توجه به قضیه بودن تعریف وجود ($F Fx) در منطق استاندارد و قضیه نبودن آن در منطق هنکین بوده است. همزمان با درک نکته اخیر، امکان عبور از این مانع نیز براى نگارنده فراهم آمد.
1 استادیار دانشگاه زنجان. دریافت: 15/7/88 ـ پذیرش: 20/3/89. falahiy@yahoo.com
1ـ اسداللّه فلاحى، «صورتبندى جدیدى از قضایاى حقیقیه و خارجیه»، آینه معرفت، ش 11، ص 52.
2ـ اسداللّه فلاحى، «تحلیل قضایاى خارجیه با محمول وجود»، معرفت فلسفى، ش 23، ص 71.
3ـ همان، ص 57.
4ـ براى توضیح بیشتر درباره دو نظام منطق مرتبه دوم استاندارد و هنکین، ر.ک: محمّد اردشیر، منطق ریاضى، ص 189ـ205؛ علیرضا دارابى، بررسى نحوى و معنایى منطق درجه دوم، ص 34ـ38 و 50ـ59؛ سید محمّدعلى حجتى و علیرضا دارابى، «بررسى و مقایسه دو دلالتشناسى منطق مرتبه دوم»، مطالعات و پژوهشها، ش 51، ص 75ـ77.
5ـ محمّد اردشیر، همان، ص 196.
- ـ اردشیر، محمّد، منطق ریاضى، تهران، هرمس، 1383.
- ـ حجّتى، سید محمّدعلى و علیرضا دارابى، «بررسى و مقایسه دو دلالتشناسى منطق مرتبه دوم»، مطالعات و پژوهشها، ش 51، 1386، ص 69ـ84.
- ـ دارابى، علیرضا، بررسى نحوى و معنایى منطق درجه دوم، پایاننامه کارشناسى ارشد، رشته فلسفه، تهران، دانشگاه تربیت مدرس، 1384.
- ـ فلاحى، اسداللّه، «صورتبند جدیدى از قضایاى حقیقیه و خارجیه»، آینه معرفت، ش 11، تابستان 1386، ص 30ـ61.
- ـ ـــــ ، «صورتبندى قضایاى خارجیه با محمول وجود»، معرفت فلسفى، ش 23، بهار 1388، ص 51ـ76.
- - Henkin, Leon, "Completeness in the Theory of Types", The Journal of Symbolic Logic, 15, 1950, p. 81-91.
